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初高中数学衔接知识点专题一

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 11:10
tags:初高中数学衔接

高中数学过定点问题-2019教师资格试讲高中数学

2020年9月18日发(作者:喻文鏊)


初高中数学衔接知识点专题(一)

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】
1.绝对值
[1]绝对值的代数意义: .即
|a|?

[2]绝对值的几何意义: 的距离.
[3]两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示 的距离.
[4]两个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)?
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1]平方差公式: ;
[2]完全平方和公式: ;
[3]完全平方差公式: .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式1]
(a?b?c)
2
?
[公式2]
[公式3]
说明:上述公式均称为“乘法公式”.
3.根式
[1]式子
a(a?0)
叫做二次根式,其性质如下:


|x|?a(a?0)?

?a
3
?b
3
(立方和公式)
?a
3
?b
3
(立方差公式)
b
?

a
[2]平方根与算术平方根的概念: 叫做
a
的平方根,记作
x??a(a?0)
,其
2
(1)
(a)?
;(2)
a
2
?
;(3)
ab?
; (4)

a
(a?0)
叫做
a
的算术平方根.
[3]立方根的概念: 叫做
a
的立方根,记为
x?
4.分式
[1]分式的意义 形如
3
a

AAA
的式子,若B中含有字母,且
B?0,则称为分式.当M≠0时,分式具有
BBB
下列性质: (1) ; (2) .
[2]繁分式 当分式
m?n?p
AA
的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,如,
2m
BB
n?p
说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
[3]分母(子)有理化
把分母(子)中的 根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的
有理化因式,化去分母 中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分
子中的根号的过程

【例题选讲】



例1 解下列不等式:(1)
x?2?1
(2)
x?1?x?3
>4.




例2 计算:
(1)
(x?2x?)

2
1
3
2
(2)
(m?
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)

225104





4222222
(3)
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
(4)
(x?2xy?y)(x?xy?y)






例3 已知
x?3x?1?0
,求
x?




例4 已知
a?b?c?0
,求
2
3
1
的值.
x
3
111111
a(?)?b(?)?c(?)
的值.
bccaab




例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)




(3)



例6 设
x?




3

2?3
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

11
?

ab
(4)
2
x
?x
3
?8x

2
2?32?3
33
,求
x?y
的值.
,y?< br>2?32?3


x
2
?3x?96xx?1
x
? ?
例7 化简:(1) (2)
1?x
x
2
?279 x?x
2
6?2x
x?
1
x?
x
xxxxx(x? 1)x?1
???
2
??
(1)解法一:原式=
2
1?x (1?x)?xx
x?x?x
xx
x?
2
x?x?
x?1< br>(x?1)(x?1)x?1
x?1
x
xxxx(x?1)x?1
解法二:原式=
???
2
?
(1?x)?xx(1?x)x
x?x ?xx
x?x?
2
x?
1
x?1x?1
(x?)?x
x
x
2
?3x?96xx?116x?1
?????
(2)解:原 式=
22
(x?3)(x?3x?9)x(9?x)2(3?x)x?3(x?3)(x?3 )2(x?3)

2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)
23?x
???

2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;
(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式


【巩固练习】

1.
解不等式
x?3?x?2?7





x
2
?xy?y
2
11
,y?
2.

x?
,求代数式的值.
x?y
3?23?2





aba
2
?b
2
3.

3a?ab?2b?0(a?0,b?0)
,求
??
的值.
baab
22





4.

x?
5?1
42
,求
x?x?2x?1
的值.
2







5.
计算
(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)











6.化简或计算:
(1)
(18?4
11321
(2)
2

?)??2?(2?5)
2
?
2
2?3
3










(3)
xx?xyx?xy?y
xy?y
2
?
xx?yy





● 各专题参考答案 ●
3
5?2
(4)
(a?
b?ab
a?b
)?(< br>aba?b
ab?b
?
ab?a
?
ab
)






























专题一数与式的运算参考答案

例1 (1)解法1:由
x?2?0
,得
x?2

①若
x?2< br>,不等式可变为
x?2?1
,即
x?3
; ②若
x?2
,不等式可变为
?(x?2)?1
,即
?x?2?1

解得:x?1
.综上所述,原不等式的解为
1?x?3

解法2:
x?2
表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离,所以不等式
x?2?1
的 几何意义即
为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为x的点在坐标 为3的点的
左侧,在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为
1?x?3

解法3:
x?2?1??1?x?2?1?1?x?3
,所以原不等式的解为
1?x ?3

(2)解法一:由
x?1?0
,得
x?1
;由x?3?0
,得
x?3

①若
x?1
,不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
,即
?2x?4
>4,解得x<0,又x<1 ,∴x<0;②若
1?x?2

不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4< br>,即1>4,∴不存在满足条件的x;
③若
x?3
,不等式可变为
( x?1)?(x?3)?4
,即
2x?4
>4, 解得x>4.又x≥3,∴x>4.
综上所述,原不等式的解为x<0,或x>4.
解法二:如图,
x?1
表示 x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-

|x-3|
A
1
3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|.
所以 ,不等式
x?1?x?3
>4的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,
可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
所以原不等式的解为x<0,或x>4.
P
x
C
0
B
D
3 4
x
|x-1|
1
2
3
8
2
221
43
x?

?x?22x?x?
339
2
例2(1)解:原式=
[x?(?2x )?]?(x)?(?2x)?()?2x(?2)x?2x??2??(?2x)

222< br>1
3
222
1
3
1
3
说明:多项式乘法的结 果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
1
3
1
3
1
3< br>1
3
m?n

521258
24222336
(3) 原式=
(a?4)(a?4a?4)?(a)?4?a?64

2222222332 6336
(4)原式=
(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]?(x ?y)?x?2xy?y

1
2
例3解:
Qx?3x?1?0

?x?0

?x??3

x
1
2
111
22
原式=< br>(x?)(x?1?
2
)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18

xxxx
例4解:
Qa?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b

(2)原式=
(m)?(n)?
a
2
?b
2?c
2
b?ca?ca?b
a(?a)b(?b)c(?c)
?
原式=
a?
?????
?b??c?

bcacababc< br>bcacab
33223
Qa?b?(a?b)[(a?b)?3ab]??c(c?3 ab)??c?3abc

3abc
?a
3
?b
3
?c
3
?3abc
②,把②代入①得原式=
???3

a bc
3(2?3)3(2?3)
例5解:(1)原式=
??6?33

2
2?3
(2?3)(2?3)
?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)
(2)原式=
|x?1|?|x?2|?
?

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)
?
说明:注意性质
a2
?|a|
的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.


a?ba
2
b?ab
2
(3)原式=
?< br>abab
2x
?x?x
2
?2?2
2
x?2x?xx ?22x?32x?xx
(4) 原式=
2
2?2
2?3(2?3)
2
例6解:
x???7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1
2
2?3
2?3
2222
原式=
(x?y)(x?xy?y)? (x?y)[(x?y)?3xy]?14(14?3)?2702

说明:有关代数式的求值 问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,
倒推几步,再代 入条件,有时整体代入可简化计算量.
【巩固练习】
1.
?4?x?3
2.
?
4442
13
3
3.
?3

2

6
22222
4.
3?5

5.
?x?y?z?2xy?2xz?2yz
6.
?
1
?
?3,
?
2
?

x? y
43
,
?
3
?
,
?
4
?
b?a

3y

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