高一数学第8-13节课教案

高一数学第8节课教案
授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年3 月 7 日
§1.2 应用举例（四）
教学目标：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
教学重点：
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
教学难点：
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
教学用具：直角板，测角仪器。
教学方法：启动法，练习法。
测试题：
填空题，（1）在
?
ABC中,已知BC=8，AC=5,C=60
?
AB_____,
选择题，（2）在△ABC中，已知a?=b?+bc+c?，则角A为（ ）
A.60? B.30 ? C.120 ? D.60 ?或120 ?
（3）第15页练习第三题
教学过程:
题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的 一些边和角求
其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如 何确
保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
例1、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精 确到0.1cm
2
）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148 .5
?
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b= 3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用 解
三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得 S=
(2)根据正弦定理，

S =
b
=
c
sinC
sinB
12
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148. 5
?
≈90.9(cm
2
)
2
c =
bsinC

sinB
11
bcsinA = b
2
sinCsinA

22
sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?


1

sin65.8
?
sin51.5
?
1
22
S =
?
3.16
?
≈4.0(cm)
?
sin62.7
2
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
38.7
2
?41.4
2< br>?27.3
2
cosB = =≈0.7697
2ca2?38.7?41.4
sinB =
1?cos
2
B≈
1?0.7697
2
≈0.6384
应用S=acsinB，得S ≈
1
2
1
?
41.4
?
38.7
?
0.6384≈511.4(cm
2
)
2
例2、如图,在某市进行城市环 境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到
这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm
2
）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
127
2
?68
2
?88
2
cosB= =≈0.7532 sinB=
1?0.7532
2
?
0.6578
2ca2?127?68
11
应用S=acsinB S ≈
?< br>68
?
127
?
0.6578≈2840.38(m
2
)
22
答：这个区域的面积是2840.38m
2
。
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?;
例3、在
?
ABC中，求证：（1）
c
2
sin
2
C
（2）
a
2
+
b
2
+
c2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角 关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用
正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
Bsin
2
A?sin
2
B
?
左边= ==右边
c
2
k
2
sin
2
Csin< br>2
C
a
=
b
=
c
sinAsinBsinC
= k
（2）根据余弦定理的推论， b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab
=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边
作业：
课后反思：

2

高一数学第9节课教案
授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年3 月 8日
§1.3 实习作业
教学目标：



变式练习1：
已知在
?ABC中，
?
B=30
?
,b=6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

变式练习2：
判断满足下列条件的三角形形状，（1）acosA = bcosB （2）sinC =
sinA?sinB

cosA?cosB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
b
2
?c
2?a
2
c
2
?a
2
?b
2
生1：（余 弦定理）得a
?
=b
?

2bc2ca
?
c
2
(a
2
?b
2
)?a
4
?b
4
=
(a
2
?b
2
)(a
2
?b
2
)

?
a
2
?b
2
或c
2
?a
2
?b
2

?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,
?
sin2A=sin2B,
?
2A=2B,
?
A=B
?
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与
2B两个角互补，即2A+2B=180
?
，A+B=90
?


3

高一数学第10节课教案
授课：老师 班级：高一（8,9）班 时间：2011年 3月 8日
第一章 复习



测试题：第19页习题1.2第4第5题
复习题
A 组


4

5

高一数学第11节课教案
授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年3 月 11日

测试题：第十九页第六第七题
第一章 复习题
A 组


作业：复习题A组1，（1）（2）(6)
课后反思：

6

高一数学第12节课教案
授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年 3月 11日

§2.1 数列的概念与简单表示法
教学目标：
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 了解数列的通项公式，并会用通项公式
写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出 它的个通项公式。
教学重点：
数列及其有关概念，通项公式及其应用
教学难点：
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
教学方法：启动法和练习法
教学用具:尺子
测试题：选择题：小强站在地面上观察 意见在山顶上的建筑物，测得其视角α，同时测得观察
该建筑物顶部的仰角为β，则小强山顶的仰角为（ ）
A.α+β B.α-β C.β-α D.α
教学过程:
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，?
正方形数：1，4，9，16，25，?
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果 组成两个数列的数相同而排列次序不
同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或
首项），第2项，?，第n 项，?.
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的 一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第n项
1
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”
3

7

是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的 序号是否有一定的对应关系？这一关系可
否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从 而发现数列的通项公式）对于
上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
1

1
2
1
3
1
4
1

5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n
?
1
来 表示其对应关系
n
即：只要依次用1，2，3?代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各 项结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，?它的通项公式可
n?1
1?(?1)
n?1
?
|
. 以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
2
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；② 检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反
映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的 通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数 列可以看成以正整数集N
*
（或它的有限子集{1，2，3，?，n}）为定义域的函数
a
n
?f(n)
，
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4? ）有意义，那么我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)?，f(n)，?

6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6?是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。

8

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解] 课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习 课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
4
26810
(1) 3, 5, 9, 17, 33,??； (2) , , , , , ??；
3
15356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,??.
1?(?1)
n
2n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
2
(2n?1)(2n?1)
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ??,
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
n?1
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,??， ∴
a
n
＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n
项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.作业
课后反思：













9

高一数学第13节课教案
授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年 3月 14 日

§2.1 数列的概念与简单表示法
教学目标：
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同 ；会根据数列的递推公式写出数列的前
几项；理解数列的前n项和与
a
n
的关 系
教学重点：
根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：
理解递推公式与通项公式的关系
教学方法：启动法和练习法
测试题：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式
（1）1,3,6,10,15?? （2）7,77,777??
写出下列数列的前五项：a=1，a=a?-1(n>1)
教学过程:
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法
如果数列
?< br>a
n
?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数
列的通项公式。
如数列

的通项公式为

的通项公式为

；
；


的通项公式为

；




10

2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，
做出一个数列 的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点
都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由
小到大变化而变 化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快
捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项）， 且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

11 < /p>

递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列 可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：
列表法，图象法 ，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

一项，用

4、列表法
．简记为

[范例讲解]
a
1
?1
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
?
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
表示第
表示第一项，??，用

表示第

项，依次写出成为
．
解：分析：题中已给出
?
a
n?
的第1项即
a
1
?1
，递推公式：
a
n?1?
1

a
n?1
解：据题意可知：
a
1< br>?1,a
2
?1?
[补充例题]
112158
?2,a3
?1??
，
a
4
?1??,a
5
?

a
1
a
2
3a
3
35
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a< br>n
a
n?1
a
n?2
a
???
??
?
2
?2
n?1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2


[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1, a
3
＝4,
a
4
＝9, a
5
＝16, ∴ a
n
＝(n－1)
2
;

12

(2)
a
1
＝1,
a
2
＝
1212
222
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
35
n?1
2436
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
0
,
a
2
＝7＝1+2
?3
1
,
a
3
＝19＝1+2
?3
2
,
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数 之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或
n
项）之
间的关系.
Ⅴ.作业：习题2.1例2
课后反思：



13