初高中数学衔接

3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c满足
a?b?c?ab?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状．







4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．










222
(
八
)
根的判别式

我们知道，对于一元 二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4a c＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当b< br>2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于
2a
或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可 知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－ 4ac来判定，我们
把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋bx ＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（2） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方
程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实
数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，
在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想
方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．
练习：
1.解下列方程：
（1）
2x?13x?6?0
（2）
4x?4x?1?0
（3）
3x?5x?7?0






2.解关于
x
的方程：
mx?2x?1?0

2
2
2
2

(
九
)
根与系数的关系（韦达定理）（1）
若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1< br>＋x
2
＝
?
c
b
，x
1
·x
2
＝．这一
a
a
关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项 系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达
定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q ＝0的两根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2
－( x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．因此 有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另
一个根．但由于我们学习了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个
根及方程的二次项系数和常数项，于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和
求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
2

∴k＝－7．
所以，方程就为5x
2
－7x－6 ＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－
所以，方程的另一个根为－
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3
k
）＋2＝－，得 k＝－7．
5
5
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的
平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方
程，从 而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，
其根的判别式应大 于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1< br>2
＋x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
2
∴(x
1
＋x
2
)－3 x
1
·x
2
＝21，
即 [－2(m
－
2)]
2
－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范
围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即
可。
（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还 要考虑到根的判别式Δ
是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

练习：
1.
m
为何值时，
x?m?1x?2m?3?0
的两根均为正？


2.已知
x
1
,x
2
是方程
x
2
?5x?2?0
两个实数根，求：①
x
1
?x
2
；②
x
1
?x
2
；③
33
2
； ⑤
x
1
?x
2
；⑥
x
1
2
?x< br>2
2
????
11
?
；④
x
1
x< br>2
1
；⑦
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
。
2
x
1
2
?x
2

3.已知
?
,
?
是方程
x?7mx?4m?0
的两根，且




4.已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是
2
，求它的另一根及
k
的值。





5.求作一个方程，使它的根是方程
x?7x?8?0
的两根的平方的负倒数.





2
2
22
?
?
?1
??
?
?1
?
?3
，求
m
的值.
(
十
)
根与系数的关系（韦达定理）（2）

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别 为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用
韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．

∴
?
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一
简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
22
x
1
x
2

（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??

5
3
，
x
1
x
2
??
．
2
2
5
2
2
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

3
2
＝
∴| x
1
－x
2
|＝
2549
＋6＝，
44
7
．
2
2
1
2
1
2


（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
3 7
224
．
????
2
39
(x
1
x< br>2
)9
(?)
2
24
2
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
) ＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
＝( －
55215
3
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝ －．
228
2
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们 经常会遇到求这一
个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x2
?
，
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：

若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0 （a≠0），则| x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－
|a|
4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于 x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a
的取 值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．
练习
1.填空题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 。

（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范
围是 。
（3）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x< br>2
，则
22
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（4）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
2．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数
根？








3．已知方程x
2
－3x－1 ＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．






习题
A 组
1．填空题:

（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 。

（2）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是 。

（3）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（4）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2＋β
2
＝ ．

（5）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（6）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．
3 ．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实
数根？有两个相等的实数根？没有实数根？









4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．








5．若关于x 的方程x
2
＋x＋a＝0的一个根大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．







B 组
1．填空题:
（1）若m，n是方程x
2
＋2010x－1＝0的两个实数根，则m
2n＋mn
2
－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程 x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b ＋ab
2
＋b
3
的值
是 ．
< br>（3）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋7＝0的两根，则 这个直角
三角形的斜边长等于 。
（4）若x
1
，x
2
是方程2x
2
－4x＋1＝0 的两个根，则
x
1
x
2
?
的值为 。
x
2
x
1
2．已知关于x的方程x
2
－ kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x
2
，求实数k的取值范围．

3．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0） 的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1
－x
2
|和
（2）x
1
3
＋x
2
3
．





4．关于x的方程x
2
＋4x ＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．





5． 已知x
1
，x
2
是关于x的一元二次方 程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
说明理由；
x
1
?x
2
；
2
3
成立？若存在，求出 k的值；若不存在，
2
x
1
x
2
?
－2的值为整数 的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
（3）若k＝－2，?
?
1
，试求
?
的值．
x
2
（2）求使












（十一）
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
1
2
x，y＝－2x< br>2
的图象，通过这些函数
2
图象与函数y＝x
2
的图象之间的 关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2
x … 9 4 1 0 1 4 9 …

2x
2
… 18 8 2 0 2 8
< br>从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
y＝2x2

的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图
象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个 函数
图象之间的关系：函数y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的
图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
18
y
…
y＝x
2

1
2
x，
2
y＝－2x
2
的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x
2
的图
x
O
象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
图2.2-1
二次函数y＝ax
2
(a≠0)的图象可以由y＝x
2
的图象
y
各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝
ax
2
(a≠0)中，二 次项系数a决定了图象的开口方向和在
y＝2(x＋1)
2
＋1
同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与 y＝ax
2
的图象之间
y＝2(x＋1)
2

存在怎样的关系？
y＝2x
2

同样地，我们可以利用几个特殊的 函数图象之间
的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y
＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2－2所示），从
2
函数的同学我们 不难发现，只要把函数y＝2x的图象
向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得
到函 数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间
具有“形状相同，位置不同” 的特点．
x
－1
O
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x
－1)
2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
图2.2-2
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h )
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二
次函数 图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而
且“k正上移， k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a ≠0)的图象的方法：
b
2
b
2
bb
2
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－ 由于
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x< br>2
＋
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移
得到的，于是，二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac?b
2
,)
，对（ 1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
b
bb
称轴为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y 随着x的
2a
2a2a
4ac?b
2
b
增大而增大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝．
4a
2a
y＝ax
2
＋bx＋c

b4ac?b
2
,)
， （2）当a＜0时，函数 y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
b
bb
对称轴为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y 随着x
2a
2a2a
4ac?b
2
b
的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y＝．
4a
2a
2
上述二次函数 的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今
后解决二次函数问题时， 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．


2
y
b4ac?b
y
b

,)
A
(?
x＝－
2a4a

2a





O
x
O
x


2
b4ac?b
b

,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a

图2.2-4
图2.2-3

A(－
y
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6 x＋1图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y
随 x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2< br>－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
D(0,1)
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
O
B
x
C
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y
随着x的增大而减小；
x＝－1
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点
图2.2－23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴的交点为D(0，1) ，B
(
33
过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以 看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，
减少了选点的盲目性，使画图更简便 、图象更精确．




例2 某种产品的成本是120元件， 试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量
y（件）之间关系如下表所示：
X元 130 150 165
Y件 70 50 35

若日销售量y 是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销
售价应定为多少元？此时每天 的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销 售价x的一次
函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函 数
关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
?
50?150k?b,
解得 k＝－1，b＝200．
∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函
数y＝x
2
的图像，求b，c的值．
b
2
b
22
解法一：y＝x＋ bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4
4
2
bb
2
2
个单位，得到
y?(x??4)?c??2
的图 像，也就是函数y＝x
2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
解法二： 把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得
到 函数y＝x
2
的图像，等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位， 再向右平移4个单
位，得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
由于把二次 函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x
－4 )
2
＋2的图像，即为y＝x
2
－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c表
示同一个函数，∴b＝－8，c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条 件进行正向的思维来解决
的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化 成与之等价的
问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰 当
的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数
取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1） 当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大
值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2 时，函数取最大值y＝4；当x＝a
时，函数取最小值y＝a
2
；
（3）当 0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0

时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y ＝a
2
；当x＝0时，函
数取最小值y＝0．
y
y
4

4

y
y
a
2

4

O
a
2
x


－2

③

O
a
x

a
2
－2
a

①


O
x
－2

a

2
②
图2.2－6


说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类
问题时 ，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
练习
1．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m
＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标
为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x
满足

时，y随着x的增大而减小．

2．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小 ）值及y随x的变化情况，并画
出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．







4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下列取值范 围内时，分别求函数的最大值或最小
值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

（
十二）二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我
们先来 研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于
是，不难发现，抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程
①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4a c存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝
ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 ，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与 x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过
来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0 )与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴 没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1
， x
2
是方
程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，所以

c
b
，x
1
x
2
＝，
a
a
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝ax
2
＋bx＋c＝a(
x ?x?
)
aa
x
1
＋x
2
＝
?
= a[x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x
1
， 0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系式可以
表示为y＝a(x－x
1< br>) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、
交点式这三 种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x ＋1上，并且图象经过点（3，
－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利 用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将
二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来 求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后
设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并
巧 妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点 到x轴的距离等于2，求此二次
函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的 图象所过的两点实际上就是二次函数的图象
与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
所以，二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由
顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于 是，又可以将二次函数的表达式设
成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就 可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
所以，所求的二次函数为y＝
－
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式
和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点
式、交点式来求二次函数的表达式？

练习
1．填空：

（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是
2
（3）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解 析式可设
为y＝a (a≠0) ．
（4）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
2．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；




（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；






（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

（4）函数图象关于
x?1
对称，且 与
x
轴的两个交点分别为（-1,0），（3,0）





（十三）二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究
二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的
位置 、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶
点式研究其顶点 的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后 得到的图象所对应的函数解
析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变 其形状（即不改变二次项系数），所
以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所 以，首先将二次函数的解
析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平 移后函数图像
所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解 析式可变为y＝2(x－1)
2
－1，其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函数 y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图
象 的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)
2
－ 1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图
象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．


2．对称变换
y

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的
x＝－1
直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可
以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐
标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特 点
——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其
O
x
形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题
A(1,－1)


时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向
图2.2－7

来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋ 1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解
析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x
2
－4x＋1
y
B(1，3)
的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶
点位置，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x2
y＝1
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图
象的 顶点为A
1
(－3，1)，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1
O
x
的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式
为y＝2(x＋3)2
－1，即y＝2x
2
＋12x＋17．
A(1,－1)
（ 2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图
象关于直线x＝－1作对 称变换后，只改变图象的顶点位
图2.2－8
置和开口方向，不改变其形状．
由 于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x
2
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所
以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3) ，且开口向下，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图
象关于直线y＝1对称后所 得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)
2
＋3，即y＝－2x
2
＋4x ＋1．


练习：
1．把函数y＝－(x
－
1)
2
＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解
析式为 。
2.函数
y?2x?3x?1
的图象关于直线
x?3
对称的图象 所对应的函数解析式
是 。
3. 函数
y?2x?3x?1
的图象关于点（1,0）对称的图象所对应的函数解析式
是 。
4. 如 图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B
Ｃ
相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB位置不 变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，
如图②，求△AE′C 的面积S关于k的函数解析式.







2
2

O
x
E
E
′

C（1，-3）
C（1+k，-3）



A
A
（-2，-6）
（-2，-6）


（第4题图①）
（第4题图②）










5.求函数
y?x
2
?4x?1
在
a?x?a?2
上的最小值。




（十四）分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式 给出，这种函数，叫作
分段函数．

例1 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮
资160分，超过40g不超过60g付邮资240 分，依此类推，

每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮
资（单位：分）？写出 函数表达式，作出函数图象．
分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的 ．所以，可以用
分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如 20
＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为
（

?
80,
?
160
?
?

y?
?
240,
?
320
?
?
?
400,

x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]

x?(60,80]
x?(80,100]
y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．
图2.2－9
例2如 图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD
移动一周 后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
D
（1）求函数y的解析式；
C
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．
分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
P
解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
1
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－x；
22
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，
11
y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
22
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，
练习：
1.（1）作函数
y?x?1?x?2
的图象。
y＝
（2）作函数
y?x?1?x?2
的图象。

补：已知
a?x?1?x?2
恒成立，求
a
的范围。






A
图
2.2
－
B
2．矩形
ABCD
中
AB ?4,CD?2
，有一个动点P在矩形的边上运动，从点A出发沿折线

ABCD 移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．











（十五） 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元
二次方程．其中
x
,
2xy
,
y
叫做这个方程的二次项,< br>x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组： < br>2
2
22
?
x
2
?4y
2
?x?3 y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
22
?
?
x?y?20,

?
2

2
?
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元 一次方程组成的，第二个方程组是由两个
二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

x?2y?2?0.
?
①
②
分析：二元二次 方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉
的形式．注意到方程②是一个一 元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方
程①，得到一个一元二次方程，从而将所求 的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是
?
x
1
?2,

?

y?0，
?
1

例2 解方程组

?
?
x
2
?0,
?
y??1.
?
2
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用 本例所介绍的代入消元法来求解．
?
x?y?7,

?
xy?12.
①
②
解法一：由①，得

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是
2
?
x
1
?4,

?

y?3，
?
1
?
x
2
?3,

?
y?4.
?
2
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数 的关系，把
x,y
看作一个一
元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是

?
练 习：
解下列方程组:
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

y?4.
y?3;
?
2
?
1
?
y?x?5,
?x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?

2
xy??10;
x?y?625;
?
?

?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y? 2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?






（十六） 一元二次不等式解法（1）
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
－2
O
y＜0
3
x
y＞0
y

y＝x
2
－x－6
y＞0
图2.3－1
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是

－2＜x＜3．
上例表明：由抛物 线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应
的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用 类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象来解一
元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△＞0，
△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有 实
数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、 一个公共点和没有
公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次 不等式ax
2
＋
bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（ a＞0）的解．
y
y
y
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x

O
③
x
①
②
图2.3－2
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0 ）与x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，
方程ax2
＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
b
＋ bx＋c＝0有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2
＋bx＋c＝0
没有实数根
，
由图2.3－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求
解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系数大
于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
例 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；

（5）－4＋x－x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为 －3≤x≤1．
（2）整理，得
x
2
－x
－
6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为
x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x>3．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
练习：
解下列不等式：
1.
2x?7x?3?0
；



2
2.
?3x?5x?2?0




2
3.
9x?6x?1?0




2
4.
4x?4x?1?0





2
5.
2x?x?5?0







2

（十七） 一元二次不等式解法（2）
例1 已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
2
bx
2
?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为
x ?2,或x?3
，可知
b
a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，∴
??5,
a
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2
c
?6
，
a

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
2
例2 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已
满足这一要求,欲求 一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知< br>系数的代数式,
?
的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进
行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是
2
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.

22
?a?a
2
?4?a?a< br>2
?4
所以,原不等式的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例3 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小 值为n，试将n用a表示出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位 置有关，于是需要对

对称轴的位置进行分类讨论．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.
综上,函数的最小值为
?
4a?5,a??2,
?

n?
?
1?a
2
,?2?a?1,

?
?2a?2,a?1.
?
x＝a
y
x＝a
y
y
x＝a
－2 O
1
x
－2 O
1
x
－2
O
1
x
①


②
图2.3－3
③