高中数学必修五十三页第一题-高中数学第一章为空间几何体
初高中数学衔接教材
1． 绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的
本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对
值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到
原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
1．填空：
（1）若
x?5<
br>，则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（
2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1
?c?2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是（
）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，
则
a?b
（C）若
a?b
，则
a?b
（D）
若
a?b
，则
a??b
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
； （2）完全平方公式
22
(a
?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
33223
33
223
2222
2233
2233
1
1
2
2
（A）
m
（B）
m
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于（
）
4
2
1
2
1
2
（C）
m
（D）
m
（ 变式：配方）
文档收集自网络，仅用于个人学习
316
22
42
例1
计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
．
（2）
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
例题（1）若
x?
2
222
例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．
例3计算：（1）
(4?m)(16?4m?m)
（2）
(m?
1 11
2
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)
225104
1．填空：
（1）
1
2
1
2
11
a?b
?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?
)?16m?4m?(
)
；
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(
)
．
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?
b?2a?4b?8
的值（ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
3．二次根式
一般地，形如
22
2222
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
例1
?
a,a?0,
?a,a?0.
?
将下列式子化为最简二次根式：（1）
12b
；
（2）
a
2
b(a?0)
；
（3）
4x
6
y(x?0)
．
例2
计算：
3?(3?3)
．
例3 试比较下列各组数的大小：
2
和
22－6
. 例4
化简：
6?4
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
例 5 化简：（1）
9?45
；
（2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
2
x
5、 分解因式
十字相乘法：1．
x?(p?q)x?pq
【例1】把下列各式因式分解：
(3)
x?5x?24
(4)
x?2x?15
【例３】把下列各式因式分解：
(1)
x?xy?6y
2 11
22222
2
(1)
x?7x?6
2
(2)
x?13x?36
2
22
(2)
(x?x)?8(x?x)?12
2．一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
【例４】把下列各式因式分解：
2．提取公因式法与分组分解法
例５
分解因式：（1）
x?9?3x?3x
；
1．选择题：多项式
2x?xy?15y
的一个因式为（ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y
2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）
x?4xy?4y
（3）（1）5x
2
－3x-2；
（4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
（5）x
2
＋4x－12； （6）
x?(a?b)xy?aby
；
（7）
xy?1?x?y
．
（8）8a
3
－b
3
；
（9）
3x?5x?8
6、 一元二次方程----根的判别式
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
2
22
22
22
2
(1)
12x?5x?2
2
(2)
5x?6xy?8y
22
32
?b?b
2
?4ac
（1）
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x
1
，
2
＝；
2a
b
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1
判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出
方程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0；
（2）x
2
－ax－1＝0； （3） x
2
－ax＋(a－1)＝0；
文
档收集自网络，仅用于个人学习
7、一元二次方程----
根与系数的关系（韦达定理）
，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q
＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x2
，
例：若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x<
br>2
＋5x－3＝0的两根．
3 11
（1）求x
1
x
2
，
x
1
＋
x
2
，
的值；
（2）求
x
1
?x
2
， （3）求
|
x
1
－x
2
| 的值；
22
11
?
x1
2
x
2
2
的值
文档收集自网络，仅用于个人学习
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（
）
（A）－3 （B）3 （C）－2
（D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和
为－2，两根之积为－7；②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和
为－2，两根之积为
7；
文档收集自网络，仅用于个人学习
③方程3
x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；④方程3 x2
＋2x＝0的两根之和为
3
－2，两根之积为0．
文档收集自网络，仅
用于个人学习
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2<
br>＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1
（C）－1 （D）0，或－1
文档
收集自网络，仅用于个人学习
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝
．
（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β<
br>2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝
．
文档收集自网
络，仅用于个人学习
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方
程有两个不
相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
文档收集自网络，仅用于个人学
习
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．
m
2
x
2
－(2m＋1)
x＋1＝0
y＝2x
2
y
y＝x
2
8、二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
例1 求二
次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大
值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大
而增大（或减小）？并画出该函数的
图象．
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例3 把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上
平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
函数y＝x
2
的图像，求b，c的值．文档收集自网络，仅用于个人学习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2（C）y＝2x
2
－1
（D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
文档收集自网络，
仅用于个人学习
O
x
y＝
－
3x
2
－6x＋1
（A）向左平移1个单位、再向上平移2
个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
4 11
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝
，n＝ ．
文
档收集自网络，仅用于个人学习
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝
时，函数图象的顶点在y轴上；当
m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝
时，函数图象经过原点．
文
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（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为
，顶点坐标
为 ；当x＝ 时，函数取最
值y＝ ；当x
时，y随着x的增大而减小．
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3．求下列抛物线的
开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，
并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6
x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下
列取值范围内时，分别求函数的最大值
或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
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习
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
9、 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
例1
已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点
（3，－1），求二次
函数的解析式．
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例2 已知二次函
数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二
次函数的表达式．
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1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是（
）（A）0个（B）1个 （C）2
个 （D）无法确定
文档收集自网络，仅用于个人学习
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是（
）（A）(1，2) （B）(1，－2)
（C）(－
2
1，2)（D）(－1，－2)
文档收集自网络，仅用于个人学习
2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二
次函数的解
析式可设为y＝a
．
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（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为
．
文档
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3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最
小值
5，且经过点(1，11)；
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5 11 <
/p>
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－
2)．
文档
收集自网络，仅用于个人学习
2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点
？
依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？．
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例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后
所得
到图象对应的函数解析式：
y
x＝－1
（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．
2例5】一元二次方程
x?4x?a?0
有两个实根，一个比3大，
O
y
x
A(1,－1)
一个比3小，求
a
的取值范围。
?
??0
?
(x?3)(x
2
?3)?0
解得：
a?3
解一：由
?
1
<
br>0
x=2
3
x
222
x?(a?9)x?a?5a?6?0<
br>一个根小于0，*【例6】
已知一元二次方程另一根大于2，
求
a
的取值范围。
解：如图，设
f(x)?x?(a?9)x?a?5a?6
222
y
?
2?a?3
?
?
f(0)?0
8
?
8
?1?a?
?
2?a?
?
3
∴
3
则只须
?
f(2)?0
，解之得
?
【例7】已
知关于
x
的方程
x?(k?1)x?
2
02
x
1<
br>2
k?1?0
，根据下列条件，分别求出
k
的值．
4
(1)
方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根
x
1
,x
2
满足|x
1
|?x
2
．
分析：(1)
由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是
x
1
?x
2
?0<
br>，二是
?x
1
?x
2
，
所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
6 11
12
?
2
??[?(k?1)]?4(k?1)?0
?
3
?
4
?k?,k??4
∴
?
2
?
xx?
1
k
2
?1?5
12
?
?4
所以，当
k
?4
时，方程两实根的积为5．
(2)
由
|x
1
|?x
2
得知：
①当
x
1
?0
时，
x
1
?x
2
，所以方程有两相等实数根，故
??0?k?
3
；
2
②当
x
1
?0
时，<
br>?x
1
?x
2
?x
1
?x
2
?0?
k?1?0?k??1
，由于
??0?k?
3
，故
k??1
不合题意，舍去．
2
综上可得，
k?
3
时，方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
2
2
【
例8】已知
x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx?4kx?k
?1?0
的两个实数根．
(1) 是否存在实数
k
，使
(2x<
br>1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
3
成立？若存在，求出
k
的值；
2
若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
解：(1) 假设存在实
数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
2
3
成立．
2
∵ 一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根
∴
?
?
4k?0
?
??(?4k)?4?4k(k
?1)??16k?0
2
2
?k?0
，
又
x1
,x
2
是一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实
数根
?
x
1
?x
2
?1
?
∴
?
k?1
x
1
x
2
?
?<
br>4k
?
222
∴
(2x
1
?x
2<
br>)(x
1
?2x
2
)?2(x
1
?x
2)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)
?9x
1
x
2
??
k?939
???k?
，但
k?0
．
4k25
3
成立．
2
∴不存在实数
k
，使(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)
??
7 11
x
1
x
2
x<
br>1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
4k4
(2) ∵
??2??2??4??4??
x<
br>2
x
1
x
1
x
2
x
1
x<
br>2
k?1k?1
∴ 要使其值是整数，只需
k?1
能被4整除，故k?1??1,?2,?4
，注意到
k?0
，
要使
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值为
?2,?3,?5
．．
x
2
x
1
练 习
2
1．一元二次方
程
(1?k)x?2x?1?0
有两个不相等的实数根，则
k
的取值范围是(
A．
k?2
2
)
B．
k?2,且k?1
C．
k?2
D．
k?2,且k?1
2．若
x
1
,x
2
是方程
2x?6x?3?0
的两个根，则
A．
2
B．
?2
11
?
的值为( )
x
1
x
2
C．
1
2
D．
9
2
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条
对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于
x
的方
程
x?(2m?1)x
?m?3?0
的根，则
m
等于( )
文档收集自网络，仅用于个人学习
A．
?3
B．
5
2
22
C．
5或?3
2
D．
?5或3
4．若实数
a?b
，且
a,b
满足
a?8a?5?0,b?8b?5?0
，则
( )
2
b?1a?1
的值为
?
a?1b?1
A．
?20
B．
2
C．
2或?20
D．
2或20
5．若方程
2x?(k
?1)x?k?3?0
的两根之差为1，则
k
的值是 _____ ．
6．
设
x
1
,x
2
是方程
x?px?q?0
的两实根，
x
1
?1,x
2
?1
是关于
x
的方程x?qx?p?0
的两实根，则
p
= _____ ，
q
=
_____ ．
7．对于二次三项式
x?10x?36
，小明得出如下结论：无论<
br>x
取什么实数，其值都不可能
等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由．
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8．一元二次方程
7x?(m?13)x?m?m?2?0
两根
x
1
、
x
2
满足
0?x
1<
br>?1?x
2
?2
求
m
取值范围。
9．已
知关于
x
的一元二次方程
x?(4m?1)x?2m?1?0
．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
2
22
2
22
8 11
(2) 若方
程的两根为
x
1
,x
2
，且满足
2
111
???
，求
m
的值．
x
1
x
2
2
10．已知关于
x
的方程
x?(k?1)x?
1
2
k?1?0
．
4
(1)
k
取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边
的长，当矩形的对角线长是
5
时，求
k
的值．
11．已
知关于
x
的方程
(k?1)x?(2k?3)x?k?1?0
有两个不相等的
实数根
x
1
,x
2
．
(1)
求
k
的取值范围；
(2) 是否存在实数
k
，使方程的两实根互
为相反数？如果存在，求出
k
的值；如果不存
在，请您说明理由．
12．若
x
1
,x
2
是关于
x
的方程
x?(2k?
1)x?k?1?0
的两个实数根，且
x
1
,x
2
都大于1
．
(1) 求实数
k
的取值范围；(2)
若
22
2
x
1
1
?
，求
k
的值．
x
2
2
6．答案：1． B 2． A
7．正确
3．A 4．A 5． 9或
?3
p??1,q??3
8．由可得
?2?m??1
或
3?m?4
9．
(1)??16m?5?0
(2)m??
2
10．
(1)k?
313
(2)k?2
11．
(1)k?且k?1
212
； (2)
k?7
．
1
2
3
(2)
不存在12．(1)
k?且k?1
4
例1.
已知数轴上三点
A
、
B
、
C
的坐标分别为4、-2、-6.
求
|AB|
、
|BC|
、
|AC|
解：
|AB|?|(?2)?4|?6
|BC|?|(?6)?(?2)|?4
|AC|?|4?(?6)|?10
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)<
br>， 2、平面上任意两点间距离：在直角坐标系内，已知两点
P
22
|PP|
?(x?x)?(y?y)
2121
则
12
例2.
在直角坐标系内，已知两点
A(6,?4)
、
B(?2,?2)
，求这两点间
距离
|AB|
.
解：
|AB|?
1、已知数
轴上两点
A
、
B
坐标分别为
x
1
、
x2
，求
A
、
B
两点间距离
|AB|
：
(?2?6)
2
?(?2?(?4))
2
?64?4?217
x
1
?8
、
x
2
?6
3）
x
1
??4
、
x
2
??11
*4）
x
1
?2a?b
、
x
2
?a?2b
1）
9 11
2、求连结下列两点的线段的长度
1）
A(6,0)
、
B(?2,0)
22.（
满分14分）如图，抛物线y?
1
(x?3)
2
?1与x轴交于A，B两点（
点A在点B的左侧），
2
与y轴交于点C，顶点为D
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（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与
抛物线的对称轴交于点E，连
接AE，AD.求证：∠AEO?∠ADC；
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用于个人学习
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，
过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出
点Q的坐标<
br>文档收集自网络，仅用于个人学习
10 11
11 11