高中数学-充要条件教案

教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学
建议

（一）教材分析

1．知识结构

首先给出推断符号“

知识．

2．重点难点分析

本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件 、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，
主要用来区分命题的条件

和结论

之间的因果关系．

”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步
（2）在判断条件

和结论

之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件． 推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），
也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件．

（3）在讨论条件

和条件

的关系时，要注意：

①若

，但

，则

是

的充分但不必要条件；

②若

，但

，则

是

的必要但不充分条件；

③若

，且

，则

是

的充要条件；

④若

，且

，则

是

的充要条件；

⑤若

，且

，则

是

的既不充分也不必要条件．

（4）若条件

以集合

的形式出现，结论

以集合

的形式出现，则借助集合知识，有助于充
要条件的理解和判断．

①若

，则

是

的充分条件；

显然，要使元素

，只需

就够了．类似地还有：

②若

，则

是

的必要条件；

③若

，则

是

的充要条件；

④若

，且

，则

是

的既不必要也不充分条件．

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原 命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命
题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性 ．由于原命题

逆否命题，逆命题

当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

（二）教法建议

1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有 关逻辑初步知识内容相联系．充要条
件中的

，

与四种命题中的

，

要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的
则

”形式的复合命题．

否命题，
语句，也可以是含有逻辑联结词或“若

2．由于这节课概念性 、理论性较强，一般的
教学
使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣
是关键．
教学
中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概
念的本质属性．

3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互 关系紧密相关，为此，
教学
时可以从
判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论 来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而
引入“必要条件”的概念．

4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的
合理 性，在
教学
过程中，
教师
可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认 识“充分条件”的概念，
从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

充要条件
教学
目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳
总结
能力；

（4）在充要条件的
教学
中，培养等价转化思想．

教学
重点难点：关于充要条件的判断

教学
用具：幻灯机或实物投影仪

教学
过程设计

1．复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若

，则

；

（2）若

，则

；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若

，则

；

（6）若方程

（学生口答，
教师
板书．）

有两个不等的实数解，则

．

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

置疑：对于命题“若

，则

”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看

能不能推出

，如果

能推出

，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若

，则

”，如果由

经过推理能推出

，也就是说，如果

成立，那么

是

一定
成立．换句话说，只要有条件

件，记作

．

就能充分地保证结论

的成立，这时我们称条件

成立的充分条
2．讲授新课

（板书充分条件的定义．）

一般地，如果已知

，那么我们就说

是

成立的充分条件．

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“

，”是“

”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程

件．

的有两个不等的实数解”是“

”成立的充分条
从另一个角度看，如果

有

，亦即

是

成立，那么其逆否命题

也成立，即如果没有

，也就没
成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

（1）因为

，所以

是

的充分条件，

是

的必要条件；

（2）因为

，所以

是

的必要条件，

是

的充分条件；

（3）因为“两三角形全等”

“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面 积
相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”

“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直 ”
是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为

，所以

是

的必要条件，

是

的充分条件；

（6）因为“方程

程

的有两个不等的实根”

的有两个不等的实根”

的有两个不等的实根”是“

“

“

”，所以“方程

”，而且“方
”充分条件，而且是必要条件．


总结
：如果

条件，记作

是

．

的充分条件，

又是

的必要条件，则称

是

的充分必要条件，简称充要
（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

例1 （用投影仪投影．）


B

A是B的什
B是

么条件


的什么条
件

是有理数


是实数








、

是奇数





是偶数










是4的倍数

是6的倍数


（学生活动，
教师
引导学生作出下面回答．）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以

要非充分条件；

是

的充分非必要条件，

是

的必

②

一定能推出

，而

不一定推出

，所以

是

的充分非必要条件，

是

的必要非充分条件；

③

、

是奇数，那么

是

一定是偶数；

是

是偶数，

、

不一定都是奇数（可能都为
偶数），所以

的充分非必要条件，

的必要非充分条件；

④

表示

或

，所以

是

成立的必要非充分条件；