初高中数学衔接知识点+配套练习

.
第一讲 数与式的运算
在初中，我们已 学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把
实数和代数式简称为数与式．代数式中 有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有
实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中 ，我们学习了乘法公式（平方差公式与
完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由 于在高中学习中还会遇到
更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的容，补充三个数和的完 全平方公式、
立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中
数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补
充． 基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关容．

一、乘法公式
【公式1】
(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca

证明：
?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c




2222
2222
?a
2
?2ab ?b
2
?2ac?2bc?c
2


?
等式成立
2
【例1】计算：
(x?2x?)

解：原式=
[x?(?2x)?]

2
1
3
21
3
2
111
?(x
2
)
2
?(?2 x)
2
?()
2
?2x
2
(?2)x?2x
2??2??(?2x)
333

8221
?x
4
?22 x
3
?x
2
?x?
339



说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
2233
【公式2】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方和公式)
证明:
(a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b

2232222333
.

.





说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算：
(
a?b
)(
a?ab?b
)
< br>22
解：原式=
[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a? b

我们得到：
【公式3】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
2233
223333

【例3】计算：
（1）
(4?m
)(16
?
4
m?m
)

2
4 2
（2）
(m?
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)

225104
22222
（3）
(
a?
2)(
a?
2)(
a?
4
a?
16 )

解：（1）原式=
4?m?64?m





（2）原式=
(m)?(n)?
242
（4）
(x?2x y?y)(x?xy?y)

333
1
5
3
1
2< br>3
1
3
1
3
m?n

1258
22 336
（3）原式=
(
a?
4)(
a?
4
a?4)
?
(
a
)
?
4
?a?
64

（4）原式=
(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]


2222222
?(x
3
?y
3
)
2
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6
< br>说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公
式的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．
1
的值．
3
x
1
解：
?x
2
?
3
x?
1
?
0

?x?0

?x??3

x
1
2< br>111
22
原式=
(x?)(x?1?
2
)?(x?)[(x ?
)
?
3]
?
3(3
?
3)
?
1 8

xxx
x
3
【例4】已知
x?
3
x?
1
?
0
，求
x?
2
说明：本题若先从方程
x?
3
x?
1
?
0
中解出
x
的值后，再 代入代数式求值，则计算较
2
专业资料

.
烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整
体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】 已知
a?b?c?0
，求
111111
a(?)?b(?)?c(?)
的值．
bccaab
解：
?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c ?a??b





?
原式=
a?

b?ca?ca?b

?b??c ?
bcacab
a(?a)b(?b)c(?c)a
2
?b
2
?c
2
?????
①
bcacababc
?
a3
?
b
3
?
(a
?
b)[(a
?b)
2
?
3ab]
??
c(c
2
?
3 ab)
??
c
3
?
3abc

?
a
3
?
b
3
?
c
3
?
3abc
②，把②代入①得原式=
?
3abc
??3

abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
引申：同学可以探求并证明：

a?b?c?
3
abc?
(
a?b?c
)(a?b?c?ab?bc?ca
)

333222
二、根式



式子
a(a?0)
叫做二次根式，其性质如下：
2
(1)
(a)?a(a?0)
(2)
a
2
?|a|

bb
?
(
a?
0,
b?
0)

a
a
(3)
ab?a?b(a?0,b?0)
(4)
【例6】化简下列各式：
(1)
(3?2)
2
?(3?1)
2
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

解：(1) 原式=
|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1


?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)
(2) 原式=
|x?1|?|x?2|?
?

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)
?
说明：请注意性质
a
2
?|a|
的使 用：当化去绝对值符号但字母的围未知时，要对字母
的取值分类讨论．
专业资料

.
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
(1)
3
2?3
(2)
11
?

ab
?
(3)
2
x
?x
3
?8x

2
?6?33
解：(1) 原式=
3(2?3)
(2?3)(2? 3)
3(2?3)
2
2
?3

a?ba
2
b?ab
2
?
(2) 原式=

abab
(3) 原式=
2

2x
?x?x
2?2?2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx

2?2
说 明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被
开方数不含能开得 尽方的因数或因式．
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时， 先将它分解
因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如
有分母(如
3
2?3
)或被开方数
ax
xx
)．这时可将其化为形式( 如可化为) ，转化为 “分母中有根式”
22
b2
的情况．化简时，要把分母中的根 式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化
简．(如
3
2?3
化为
3(2?3)
(2?3)(2?3)
，其中
2?3
与
2?3
叫做互为有理化因式)．

【例8】计算：
(1)
(a?b?1)(1?a?b)?(a?b)
2
(2)
a
a?ab
?
a
a?ab

解：(1) 原式=< br>(1?b)
2
?(a)
2
?(a?2ab?b)??2a?2ab?2 b?1

(2) 原式=
a
a(a?b)
?
a
a (a?b)
?
?
1
a?b
?
1
a?b


?
(a?b)?(a?b)
(a?b)(a?b)
2a

a?b
专业资料

.
说明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二
次根 式的运算．
【例9】设
x?
2?3
2?3
?
,y?
2?3
2?3
，求
x
3
?y
3
的值．
解：
x?
2?3
2?3
(2?3)
2
2
2
?3
?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1

原式=
(x ?y)(x
2
?xy?y
2
)?(x?y)[(x?y)
2
?3xy]?14(14
2
?3)?2702

说明：有关代数式的求值问题 ：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根
据结论的结构特点，倒推几步，再代入条 件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式
当分式
AA
的分子 、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用
BB
以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例10】化简
x

1?x
x?
1
x?
x
x(x?1)
x?1xxxx
???
2
??
2
1?x(1?x)?xx
x
x?x?x x
x?
2
x?
x?
x?1
(x?1)(x?1)
x ?1
x?1
x
x(x?1)
xxxx?1
???
2
?
解法二：原式=
(1?x)?xx(1?x)x
x
x?x?x
x ?
x?x?
2
1
x?1
x?1
(x?)?x
x解法一：原式=
说明：解法一的运算方法是从最部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解 法
二则是利用分式的基本性质
AA?m
进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法 ．
?
BB?m
x
2
?3x?96xx?1
??
【 例11】化简
22
6?2x
x?279x?x
x
2
?3x ?96xx?116x?1
?????
解：原式=
22
2(3?x)x?3 (x?3)(x?3)2(x?3)
(x?3)(x?3x?9)x(9?x)
专业资料

.

2(x?3)?12?(x?1)(x+3)?x
2
?3
??

2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分
解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运
算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了 初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完
全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方 差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
(立方和公式)
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们 的平方和与它们积的
差(和)．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1)
8?x

3
(2)
0.125?27b

3
专业资料

.
3
分析： (1)中，
8?2
，(2)中
0.125?0.5,27b?(3b)
．
333
解：(1)
8?x?2?x?(2?x)(4?2x?x)



(2)
0.125?27b?0.5?(3b)?(0.5?3b)[ 0.5?0.5?3b?(3b)]


33322
3332
?(0 .5?3b)(0.25?1.5b?9b
2
)

说明：(1) 在运用立方 和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
8a
3
b
3
?(2ab)
3
，这里逆用了法则
(ab)
n
?a
n
b
n
；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
一定要看准因式中各项的符号．



【例2】分解因式：
(1)
3ab?81b

34
(2)
a?ab

66
76
分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号出现
a?b
，
323 22323
可看着是
(a)?(b)
或
(a)?(b)
．
解：(1)
3ab?81b?3b(a?27b)?3b(a?3b)(a?3ab?9b)
．


(2)
a?ab?a(a?b)?a(a?b)(a?b)


76663333
343322
?a(a?b)(a
2
?ab?b< br>2
)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
?a(a?b )(a?b)(a?ab?b)(a?ab?b)
2222


二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式 ．而对于
四项以上的多项式，如
ma?mb?na?nb
既没有公式可用，也没有公因 式可以提取．因此，
可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分 解法的
关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
【例3】把
2ax?10ay?5by?bx
分解因式．
专业资料

.
分析：把多项式的 四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按
x
的降幂排列，然
后从两组分别提出 公因式
2a
与
?b
，这时另一个因式正好都是
x?5y
，这 样可以继续提取
公因式．
解：
2ax?10ay?5by?bx?2a(x?5y) ?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否 继续完成因式分解，由此合理选择分组的
方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试．


【例4】把
ab(c?d)?(a?b)cd
分解因式．
分析：按照原先分 组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因
2222
式．
解：
ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd



22222222
?(abc
2
?a
2
cd)? (b
2
cd?abd
2
)

?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)

说明 ：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了
加法交换律，分组后， 为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中
所起的作用．
2．分组后能直接运用公式


【例5】把
x?y?ax?ay
分解因式．
分析：把第一、二项为一组，这 两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，
22
其中一个因式是
x?y< br>；把第三、四项作为另一组，在提出公因式
a
后，另一个因式也是
x?y
.
解：
x?y?ax?ay?(x?y)(x?y)?a(x?y)?(x?y)(x?y ?a)



【例6】把
2x?4xy?2y?8z
分解因式．
分析：先将系数2提出后 ，得到
x?2xy?y?4z
，其中前三项作为一组，它是一
222
222< br>22
个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
专业资料

.
解：
2x?4xy?2y?8z?2(x?2xy?y?4z)


222222
?2[(x?y)
2
?(2z)
2
]?2(x?y?2 z)(x?y?2z)

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能 直接运用公式或
提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个 多
项式就可以分组分解法来分解因式．

三、十字相乘法


1．
x?(p?q)x?pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数
之和．
2
x
2
?(p?q)x?pq?x
2
?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)? (x?p)(x?q)

因此，
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．


【例7】把下列各式因式分解：
(1)
x?7x?6

2
2
(2)
x?13x?36

2
解：(1)
Q 6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7





? x?7x?6?[x?(?1)][x?(?6)]?(x?1)(x?6)
．
(2)
Q 36?4?9,4?9?13


? x?13x?36?(x?4)(x?9)

2
2
说明：此例可以看出，常数 项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项
系数的符号相同．
【例8】把下列各式因式分解：
专业资料

.
(1)
x?5x?24

2
(2)
x?2x?15

2
解：(1)
Q ?24?(?3)?8,(?3)?8?5





? x?5x?24?[x?(?3)](x?8)?(x?3)(x?8)

(2)
Q ?15?(?5)?3,(?5)?3??2


? x?2x?15?[x?(?5)](x?3)?(x?5)(x?3)

2
2
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的
因数与一次项系 数的符号相同．



【例9】把下列各式因式分解：
(1)
x?xy?6y

22
22
(2)
(x?x)?8(x?x)?12

2
222
分析：(1) 把x?xy?6y
看成
x
的二次三项式，这时常数项是
?6y
，一 次项系数是
y
，把
?6y
2
分解成
3y
与
?2y
的积，而
3y?(?2y)?y
，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把
x?x
整体看作一个字母
a
，可不必写出，只当作分解< br>2
2
二次三项式
a?8a?12
．
解：(1)
x?xy?6y?x?yx?6?(x?3y)(x?2y)



(2)
(x?x)?8(x?x)?12?(x?x?6)(x?x?2)


22222
2222
?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1)

2
2．一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
2
大 家知道，
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)?a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
．
2
反过来，就得到：
a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2)

我们发现，二次项系数
a
分解成
a
1
a< br>2
，常数项
c
分解成
c
1
c
2
，把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
写成< br>a
1
a
2
1
，
?
c
c
2< br>2
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到
a
1
c
2
? a
2
c
1
，如果它正好等于
ax?bx?c
的一次项
系数
b
，那么
ax?bx?c
就可以分解成
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
，其中
a
1
,c
1
位于上一行，
a
2
,c
2
2
位于下一行．
专业资料

.
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
定一个二次三项式 能否用十字相乘法分解．


【例10】把下列各式因式分解：
(1)
12x?5x?2

2
(2)
5x?6xy?8y

22
解：(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)

2

3
4
?
?2
1

(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

22

1 2y
5?4y

?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数 不是1时较困难，具体分
解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减 法”凑”，
看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

四、其它因式分解的方法


1．配方法
【例11】分解因式
x?6x?16

解：
x?6x?16?x?2?x?3?3?3?16?(x?3)?5


222222
2
?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平
方式，然 后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法


【例12】分解因式
x?3x?4

分析：此多项式显然不能直接提取公因式 或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一
32
次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进 行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0
专业资料

.
了，可考虑通过添项或拆项解决．
解：
x?3x?4?(x?1)?(3x?3)



3232
?(x?1)(x
2
?x?1)?3(x?1)(x?1)?(x?1)[(x
2?x?1)?3(x?1)]

?(x?1)(x
2
?4x?4)?(x?1)(x?2)
2
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，
2
造 成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将
?3x
拆成
x?4y
，将 多项式分成
32
22
2
两组
(x?x)
和
?4x? 4
．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；
(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

第三讲 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用， 而一元二次方
程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有
着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

一、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为：
2
b
2
b
2
?4ac
(x?)?

2
2a
4a
(1) 当
b?4ac?0
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2
专业资料

.
?b?b
2
?4ac
x?

2a
(2) 当
b?4ac?0
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
x
1,2
??
(3) 当
b?4ac?0
时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用
b?4ac
的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b?4a c
叫
2
做一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的根的判别式，表示为：
??b?4ac

2
2
b

2a
2
22
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)
2x?3x?1?0

2
2
(2)
4y?9?12y

2
(3)
5(x?3)?6x?0

2
解：(1)
Q ??(?3)?4?2?1?1?0
，∴ 原方程有两个不相等的实数根．




(2) 原方程可化为：
4y?12y?9?0


Q ??(?12)?4?4?9?0
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：
5x?6x?15?0


Q ??(?6)?4?5?15??264?0
，∴ 原方程没有实数根．
2
2
2
2
说明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2 】已知关于
x
的一元二次方程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的
2
围：


(1) 方程有两个不相等的实数根；
(3)方程有实数根；
2


(2) 方程有两个相等的实数根
(4) 方程无实数根．
解：
??(?2)?4?3?k?4?12k




1
；
3
1
(3)
4?12k?0?k?
；
3
(1)
4?12k?0?k?
2
(2)
4?12k?0?k?
1
；
3
(4)
4?12k?0?k?
2
1
．
3
【例3】已知实数
x
、
y
满足
x?y?xy?2x?y?1?0
，试求
x< br>、
y
的值．
解：可以把所给方程看作为关于
x
的方程，整理得：
专业资料

.
x
2
?(y?2)x?y
2
?y?1?0

由于
x
是实数，所以上述方程有实数根，因此：
??[?(y?2)]2
?4(y
2
?y?1)??3y
2
?0?y?0
，
代入原方程得：
x?2x?1?0?x??1
．
综上知：
x??1,y?0

2
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为：
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x?,x?

2a2a

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4a cb
???
，
所以：
x
1
?x
2
?
2a2aa


?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac(?b)
2
?(b
2
?4ac)
2
4acc
x
1
?x
2
????
2
?

2
2a2aa
(2 a)4a
2
定理：如果一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
，那么：
bc
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?< br>
aa
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通 常把此
定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是
??0
．
【例4】若
x
1
,x
2
是方程
x?2x?2007?0
的两个 根，试求下列各式的值：

22
(1)
x
1
?x
2
； (2)
2
11
?
；
x
1
x
2
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
； (4)
|x
1
?x
2
|
．
分析：本题若直接用求根公式 求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这
里，可以利用韦达定理来解答．
解： 由题意，根据根与系数的关系得：
x
1
?x
2
??2,x
1
x
2
??2007

2222
(1)
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?2x
1x
2
?(?2)?2(?2007)?4018

专业资料

.
(2)
x?x
2
11?22
??
1
??

x1
x
2
x
1
x
2
?20072007
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)?x
1
x2
?5(x
1
?x
2
)?25??2007?5(?2)?25 ??1972

(4)
|x
1
?x
2
|?(x< br>1
?x
2
)?
2
(x
1
?x
2)?4x
1
x
2
?
2
(?2)?4(?2007)?2 2008?4502

2
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x< br>2
)
2
?2x
1
x
2
，
x?x2
11
22
??
1
，
(x
1
?x2
)?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
，
x
1
x
2
x
1
x
2
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
，
x
1
x
2< br>2
?x
1
2
x
2
?x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
，
x
1
3< br>?x
2
3
?(x
1
?x
2
)
3?3x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
等等．韦达定理体现了整体思想．
【例5】已知关于
x
的方程
x?(k? 1)x?
2
1
2
k?1?0
，根据下列条件，分别求出
k< br>的
4
值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是
x
1
?x< br>2
?0
，二是
?x
1
?x
2
，
所以 要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5

1
2
?2
??[?(k?1)]?4(k?1)?0
?
3
?
4
?k?,k??4
∴
?
2
?
xx?
1
k
2
?1?5
12
?
?4
所以，当
k?4
时，方程 两实根的积为5．
(2) 由
|x
1
|?x
2
得知：



①当
x
1
?0
时，
x1
?x
2
，所以方程有两相等实数根，故
??0?k?






3
；
2
②当
x
1
?0
时，
?x
1
?x
2
?x
1
?x
2
?0?k?1?0?k??1
，由于

??0?k?
3
，故
k??1
不合题意，舍去．
2
综上可得，
k?
3
时，方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
2
专业资料

.
说明：根据一元二次 方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实
根的条件，即所求的字母应满足
??0
．
【例6】已知
x
1
,x
2
是一元二次 方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根．
(1) 是否存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x< br>2
)??
2
3
成立？若存在，求出
k
的值；
2
若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
x
1
x
2< br>??2
的值为整数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
解：(1) 假设存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)? ?



2
3
成立．
2
∵ 一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根
∴
??
4k?0
?
??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0
2< br>2
?k?0
，
又
x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根

?
x
1
?x
2
?1
?
∴
?
k?1

x
1
x
2
?
?
4k
?
222
∴
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)?2(x
1
?x
2
)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?9 x
1
x
2







k?939
???k?
，但
k?0
．
4k25
3
∴不存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
成立．
2

??
x
1
x
2
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)< br>2
4k4
(2) ∵
??2??2??4??4??
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
k?1k?1
∴ 要使其值是整数，只需
k?1
能被4整除，故
k ?1??1,?2,?4
，注意到
k?0
，
要使
x
1x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值为
?2,?3 ,?5
．
x
2
x
1
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明
存在，否则即不存在．
专业资料

.






(2) 本题综合性较强，要学会对
4
为整数的分析方法．
k?1
专业资料

.
第四讲 二次函数的最值问题
二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
是初中函数的主要容 ，也是高中学习的重要基础．在
初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量
x
取任意实 数时的最值情况(当
a?0
时，函数在
2
4ac?b
2
bb
x??
处取得最小值
x??
，无最大值；当
a?0
时，函数 在处取得最大值
4a
2a2a
4ac?b
2
，无最小值．
4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量
x
在某个围取值时，函数的最值问题． 同时
还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当
?2?x? 2
时，求函数
y?x?2x?3
的最大值和最小值．
2
分析：作出 函数及其对称轴在所给围的草图，（注意：是所给围的。在下面的图中，所
给围的有效图象是用实线标示 的，虚线部分是无效部分）观察有效图象的最高点和最低点，
由此得到函数的最大值、最小值及函数取到 最值时相应自变量
x
的值．
解：作出函数的图象．当
x?1
时，
y
min
??4
，当
x??2
时，
y
ma x
?5
．






【例2 】当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值．
2
解：作出函数的图象．当
x?1
时，
y
max
??1，当
x?2
时，
y
min
??5
．
由上述两 例可以看到，二次函数在自变量
x
的给定围，对应的图象是抛物线上的一段．那
么最高 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
专业资料

.
根据二次函数对称轴 的位置（主要是对称轴与所研究围的相对位置关系），函数在所给
自变量
x
的围的图象 形状各异．下面给出一些常见情况：





【例3】当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值围．
解：作出函数
y??x(2?x)?x?2x
在
x?0
的图象． < br>可以看出：当
x?1
时，
y
min
??1
，无最大值 ．
所以，当
x?0
时，函数的取值围是
y??1
．
【例 4】当
t?x?t?1
时，求函数
y?
2
1
2
5< br>x?x?
的最小值(其中
t
为常数)．
22
分析：由于x
所给的围随着
t
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其围的相对位置． 解：函数
y?
1
2
5
x?x?
的对称轴为
x? 1
．画出其草图．
22
当
x?t
时，
y
min
?
(1) 当对称轴在所给围左侧．即
t?1
时：
1
2
5
t?t?
；
22
(2) 当对称轴在所给围之间．即
t?1?t?1?0?t?1
时：
当
x?1< br>时，
y
min
?
1
2
5
?1?1???3< br>；
22
(3) 当对称轴在所给围右侧．即
t?1?1?t?0
时：





专业资料
当
x?t?1时，
y
min
?
151
(t?1)
2
?(t? 1)??t
2
?3
．
222

.

?
1
2
?
2
t?3,t?0
?综上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?
t
2
?t?,t?1
2
?
2
在实际生活中，我们 也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现 这种商品每天的销售量
m
(件)与每件的销售价
x
(元)满足一次函数
m?162?3x,30?x?54
．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
y
与每件销售价
x
之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利
润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为
(x?30)
元，




那么
m
件的销售利润为
y?m(x?30)
， 又
m?162?3x
．
? y?(x?30)(162?3x)??3x
2
?252x?4860,30?x?54

(2) 由(1)知对称轴为
x?42
，位于
x
的围，另抛物线开口向下
?
当
x?42
时，
y
max
??3?42
2
?252?42?4860?432

?
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

专业资料