初高中数学几何衔接

初高中衔接教材编排



第一部分相交线


1 角的定义：

具有公共端点的两条 射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，

这两条射线叫做角的两条边。表示方法符号：∠



















两条相交线出现四个角


2 余角和补角：

两角之和为

90°则两角互为余角，两角之和为

180 °则两角互为补角。


等角的余角相等，等角的补角相等


















3

对顶角的定义
如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线

,且这两个角有公共顶点 ,那么这两个角是对顶角



如图 1 ， 两条直线相交，构成两对对顶角。∠

1 与∠ 3 为一对对顶角，∠ 2 与∠ 4 为一对对顶角。















图 1

注意：



1. 对顶角一定相等，但是 相等的角不一定是对顶角 。

2. 对顶角必须有共同顶点。
3.

对顶角是成对出现的。
在证明过程中使用对顶角的性质时，以

图1为例，



∴∠ 1= ∠ 3，∠ 2= ∠ 4(对顶角 相等 )。

4 同位角，内错角，同旁内角






























同位角：两条直线被第三条直线所截



,在截线的同旁 ,被截两直线的同一方

,我们把这种位置关系的角

互为同位角的有：∠

1 与∠ 5,∠2 与∠ 6,∠ 4 与∠ 8,∠3 与∠ 7；


内错角：两条直线被第三条直线所截

,两个角分别在截线的两侧 ,且夹在两条被截直线之间 ,具有

一对角叫做内错角 .互为内错角的有：∠ 3 与∠ 5, ∠2 与∠ 8


同旁内角： 两条直线被第三条直线所截

,在两条直线之间 ,并在第三条直线同旁的

两个角称为同

互为同旁内角的有：∠

3 与∠8,∠2 与∠ 5


例题【基础题】请找出图中的同位角，内错角，同旁内角






例题、【基础题】如图， O是直线

AB一点，∠ BOD=∠ COE=90o，


则（ 1）如果∠ 1=30o，那么∠ 2=

，∠3=。


（2）和∠ 1 互为余角的有

。



C


和∠ 1 相等的角有


。


例题【基础】

32o的余角为

， 137o的补角是

。


A


第二部分平行线


1．定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.


2．特征

在同一平面内 【必须满足，这是一个难点】

不相交


说明强调在一个平面内， 是因为高中的时候会出现一条线和一个面，

那么这个时候存在着
的有些直线不平行的问题，这个有点难理解。


3

．表示方法

我们通常用‘／／’表示平行比如直线

ABCD




B








A

第
1

页

4.

在同一平面内两条直线的关系有两种，平行和相交
相交的情况包括垂直 . 两条直线的夹角为 90 度，就称这两条直线垂直













垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线


直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。



点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线的长度。

5. 平行线的画法工
具：直尺，三角板




























6.

平行公理，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

.

【推论】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

.






























在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行

平行于同一直线的两条直线平行



7．平行线的三个性质


性质一：两条直线被第三条直线所截，同位角相等简称两直线平行，同位角相等


性质二：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简称两直线平行，内错角相等

性质三：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【相加为

180 度】简称两直线互补，同旁内角互补。














【基础题】















【基础题】



















例题【基础题】判断对错


在同一平面内两条平行线有且只有一个交点（错）


两直线的位置只有相交和平行（错）




练习 1. 【基础题】在同一平面内，与已知直线

m平行的直线有

条， 而经过直线

m外


线平行的直线有

条。


练习 2. 【基础题】已知 AB∥ CD,CD∥ EF，则 AB∥ EF 根据是

。


练习 3. 【基础题】在同一平面内，两条直线的位置关系可能有（

）


A 两种 : 平行或相交 B

、两种 : 平行或垂直；

C、三种 : 平行、垂直、相交； D、两种 : 垂直或
交


练习 4. 【基础题】已知直线 AB及一点 P，若过 P 点作一直线与 AB平行，那么这样的直线（


A、有且只有一条；

B

、有两条；

C 、不存在；

D 、不存在或只有一条


例题 [ 基础题 ] 如图（ 1），直线 a,b 被直线 c 所截，若∠ 1+∠ 3=180°，则

∥

。

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2

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第三部分三
角形


1.定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形

















三角形的三条边，三个顶点，三个内角


三角形的表示方法，可以用符号△

ABC 来表示


三角形的三个内角之和是 180

度。



四边形的内角和是

360 度，五边形的内角和是

540 度。。。
n 变形的内角和是

180（ n-2）



°
在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+∠ C=180
.



和内角相邻互补的三个角叫做外角。

由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三
角形的外角











三
角
形
的
一
个
外
角
等
于
和
它
不
相
邻
的
两
个
内
角
和

2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

【
基
础

.

题
】


例
题
【
基
础
题
】
如
图
（
1
）
△

B
C
D

的
外
角
是

_
_
_
_
_
.

（

2
）
∠

2

既
是

_
_
_
_
_
_
的
内
角
，



又
是

_
_

_
_
_
_
的
外
角

.

360 度。

2

个，他们的大
三角形的三个外角之和为



与三角形的每个内角相邻的外角分别有

小





相等
.
三
角
形
边
的
性
质
三
角
形
两
边
之
和
大
于
第
三
边

三
角
形
两
边
之
和
小
于
第
三
边

根
据
这
个
性
质
我
们
可
以
判
断
三
边
，互为对顶角

3 .如果最长边小于其他两边的和，那
么可以组成，如果大于或者等于，
则不行。




是
否
可
以
构
成
三
角
形

做
题
步
骤
：
1
.
先
找
出
最
长
的
一
条
边

第
3

页

2
.
然
后
最
长
边
和
其
他
两
边
的
和
相
比

例题【基础题】判断下列是否可以构成三角形，并说明理由


三角形的高线


从三角形 一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和

垂足之间的线段称三角形这条边上的高。

（ 1）a=2.5cm, b=3cm, c=5cm ；
（ 2）e=6.3cm, f=6.3cm, g=12.6cm.

例题【基础题】由下列长度的三条线段能组成三角形吗

?请说明理由 .


（

1）3，8，10；
（ 2）5，2，7；

（ 3）5，5，11；
（ 4）13， 12，20.



例题【基础题】现有

4 根木棒 , 长度分别为 12, 10, 8, 4,

选择其中 3 根组成三角形 , 则能组成

三角形的个数是

( c ).


A.1

B.2

C.3

D.4

例题【基础题】


如图，在△ ABC 中，∠ A=45° ， ∠B=30°，

求∠

C的度数.

例题【基础题】 、在 △ ABC 中，∠ A=45 ° ， ∠ B= 2∠ C，求




∠ B,∠C 的度数 .


根据三角形内角的大小分为三类



锐角三角形【三个角全是锐角】


直角三角形【有一个角是直角】


钝角三角形【有一个角是钝角】


说明我们平时使用的三角尺有两个，是特别的三角形，一个是两个角都是

45 度的直角三角形

第二个是一个角为

30 度，一个角为 60 度的直角三角形。


三角形的角平分线


三角形 的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的

角平分线 。












定理 1



角
平
分
线
上
的
点
到
这
个



























锐角三角形 ：从一个顶点向该顶点的 对边做垂线 ；


直角三角形 的直角边是直角三角形的高，直角顶点向

斜边 做垂线 为斜边高；


钝角三角形钝角顶点 向对边做 垂线为该边的高， 锐角向对边外延长线做

垂线 为该边的高。

三角形的垂心：三角形的三条

高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心




























若 AD 是△ ABC 的高，则① AD ⊥ BC 于 D ②∠ ADC=90° 或∠ ADB=90°

角
两边
的
距
离
相
等
。













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4

页

三角形的面积

三角形面积是指一个三角形通过测量和计算而
得的

平面 面积






























三角形面积



（面积 =底 ×高 ÷2。其中， a 是三角形的底， h 是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之
对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。


三角形的边平分线 三角形顶点到对应边中点的连线叫做三角形的边平分线，一个三角形有三条边平分线 ，三条
边平分线的交点叫做三角形的重心。







































三角形的外心




三角形 外接圆 的圆心叫做 三角形的外心


















































全等三角形


全等形

能够完全重合的图形，叫做全等形



说明，他们的形状形同，大小相同。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形



说明必须满足大小相同


全等三角形的各个元素

对应顶点 当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点
对应边 互相重合的边


对应角

互相重合的角


表示方法例如 △ACD ≌△BDC


性质

1 全等三角形的对应边相等，对应角相等

判定方法 1【简称角边角， ASA 】如果一个三 角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其
相等，那么这两个三角形全等


判定方法 2【简称角角边或 AAS 】如果一个三角形的两个角及其中一角的对边分别与 另一个三角形的两
中一角的对边对应相等对应相等，那么这两个三角形全等


判定方法 3【边角边或者 SAS】 如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边 及其夹
相等，那么这两个三角形全等


判定方法 4 【简称边边边或 SSS】如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应相等，那
三角形全等。


【基础题】

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页

三角形内的勾股定理，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形


相似三角形



如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等，

并且他们的对应边成比例，

那么这两个三角


形叫做相似三角形【形状相同，大小不同，对应边成比例】



相似三角形的元素

对应角 对应顶点

对应边


表示方法，例如

△ ABC ∽△ A‘B’C‘


判定方法 1 如果一个三角形的两个角分别与两一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。


判定方法 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形
相似。


判定方法 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。



推论一

两个相似三角形对应高的比等于它们对应边的比



推论二两个相似三角形面积的比等于它们对应边的比的平方。


第四部分平行
四边形


1

定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

四条边，两组对角，两条对角线










2 性质定理 1 平行四边形的对边相等

定理 2

平行四边形的对角相等

定理 3

平行四边形的对角线互相平分




两条平行线之间的距离叫做平行四边形的高

平行四边的面积等于高乘以垂直的边


3

判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

判定定理


2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形


判定定理

3 对角线互相平分的四边形是平行四边形


定理 4 两组对边分别互相平行的四边形是平行四边形


4 特殊的平行四边形


矩形 有一个角是直角的平行四边形
























矩形的性质定理



1 矩形的四个角都是直角

矩形性质定理 2 矩形的对角线相等



推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

推论：矩形的面积等于相邻边长的乘积



矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形

菱形：

有一组邻边相等的平行四边形


性质定理

1：菱形的四条边都相等

性质定理

2：菱形的两条对角线互相垂 直，每一条对角线平分一组对角
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

判定定理

1： 四条边都相等的四边形是菱形

判定定理

2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形：

一组邻边相等的矩形


推论一有一个角是直角的菱形是正方形

正
方
形
的
四
个

角
相
等
，
都
是
九
十
度
，
两
条
对
角
线
相
等
，
平
分
，
且
垂
直
。







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6

页

第五部分梯形


连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线



1 定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫梯形








梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。这叫做梯形的中位线定理



第五部分圆



1 定义

到固定点 距离相等的点所组成的图形叫做圆。固定点叫做圆心，点到固定点的线段叫做半径，一个













平行的两边叫做梯形的底，短的叫做上底，长得叫做下底。



不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间，与底垂直的线段叫做梯形的高
推论 1 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 .























其中 AB=CD ， AC=BD

推论 2 一腰与底垂直的梯形叫做直角梯形





























梯形的面积等于【上底

+下底】乘以高除以

2


等腰梯形的性质定理

1 等腰梯形同一底上的两个内角相等


性质定理 2 等腰梯形的两条对角线相等



等腰梯形的判定定理

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形


的所有半径都相等。圆上任意两点的连线叫做圆的弦。


弦把圆弧分为两段，长得叫做优弧，短的叫做劣弧。垂直于弦的线段叫做圆的垂径

.



圆是轴对称图形，也是中心对称图形。



垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。






































推论

平分弦【不是直径】的直径垂直垂直于这条弦，平且平分弦所对的两条弧。


圆心角定义

顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角。


圆心角∠ AOB 的取值范围是

0°<∠AOB<360°

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推论一 圆心角的度数等于它所对的劣弧的度数。




切线的判定定理

圆周角 （ angle in a circular

segment ）

切线的性质定理


经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。


圆周角的定义

顶点在圆周上，并且两边为圆的两条弦的角叫做



（ Inscribed Angle

）。圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦



圆的切线垂直于经过切点的半径。

与三角形各边都相切的圆叫做内切圆





三角形的内切圆

内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做外切三角形。




















圆周角定理 :在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于
这条弧所对的圆心角的一半。



①
圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。



②

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所
对的弧也相等。


③

半圆（或直径）所对圆周角是直角，

90°的圆周角所对的
弦是直径。


4 在同圆或等圆中，圆周角相等

<=> 弧相等 <=> 弦相等 <=>
弦心距相等。

三
角
形
的
内
心
是
三
角
形
的
三
条
角
平
分
线
的
交
点
。

圆
心
到
各
边
都
垂
直
，
距
离
都
相
等
。

确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。


直线和圆的位置关系


直线 l 与☉ o 有两个公共点时，叫做直线

直线 l 与☉ o 有唯一公共点时，叫做直线

直线 l 与☉ o 没有公共点时，叫做直线

l 与☉ o 相交。直线
l 与☉ o 相切。直线
l 与☉ o 相离。

l 叫做☉ o 的割线，两个公共点叫做交点。
l 叫做☉ o 的切线，唯一的公共点叫做切点。

弧
长
公
式

:
n

是
圆
心
角
度
数
，
r

是
半
径
，