高中数学教案 线面平行的判定定理和性质定理

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
教学目的：
1.掌握空间直线和平面的位置关系；
2.直线和平面平行的判定定理 和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定
掌握理实现“线线”“线面

”平行的转化
教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用
教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面
平行特征性质这也可看作平 行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平
面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着 本质上的联系
通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下
一 大节学习共面向量的基础
前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是
这三小节的重点
教学过程：
一、复习引入：
1 空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：
ab,bc?ac
．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这
两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线
所成的锐 角(或直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法
a
b
b
ab
A
1
D
1
B
1
D
A
BC
1
C
a

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的 直线，和这个平面
内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：
A?
?
,B?
?
,l?
?
,B?l?
AB
与
l
是异面直线
第 1页（共7页）

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
7．异面直线所成的角：已 知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?a,b
?
b
，
a
?
,b
?
所成的角的 大小与点
O
的选择无关，把
．为
a
?
,b
?
所成的锐角（或直角）叫异面直线
a,b
所成的角（或夹角）
了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：
(0,
a
b
?
2
′
b
O
]

8．异面直线垂直：如果两条异面直 线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两
条异面直线
a,b
垂直，记作
a?b
．
9．求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角
即为所求
10．两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线
D
1
．．．．
C
1
B
1
的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，
叫做两条异面直线间的距离．
D
C
两条异面直线的公垂线有且只有一条
A
B
二、讲解新课：
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为 如下，符号分别可表示为
a?
?
，
a
?
?A
，a
?
．
A
1
a
a
a
?
?
A
?

2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，
那么这条 直线和这个平面平行．
推理模式：
l?
?
,m?
?
,lm ?l
?
．
证明：假设直线
l
不平行与平面
?
，
∵
l?
?
，∴
l
?
?P
，
若
P?m
，则和
lm
矛盾，
若
P?m
， 则
l
和
m
成异面直线，也和
lm
矛盾，
第 2页（共7页）

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
∴
l
?
．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平 行，经过这条直线的平面和这个
平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：
l
?
,l?
?
,
??
?m?lm
．
?l
m
证明：∵
l
?
，∴
l
和
?
没有公共点，
又∵
m?
?
，∴
l
和
m
没有公共点； < br>l
和
m
都在
?
内，且没有公共点，∴
lm
．
三、讲解范例：
例1 已知：空间四边形
ABCD
中，
E,F分别是
AB,AD
的
?
A
E
B
D
F< br>中点，求证：
EF
平面
BCD
．
证明：连结
BD
，在
?ABD
中，
∵
E,F
分别是
AB,AD
的中点，
∴
EFBD
，
EF
?
平面BCD
，
BD?
平面
BCD
，
∴
EF
平面
BCD
．
C
例2求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直
线 在此平面内．
已知：
l
?
,P?
?
,P?m,ml
，求证：
m?
?
．
证明：设
l
与
P
确 定平面为
?
，且
?
∵
l
?
，∴
lm
?
；
又∵
lm
，
m,m
?
都经过点
P
，
∴
m,m
?
重合，∴
m?
?
．
例3已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,b
?
α，
β
b
求证：b∥平面α
a
证明：过a作平面β交平面α于直线c
∵a∥α∴a∥c 又∵a∥b ∴b∥c，∴b∥c
c
α
∵ b
?
α, c
?
α，∴b∥α.
?
?m
?
，
?

m

m
?

P

?

例4．已知直线
a
∥平面
?
，直线
a
∥平面
?
，平面
?
平面
?
=
b
， 求证
a
b
．
分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而 达到a∥b的目的．可
借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．
第 3页（共7页）

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
证明：经过
a作两个平面
?
和
?
，与平面
?
和
?
分 别相交于直线
c
和
d
，
∵
a
∥平面
?
，
a
∥平面
?
，
∴
a
∥
c
，
a
∥
d
，∴
c
∥
d
，
又∵
d
?
平面
?
，< br>c
?
平面
?
，
∴
c
∥平面
?
，
又
c
?
平面< br>?
，平面
?
∩平面
?
=
b
，
b< br>c
a
?
?
d
?
?
∴
c
∥< br>b
，又∵
a
∥
c
，
所以，
a
∥
b
．
四、课堂练习：
1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a∥b，b??，则a∥? ②若a∥?，b∥?，则a∥b
③若a∥b，b∥?，则a∥? ④若a∥?，b??，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥?，b∥?，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（3）如果平面?外有两 点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB和平面?
的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB??
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面?，n∥平面?，?∩?=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
答案：(1) A (2) D (3) C (4)C
2．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ）
答案：(1) 真 (2) 假 (3) 假 (4)真
3．选择题
（1）直线与平面平行的充要条件是（ ）
第 4页（共7页）

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
（A）直线与平面内的一条直线平行
（B）直线与平面内的两条直线平行
（C）直线与平面内的任意一条直线平行
（D）直线与平面内的无数条直线平行
（2）直线a∥平面?，点A∈?，则过点A且平行于直线a的直线 （ ）
（A）只有一条，但不一定在平面?内
（B）只有一条，且在平面?内
（C）有无数条，但都不在平面?内
（D）有无数条，且都在平面?内
（3）若a??，b??，a∥?，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥?”，则条件甲是条
件乙的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）无数个 （D）以上都有可能
答案：（1）D（2）B（3）A（4）D
4．平面?与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面?
B
略证：AD∶DB=AE∶EC
?BCDE
?
?
BC?
?
?
?BC
?

DE??
?
?
C
?
E
D
A
A
ED
B
F
C
5．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，
求证：EF∥平面ACD.
略证：E、F分别是AB、BC的中点
?
EF AC
?
?
EF?ACD
?
?EF
?

AC ?ABC
?
?
6．经过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱BB
1
作一平面交平面
AA
1
D
1
D于E
1
E，求证：E
1
E∥B
1
B
?
?
略证：
AA
1
?BEE
1
B
1
?
?AA
1
BEE
1
B
1

BB
1
?BEE
1
B
1
?
?
AA
1
BB
1
A
1
E
1
D
1
B
1
C
1
E
A
第 5页（共7页）
D
B
C

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
?
?
AA
1
?ADD
1
A
1
?
?AA
1
E E
1

ADD
1
A
1
?
BEE
1
B
1
?EE
1
?
?
AA
1
BEE
1
B
1
AA
1
BB
1
?
?
?BB
1
EE
1

AA
1
EE
1
?
7．选择题
（1）直线a，
b是异面直线，直线a和平面?平行，则直线b和平面?的位置关系
是（ ）
（A）b?? （B）b∥? （C）b与?相交 （D）以上都有可能
（2）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面
（A）只有一个 （B）恰有两个
（C）或没有，或只有一个 （D）有无数个
答案：（1）D (2)A
8．判断下列命题的真假.
（1）若直线l??，则l不可能与平面?内无数条直线都相交. （ ）
（2）若直线l与平面?不平行，则l与?内任何一条直线都不平行 （ ）
答案：（1）假 (2)假
9．如图，已知
P
是平行四边形
ABCD
所在平面外一点 ，
M
、
N
分别是
AB
、
PC
的中点
P
（1）求证：
MN
平面
PAD
；
（2）若
MN?BC?4
，
PA?43
，
求异面直线
PA
与
MN
所成的角的大小
略证（1）取PD的中点H，连接AH，
H
D
A
N
C
B

?NHDC,NH?
1
DC

2
M
?NHAM,NH?AM?AMNH
为平行四边形
?MNAH,MN?PAD,AH?PAD
?MNPAD

解(2): 连接 AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，
ON平行且等于PA的一半，所 以
?ONM
就是异面直线
PA
与
MN
所成的角，由
MN?BC?4
，
PA?43
得，OM=2，ON=
23

所以
?ONM?30
，即异面直线
PA
与
MN
成
3 0
的角
0
0
10．如图,正方形
ABCD
与
AB EF
不在同一平面内,
M
、
N
分别在
AC
、且AM?FN
求证：
MN
平面
CBE

BF
上，
C
T
D
M
B
N
H
第 6页（共7页）
A
E
F

高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第6课时）
略证：作
MTAB,NHAB
分别交BC、BE于T、H点
AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

从而有MNHT为平行四边形
?MNTH?MNCBE





五、小结 ：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当 这
条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：



第 7页（共7页）