高中数学充要条件教案

教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学
建议

（一）教材分析

1．知识结构

首先给出推断符号“

知识．

2．重点难点分析

本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件 、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，
主要用来区分命题的条件

和结论

之间的因果关系．

”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步
（2）在判断条件

和结论

之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件． 推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），
也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件．

（3）在讨论条件

和条件

的关系时，要注意：

①若

，但

，则

是

的充分但不必要条件；

②若

，但

，则

是

的必要但不充分条件；

③若

，且

，则

是

的充要条件；

④若

，且

，则

是

的充要条件；

⑤若

，且

，则

是

的既不充分也不必要条件．

（4）若条件

以集合

的形式出现，结论

以集合

的形式出现，则借助集合知识，有助于充要
条件的理解和判断．

①若

，则

是

的充分条件；

显然，要使元素

，只需

就够了．类似地还有：

②若

，则

是

的必要条件；

③若

，则

是

的充要条件；

④若

，且

，则

是

的既不必要也不充分条件．

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原 命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命
题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性 ．由于原命题

逆否命题，逆命题

当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

（二）教法建议

1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有 关逻辑初步知识内容相联系．充要条
件中的

，

与四种命题中的

，

要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以 是不能判断真假的
否命题，
语句，也可以是含有逻辑联结词或“若

则

”形式的复合命题．

2．由于这节课概念性、理论性较强 ，一般的
教学
使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣
是关键．
教学
中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概
念的 本质属性．

3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关 ，为此，
教学
时可以从
判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充 分，从而引入“充分条件”的概念，进而
引入“必要条件”的概念．

4．教材中 对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的
合理性，在教学
过程中，
教师
可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条 件”的概念，
从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

?

充要条件
教学
目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳
总结
能力；

（4）在充要条件的
教学
中，培养等价转化思想．

教学
重点难点：关于充要条件的判断

教学
用具：幻灯机或实物投影仪

教学
过程设计

1．复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若

，则

；

（2）若

，则

；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若

，则

；

（6）若方程

（学生口答，
教师
板书．）

有两个不等的实数解，则

．

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

置疑：对于命题“若

，则

”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看

能不能推出

，如果

能推出

，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若

，则

”，如果由

经过推理能推出

，也就是说，如果

成立，那么

一定成
是

成立的充分条件，立．换句话说，只要有条件

记作

．

就能充分地保证结论

的成立，这时我们称条件

2．讲授新课

（板书充分条件的定义．）

一般地，如果已知

，那么我们就说

是

成立的充分条件．

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“

，”是“

”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程

的有两个不等的实数解”是“

”成立的充分条件．

从另一个角度看，如果

有

，亦即

是

成立，那么其逆否命题

也成立，即如果没有

，也就没
成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

（1）因为

，所以

是

的充分条件，

是

的必要条件；

（2）因为

，所以

是

的必要条件，

是

的充分条件；

（3）因为“两三角形全等”
< br>“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积
相等”的充分条件，“两三角形 面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”

“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直 ”
是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为

，所以

是

的必要条件，

是

的充分条件；

（6）因为“方程

程

的有两个不等的实根”

的有两个不等的实根”

的有两个不等的实根”是“

“

“

”，所以“方程

”，而且“方
”充分条件，而且是必要条件．


总结
：如果

件，记作

是

的充分条件，

．

又是

的必要条件，则称

是

的充分必要条件，简称充要条
（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

例1? （用投影仪投影．）


B

A
是
B
的什
B
是

么条件

? ?
的什么条
件

是有理数


是实数


? ?
?
?
?
?
?
、

是奇数





是偶数

?




?
?
?
?
是4的倍数

是6的倍数

? ?
（学生活动，
教师
引导学生作出下面回答．）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以

要非充分条件；

是

的充分非必要条件，

是

的必

②

一定能推出

，而

不一定推出

，所以

是

的充分非必要条件，

是

的必要非充分条件；

③

、

是奇数，那么

是

一定是偶数；

是

是偶数，

、

不一定都是奇数（可能都为偶
数），所以

的充分非必要条件，

的必要非充分条件；

④

表示

或

，所以

是

成立的必要非充分条件；