高中数学——双曲线说课稿

《双曲线及其标准方程》说课稿
各位评委老师：
大家好！我说课的题目是《 双曲线及其标准方程》，内容选自于人教版《高
中数学选修1-1》的第二章第二节第一小节，课时安排 为两课时，本课为第一课
时.下面我将从这五个方面来谈谈对教材的理解和对教学设计的一些构思.
一、教材分析
1、教材的地位与作用
双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲 线，它是解析几何的重要内容之
一.与椭圆相比，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵活，能力 要求更
高.解析几何无论从知识结构、题目类型、解题方法还是数学思想都在双曲线这
里达到高 潮.可以说双曲线是解析几何的核心.
学习双曲线本身就是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高.自 然也为进
一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.因此，本节
课具有 承前启后的作用.
2、教学目标
教学目标是教学设计的灵魂和统帅, 根据新课标的教学要求和学生的认知
水平，确定如下的教学目标：
（1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程.
（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结
合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力 .
（3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数
学美的熏陶.
3、重点和难点
依据教学目标，确定本节课
重点为：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.
难点为：双曲线标准方程的推导.
二、学情分析

教学的主体是学生，对学生的认识是否全面直接决定了教学的成败。
1、知识 方面：学生已经学习了直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的
一般方法，能对含有两个根式的方程进 行化简，对数形结合、类比推理的思想方
法有一定的体会.
2、能力方面：学生有 一定的分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体
性小组交流能力与协同讨论学习能力.
三、方法分析
1、教学方法
我将采取启发探究的教学方法.引导学生在分析问题 时不断与椭圆的有关知
识类比，在对比中归纳问题，强化椭圆与双曲线的区别和联系.
2、教学手段
使用多媒体辅助教学，通过丰富的内容体现，使枯燥的知识“活”起来，增
强学习的趣味性.
3、学法指导
引导学生学习方式发生转变，在教师的引导下主动参与、积极体验、类比探
究的学习.
四、过程设计
接下来看我的教学设计，我将教学过程分为这五个阶段.
下面我就本节课展开具体叙述：
（一）创设情景，引入课题
首先引导学生回顾椭圆 定义，同时在屏幕上给出相应的定义，以利于下一问
题中进行对比.接着由学生探讨：若把椭圆定义中的 “与两定点的距离之和”改
为“距离之差”，轨迹又是什么图形呢？
设计意图：通过一个知识 冲突的教学情境，有和到差，不仅加强新旧知识的
联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发 他们的求知欲望．
接下来我拿出准备好的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学
生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．紧接着再通过多媒体播放这个拉链的
演示实验，以强化学生的 认识．然后通过小组活动，由学生利用提前准备的拉链，
作两端点位置互换后拉链头运行的轨迹.这是学 生的作图过程，和作图结果．

设计意图：通过观察动画和动手画图，使学生从空洞的数 学分析转化为感受
图形的实际变化，既可以提高学生的动手能力，又可以激发学生学习数学的兴趣． < br>接下来提出两个问题：1、分别说出这两条曲线上的点满足的条件.2、用一
个数学式子表达这两 条曲线上的点满足的条件．引导学生通过前面的作图，总结
得出结论.接着指出这两条曲线就是本节课要 探讨的双曲线，其中每一支叫双曲
线的一支．最后，试着由学生归纳双曲线定义.
设计意图： 这一环节通过自主探究，使学生体会双曲线定义的获得过程，培
养学生观察、分析和归纳能力．
（二） 探究发现，挖掘新知
1、定义的发掘
在屏幕上给出双曲线定义，让学生思 考定义中关键词是什么？根据讨论结果总结
出：定义中差的绝对值和常数小于两定点距离是关键词，并强 调定义中绝对值的
必要性及2a<2c.再和椭圆定义相对比，发现其中的区别与联系.
设计意图： 通过师生、生生的交流合作，使学生理解和掌握双曲线定义．学
会利用定义判断曲线形状．
此 时学生对双曲线的形状有了比较深刻的印象，我给出两组双曲线在实际
生产、生活中应用的图片，一组是 热电厂的冷却塔和广州新电视塔，它们的外
形和轴截面的交线是双曲线，另一组是双曲线在飞机导航系统 和道路交通结构
中的应用．
设计意图：这些图片使学生感受数学美的熏陶，体会数学的实用性 ，进一
步形成清晰地感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．
2、标准方程的推导
在标准方程的推导中，由于双曲线与椭圆定义非常相似，图形也具有同< br>样的对称特征.学生类比椭圆标准方程的推导，很容易得出双曲线标准方程推
导步骤：
(1)建 系 以
F
1
F
2
所在直线为
x
轴,线段
F
1
F
2
的垂直平分线为
y
轴,建立直
角坐标系.
(2)设点 设双曲线上任意一点
M(x,y)
,双曲线的焦距为
2c
(
c?0
),
?F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
,常数
?2a

(x?c)
2
? y
2
?(x?c)
2
?y
2
|?2a

(3)列 式

||MF
1
|-|MF
2
||?2a即
|
为使学生便于观察类比，我又通过图片的形式给出椭圆标准方程的推导过程.
在探究过程中，学生很容易发现双曲线标准方程的推导与椭圆非常相似，在第四
步的化简中学生自然会使 用同样的方法.因此，为加强学生的运算能力，方程的
化简由学生自主完成，并展示部分学生的化简过程 ，顺利突破难点.最后给出完
整的化简过程.
(4)化 简
得
(c
2
?a
2
)x
2
?a
2
y
2
?a
2
(c
2
?a
2
)

两边同除以
a
2
(c
2
?a
2
)
得
y
M
x
2
y
2
?1

2
?
2
ac?a
2

?2c?2a?c?a?c?a?0

222
令
c?a?b
(
b?0
)代人得
22
F
1
o
F
2
x
x
2
y
2
222

2
?
2
?1(a?0,b?0)
其中
c?a?b

ab
指出：这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在
x
轴上， 强
调
c
2
?a
2
?b
2
.
最后 引导学生思考：以上是焦点在
x
轴上的情况，对于焦点在
y
轴上的情
形呢？
联想到椭圆在两种建系方法下方程形式的区别，学生很快得出：可以通过
x
、
y
的互换，得到焦点在
y
轴上的标准方程.
设计意图：此环节使学 生经历双曲线标准方程的获得过程，体验数形结
合思想在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精 神和科学的态度．
推导出双曲线的两个标准方程后，通过对比观察和小组交流，由学生找出他
们的相同点、不同点. 再由同学们对比双曲线与椭圆的标准方程，找出它们的异同点，以起到强
化的效果，从而升华学生对 双曲线对标准方程的认识．

(三) 题组训练，应用新知
【练一练】
练习1：判断下列方程哪些表示双曲线？
x
2
y
2
x
2
y
2
（1）
?

?

1
（2）
?

?

1

42
?49
22
xy
22
（3）
?

?

0
（4）
4

y?9x?36
32
x
2
y
2
练习2：方程
??1(mn?0)
是否表示双曲线？

mn
的方法，第二题使学生深化双曲线标准方程形式的理解.
3、例题讲解
设计意图：第一题让学生熟练利用方程判断曲线的形状，掌握求焦点坐标
例1 已知两定点为
F
1
(?5,0),F
2
(5,0)
，求动点M到F
1
、F
2
的距离的差的
绝对值等于6的轨迹方程.

变式1：若已知F
1
(0，-5)，F
2
(0，5) .
2：例1改求“动点M到F
1
、
F
2
的距离的差等于6的轨迹方程 ”.
设计意图：重视课本例题，适当对题目进行引申，使例题作用更加突出，再
通过两个变式 达到举一反三的目的，从而升华学生对双曲线定义的理解.
（四）畅谈收获、感悟新知
4、知识小结
以填表格的形式，让学生回顾梳理本节课的重点知识，有助于学生在知识
掌握上的条理化和系统化. 再由学生谈谈：除了知识方面的学习,还有哪些收
获?
通过学生畅谈收获，引起学生反思、整理，提高学生的自我认知能力.
（五） 课后拓展、巩固提高
5、作业布置
为巩固学生对本节课知识的学习，我设计了基础作业和能 力作业.基础作
业要求学生独立完成；能力作业由小组讨论交流完成，并通过下节课由小组代
表 演板的形式进行检查和指导.
6、板书设计
好的板书是课堂内容最精华的体现，根据本节课 的特点，我设计了这个

板书，做到简明，概括.
五、教学评价
在教 学过程中，我努力营造一个认真探索、积极交流、踊跃发言的学习氛围.
以问题为主线，结合类比、数形 结合等思想方法，引导学生不断地探究，进而归
纳、总结得出结论，既体现学生积极参与的主体地位，又 实现教师引导探索的主
导作用.
我的说课到此结束，恳请各位专家、各位同仁批评指正，谢谢大家！