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(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 11:26
tags:初高中数学衔接

高中数学必修一第四章-高中数学教资考什么内容

2020年9月18日发(作者:甘渭汉)


初高中数学衔接知识点专题(一)
★专题一数与式的运算
【要点回顾】
1绝对值
[1] 绝对值的代数意义: __________________________________________ .即
|a| _________________
[2] 绝对值的几何意义: _ __________________________________________________ _____ 的距离.
[3] 两个数的差的绝对值的几何意义:
[4]两个绝对值不等式
:|x| a(a 0)
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1] 平方差公式: _____________________________________________
[2] 完全平方和公式: __________________________________________
[3] 完全平方差公式: __________________________________________ .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式 1]
(a b c)
2

[公式2] ____________________________
a
3

b
3
(立方和公式
)
[公式3]
说明

上述公式均称为乘法公式”.
3?根式
[1] 式子'、
a(a 0)
叫做二次根式,其性质如下:
[1] 0
a)
2

a b
表示 ____________________________________ 的距离.
____________

|x| a(a 0)
a
3

b
3
(
立方差公式
)
_____
; (2) ____ (3) ? ab ____________ (4) . __________ .
[2] 平方根与算术平方根的概念: ____________________________ 叫做
a
的平方根,记作
x a(a 0)
,其

.a (a 0)
叫做
a
的算术平方根.
[3] 立方根的概念: ______________________________________________ 叫做
a
的立方根,记为
x
3
a
4.分式
A
[1] 分式的意义
下列性质:
A
B
(2) __________ .
—就叫做繁分式,如
——
n

P

,
A
B
形如一的式子,若B中含有字母,且
B 0
,则称一为分式?当M工
0
寸,分式—具有
B
(1) ________
[2] 繁分式 当分式

的分子、分母中至少有一个是分式时,
B B 2m
n p
说明:繁分式的化简常用以下两种方法
[3] 分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的 有理化因式,化
去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分 子中的根号的过程

(
1)利用除法法则;
(
2)利用分式的基本性 质.
-1 -



【例题选

讲】

例1 解下列不等式:
(
1)
x 2
(2)
X 1 x 3
>4.



1







2计算:

(
1
)

(
x
2


3
)
2








(3
)
(a
2)(a
2)(a
4
4a
2

16)








已知
x
2

3x







已知
a
1
0
,求
b(-
1

a(-

b
c





计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数


(1)
3

2 .3
(2)
(1 x)
2








(3)
(4)






2 3
,求


2
3

3

2 3
x
3
y
3
的值.
?


(2
)
(1m
打(丄
5 2 25
(x
2
2xy y
2
)(x
2

c
』丄)的值.
a b
):
,(2 x)
2

(x 1)
8x
-2 -

mn
丄『)
10 4
xy
2
y )

2

















化简:(
1)—
X
X
x
2
3
X
9
(
2
)
~X~^T
6
X

9
X
x
2

X 1
6 2
X

(1)
解法一:原式=
-1
X -
X
X
1 X
X
2

1
X
(1
X
) X
(X
1)(
X
1)
X
X
(1
X
)
X
~2
XXX
X 1
X
(
X
1)
~2
X
(
X
1)
X
2
解法二:原式=-
X
X


6
X


(2)

X
原式=
x
2
9
2
X
(9
X
)


2(3
X
) (
X
3)(
X
3) 2(
X
3)
2
(
X
3)(
X
3
X
9)

2

2(
X
3) 12 (
X
1)(
X
3)
X 3)

2(
X
3)(
X
3) 2(
X
3)(
X
3) 2(
X
3)

说明:
(
1)
分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分
分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;

子、

分式的计算结果应是最简分式或整式




【巩固练
1
(X -)
(1 X) X
XXX
3
(

习】

1
.解不等式







y

2
?设
x 2






X
3
X
2 7

1
一',求代数式
X Xy y
2 2
的值.
.3 2
X
y













3
.当
3a ab 2b
2 2
a b
a
2
b
2

0(a 0,b 0)
,求 -
b a
ab

值.
4
.设
X
.5 1
2
,求
x

4
2
X
2
X
1
的值.
-3 -



5
.计算
(
x y z)( x y z)(x y z)(x y z)
化简或计算:
(1)丽
4


XX x y
xy y
2
x

xy y
1 )

2

3 3
x

x y y
b ab

⑷(,
a
)
7a Vb
-4 -















6.























?各专题参考答案?

专题一数与式的运算参考答案
0
,得
x 2
;
①若
x 2
,不等式可变为
x 2 1
,即
x 3
;②若
x 2
,不等式可变为
(
x 2) 1
,即
x 2 1

解得:
x 1
?综上所述,原不等式的解为
1 x 3
?
解法2:
x 2
表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离,所以不等式
x 2 1
的几何意义即 为x轴上坐标为
例1
x的点到坐标为2的点之间的距离小于 1,观察数轴可知坐标为 x的点在坐标为3的点的 左侧,在坐标为1的点的右
侧.所以原不等式的解为
1 x 3
?
(1)解法1:由
x 2
1x21 1 x 3
,所以原不等式的解为
1 x 3
.
0
,得
x
1

x 3 0
,得
x 3
;
(x
1)

3) 4
,即
2x 4
>4,解得 x
v
0,又 x
v
1,
A
x
v
0

②若
1 x 2
,
①若
x 1
,不等式可变为 不等式可
3)
4
,
(x
1 > 4,
???不存在满足条件的 x ;
变为
(
X 1) (x
③若
x 3
,不等式可
(x
变为 综上所述,原不等式的解为
1)

3) 4
,

2x 4
>4, 解得 x>4.又 x
>3
? x>4.
解法3:
x 2 1
(2)解法一:由
x 1
x
v
0,或 x>4.
解法二:如图,
x 1
表示x轴上坐标为x的点 3|表示
P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA|=|x— 1|; |x-
x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离 所以,不
|x

3|
|PB|,即 |PB|= x— 3|. , ----------- ,:?.
等式
|x 1 x 3
>4的几何意义即为 可知点P在点C(坐
|RA|+ |PB|> 4?由 |AB|= 2,
P C
A
标为0)的左侧、或点P在点 所以原不等式的解为 x
v
D(坐标为4)的右侧.
x 0 1 3
0,或x>4.
例 2( 1)解:原式=
[x
2

4 3 2
V

4 x
V
|x

1|
J

( .2x)
】]
2
(x
2
)
2

3
(2x)
2

(孑
2x
2
(
3
2)x 2x
2
-
3
1
x 2

2x x x —
3 3 9

2
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.
1
2
(x -)[(x ^)

2
2
)
原式=
(x
1 3] 3(3 3) 18
)(x
3
1
3
n
3
x
x
(〔
m)

n) 1
x
3
x
(2) 原式=
例4解:
Q a b c 0, a b c, b
m


c a,c a b
5 2 125 8
22
b c a c a b a( a) b)a b c
2

3 3
b(
6
c( c)
2422
(3) 原式=
(a 4)(a
4a
4
) 64
原式=
a
(a ) 4 a
b c
2 2 2
2


i2 3 3

2
22
bcac ab bc ac ababc
(4) 原式=
(x

y) (x xy
y)

[(x y)(x xy
y )] (x y ) x 2x y
例3 解:
Q
2
x
3x 1
x 0 x
1
3
0







82,2
1
(Tx)
2 -
3

6 ^33
y
6

Q a b (a b)[( a b) 3ab] c(c 3ab) c 3abc
333
3 3 2 2 3
3abc
abc
墜^—
3
a
3
b
3
c
3
3abc
②,把②代入①得原式 =
例5解:(1)原式=
——
3
(
?
―兰_
3
6 3
、、
3
(2 V3)(2 V3)
(2)原式=
|x 1| |x 2|
2
2

3
(x 1) (x 2) 2x 3 (x 2)
(x 1) (x 2) 1 (1 x 2)
说明:注意性质 ?孑
| a |
的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
-5 -




(3) 原式 =
a b
ab
a
2
b ab
2

ab
Jx x
2
V2~2x j2x x

2[2x 32x xVX
(4)原式=
2

6
解:
x -_

(
2

2


7 4^3, y 7 443 x y 14,xy 1
3) 2702
2 73 2 3
原式=
(x y)(x
2
xy y
2
) (x y)[(x y)
2
3xy] 14(14
2

说明:有关代数式 的求值问题:
(
1)先化简后求值;
(
2)当直接代入运算较复杂时,可根据 结论的结构特点,
倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
【巩固练习】
1.
4x3
2.
13
.3
3.
3

2
6
4 44^22^22^22
5.
x y z 2x y 2x z 2y z
6.

4.
3 .5
4.3
1 3, 2
3
-6 -
Xy
, 3

y
, 4 . b . a

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