高中数学导数经典说课稿[001]

高中数学导数经典说课稿
一、关于教学目的的确定：
对导数这个概念的理解 可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学
生没有学习过极限概念，对导数概念及其定义的数学语言表 述的理解比
较困难，这种理解上 的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从
知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1、知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解 导数
概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：
① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般、数形结合思
想的数学思想方法
3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发
学生学习数学的兴趣.
二、关于教学过程的设计：
为了达到以上教学目的，在具体教学中，根据“循序渐进原则”， 我
把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念
巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤
作出说明。
（一） “概念探索阶段”
1. 这一阶段要解决的主要问题
在这一阶段的教学中 ，由于注意到学生在开始接触导数这个概念时，
总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念， 总觉得与以前
知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明
概念所云， 故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：
①使学生从熟悉的物理知识入手，以物体的平均速度变 化趋势的观
点无限逼近的思想理解瞬时速度，从而发现导数的过程；
②使学生形成对导数的初步认识；
③使学生了解学习概念的导数必要性。
2．本阶段教学安排
我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
① 温故知新
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由于研究数列极限首 先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具
体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生 对数列通项
公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，
现在开始研究 无限项的问题。 然后引导学生回忆数列是自变量为自然数
的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义 域为自然数集的函数
a
n
的
解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的 就是自变量变化过程
1
?
中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列< br>a
n
?
?
??
为例说
?
2
?
明：当n=2、3、4、5 时，对应的
a
n
?
1
、
1< br>、
1
、
1
就说明自变量由2
24
816
增 加到5时，对应的函数值就由
1
减小到
1
这种变化情况。若问自然数
2
16
n?1
n一直增加下去，函数
a
n
应怎样变化下去， 这就是研究变化的趋势。
这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题< br>有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个
数列的变换趋势。通过这种 讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥
心理学上所提“无意注意”的作用，使学生对进一步讨论的数 列变换趋
势问题不至于太陌生。
② 推陈出新
在对5个数列变化趋势的分析过程中 ，通过引导，由学生讨论得到
数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：“具有类似于 数列
（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的“趋近于一
个确定的常数 ”称它为有极限数列的极限”。并进一步和学生讨论如何给
数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予 提示，给出数列极限概念
的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的
常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍
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学 生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念
并不是突然产生的，是和他们已有的知识 结构密切相关的，为此在第一
阶段我设计了这一部分教学。
我一方面介绍了我国古代 数学家对数列极限思想所做的贡献，如“在
世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学 问题的大
数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似
刘徽割圆术的 方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊
数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘 徽所用的方法繁杂的
多。”
在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算 法的指导
思想：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，
而无所失矣” 。通过课件动态演示，进一步在“无意注意”作用的发挥上
下文章，加深学生对“变化趋势”、“趋近于 ”、“极限”等概念的认识，
为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。
（二） “概念建立阶段”
1． 这一阶段要解决的任务
由于数列极限概念及其定 义的数学语言表述具有高度的概括性、抽
象性，学生初次接触很困难。具体讲，在
?
- N语言中，学生搞不清
?
的
两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清“N ”，不太理解
N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所
有a
n
(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，
?
为半径的邻域中，N是否
存 在是证明数列极限存在的关键。
因此在这一阶段的教学中，我采取“启发式谈话法”与“启发式讲
解法”， 注意不“一次到位”，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题
是：
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①建立、理解数列极限的定义；
②认识定义中反映出的静与动的辨证关系；
③初步学习论证数列极限的方法。
2． 本阶段教学安排
本阶段教学安排分三个步骤进行。
① 问题的提出
在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列
“
1
,2
2
,
3
3
,
4
4
,
?,
5
n
,?
n?1
”
为例，提出一个学生形成极限概 念时不好回答的问题：根据数列极限定
义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个 数列
的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于
1.1，从而使学生发 现问题在于自己已获得的数列极限概念中“无限趋近
于”这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极 限定义做进一步精
确描述。
② 问题的解决
具体讲，由于数轴上两点的距离及其解 析表示对学生来说是很熟悉
的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：“趋近于”是距离概念，< br>距离的解析表示是绝对值，“无限趋近于”就可用距离要多小有多小来表
示。即数列项与确定常数 差的绝对值要多小有多小。
然后让学生通过具体计算如：“思考已知数列中是否有到1.1的距离< br>为0.01的项？”使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多
小，即1.1不是已 知数列的极限，从而使学生对“要多小有多小”这一
概念有了进一步认识，并为量化|a
n-1|当项数无限增加时要多小有多小打
下基础。
③数列极限定义的得出
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在“检验‘1’是否满足：已知数列的项与1 的差的绝对值是否要
多小有多小”的教学过程中，我采取“给距离找项数”的方法。
具体讲让 学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、
0.05、0.0011、0.0001， 让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写
出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：“已知数列中 第908项以
后各项与1的差的绝对值小于0.0011。”这种讨论的目的是使学生感受
到“ N”是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的
每一个正数，可找到N，当n>N时 ，|a
n
-1|小于这个正数。进而让学生
注意无论表示距离的正数取的多么小，也不 能说成“要多小有多小”，而
把具体值改为
?
后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：“数列：

1
,
2
2
,
3
3
,
4
4
,
?
,
5
n
,?
n?1


当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1”，也就是数列：

1
,
2
2
,
3
3
,
4
4
,
?
,
5
n
,?
n?1
的极限为1，并进 一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。
（三）“概念巩固阶段”
1． 本阶段的教学计划
在这一阶段的教学中我计划做两件事情：
①说明N、
?
、|a
n
-A |<
?
在讨论数列极限时所起的作用;
②是习题训练。
2． 本阶段的教学过程
根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。
① 定义说明
除了对 极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、
?
、
|a
n
-A |<
?
的认识，我让学生讨论问题“任意有极限的无穷数列能否使极
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限值为数列中的项”及“常数列是否有极限”，当学生有困难时，可通过
举数列
“
1,
特殊的认识规律。
② 习题训练
在学生对数列极限定义的初步掌握 的基础上，为巩固学生所学，我
让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的< br>过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大
附中学生的特点我安排了例 2，让学生作这道题目的在于通过对这道题
的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q
2< br>，…q
n
，…}收敛、发散性
有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生 先各抒己见，然后采
用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，
q
2
，…q
n
，…}和{
1,
1
,
1< br>,?
1
,?
}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得
23n
11
0,?,0,,
?
,
416
1n
?
sin< br>,?
n?1
22
”
并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体 会由特殊到一般再到
学生对例1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。
③ 补充说明
对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是
以自然数集子集为 定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的
项与点(n,f(n))，即点(n,a
n
)对应起来.当数列{a
n
}有极限A时，在直角坐
标平面内的几何意义为 ：任给正数
?
，存在一个以直线y=A+
?
和y=A-
?
为 边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, a
n
）都落
在这个条形 区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有
限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这 节课，形象直观，并为今
后函数极限的教学打下基础。
三、关于教学用具的说明：
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这节课的教学目的之一 是使学生通过对极限概念形成过程的了解，
较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握 。因此在
本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使
学生理解 “
?
”和“N”内在关系；
计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对 学生进行爱国
主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三
可对学生所 得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。
总之“恰当使用现代化教学手段，充分发挥 其快捷、生动、形象的辅助
作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，”是我选择和使用教学用具的根据。
四、结束语：
总之，作为极限概念这部分的教学，应使学生初步 体会到极限思想
是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数
学思想。 充分发挥学生主体意识，在老师引导下自主地获得知识。体验
数学概念形成的过程。
以上是我 作为一名年轻教师对本节课的设想，一定有很多不足之处，
请在座的专家、老师们多多批评、指正，谢谢 。

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