高中数学--极限说课讲解

数学--极




高中限

高中数学-极 限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当
n
取第一个
n
0
时结论正确；②假设当
n?k
（
k?N
?
,k?n
0
）时，结论正确，证明当
n?k?1
时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设
P(n)
是一个与正整数
n
有关的命题，如果
①当
n?n
0
（
n
0
?N
?
）时 ，
P(n)
成立；
②假设当
n?k
（
k?N
?< br>,k?n
0
）时，
P(n)
成立，推得
n?k?1
时 ，
P(n)
也成立.
那么，根据①②对一切自然数
n?n
0
时，
P(n)
都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①
lim
a
n
?
a

n??
②当
n??
时，
a
n
?
a
.
⑵几个常用极限：
①
lim
C
?
C
（
C
为常数）
n??

②
lim
1
n
k
n??
?< br>0(
k?N
,
k是常数
)

③对于任意实常数，
当
|a|?1
时，
lim
a
n
?0

n??
当
a?1
时，若a = 1，则
lim
a
n
?1
；若
a??1
，则
lima
n
?lim(?1 )
n
不存在
n??n??n??
当
a?1
时，
l ima
n
不存在
n??
⑶数列极限的四则运算法则：
如果
lim
a
n
?
a
,lim
b
b
?
b
，那么
n??n??
①
lim(
a
n
?b
n
)?
a
?
b

n??
②
lim(
a
n
?
b
n
)?
a
?
b

n??
③
lim
a
n
a
?(
b
?0)

n??
b
n
b
特别地，如果C是常数，那么
n??
lim(C?a
n
)?limC?lima
n
?Ca
.
n??n??
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当
q?1
时，无穷等比数列的各项和为
S?
a
1
(q?1)
.
1?q
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量
x
无限趋近于常数
x
0（但不等于
x
0
）时，如果函数
f(x)
无限趋进于
一 个常数
a
，就是说当
x
趋近于
x
0
时，函数
f(x)
的极限为
a
.记作
limf(x)?a
或当
x? x
0
x?x
0
时，
f(x)?a
.

注：当
x?x
0
时，
f(x)
是否存在极限与
f(x)< br>在
x
0
处是否定义无关，因为
x?x
0
并
不 要求
x?x
0
.（当然，
f(x)
在
x
0
是否有定义也与
f(x)
在
x
0
处是否存在极限无
关.?
函数
f(x)
在
x
0
有定义是
limf(x )
存在的既不充分又不必要条件.）
x?x
0
如
P(x)?
?
?
x?1x?1
在
x?1
处无定义，但
limP(x)
存在，因为在
x?1
处左右极限
x?1
?x?1x?1
?< br>均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果
lim
f
(
x
)?
a
,lim
g
(
x
)?
b
，那么
x?x
0
x?x
0
①
lim(
f
(
x
)?
g
(
x
))?
a
?b

x?x
0
②
lim(
f
(
x)?
g
(
x
))?
a
?
b

x?x
0
③
lim
x?x
0
f(x)
a
?
(
b?
0)

g(x)b
特别地，如果C是常数，那么
x?x
0
lim(C?f(x))?Climf(x)
.
x?x< br>0
x?x
0
lim[f(x)]
n
?[limf(x)]n
（
n?N
?
）
x?x
0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
①
lim
1
?
0

n ??
x
x???x???
②
lim
a
x
?0
（0＜
a
＜1）；
lima
x
?0
（
a
＞1）
③
lim
sinxx
?
1
?lim?1

x?0
x
x?0
sinx
1
1
④
lim( 1?)
x
?
e
，
lim(1?x)
x
?e
（
e?2.71828183
）
x?0
x??
x
4. 函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点
x?x
0< br>连续，那么函数
f(x)?g(x),f(x)?g(x),
f(x)
(g(x )?0)
在点
x?x
0
处都连续.
g(x)
⑵函数f（x）在点
x?x
0
处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点
x?x
0
处有定义；②
limf(x)
存在；③函数f（x）在点
x?x
0
处
x?x
0
的极限值等 于该点的函数值，即
lim
f
(
x
)
?f
(
x
0
)
.
x?x
0
⑶函数f（x）在点
x?x
0
处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点
x?x
0处有下列三种情况之一时，则称
x
0
为函数f（x）的不
连续点. ①f（x）在点
x?x
0
处没有定义，即
f(x
0
)< br>不存在；②
limf(x)
不存在；③
lim
f
(
x
)
x?x
0
x?x
0
存在，但
lim
f< br>(
x
)
?f
(
x
0
)
.
x?x
0
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f（x）
在闭区间
[a,b]
上连续，且
f(a)?f(b)?0
.那么在开区间
(a,b)
内至少有函数
f(x)
的一个零点，即至少有一 点
?
（
a
＜
?
＜
b
）使
f(?
)?0
.
⑵介值定理：设函数
f(x)
在闭区间
[ a,b]
上连续，且在这区间的端点取不同函数
值，
f(a)?A,f(b)?B，那么对于
A,B
之间任意的一个数
C
，在开区间
(a,b)< br>内至少
有一点
?
，使得
f(
?
)?C
（a
＜
?
＜
b
）.
⑶夹逼定理：设当
0?|< br>x?x
0
|?
?
时，有
g(x)
≤
f(x)
≤
h(x)
，且
x?x
0
limg(x)?limh(x) ?A
，则必有
lim
f
(
x
)
?A
.
x?x
0
x?x
0
注：
|
x?x
0
|
：表示以
x
0
为的极限，则
|x?x
0
|
就无限趋近于零.（
?
为最小整数）
6. 几个常用极限：
①
limq
n
?
0,q?1

n???
a
n
②
lim?
0(
a?
0)

n???< br>n!

③
lim
n
k
a
n
n? ??
?0(
a
?1,
k
为常数）
④
lim
⑤
lim

lnn
?
0

n???
n
(lnn)
k
n
?
n???
? 0(
?
?0,
k
为常数）