初高中数学衔接知识

.
数 学
学高中数学的几点建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同角度和数学规律，老师为备战高考而加的课外知识。
记录下来本章最有价值的思想方法和例题，以及还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：
找错、析错、 改错、防错。解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学结论，使自己平时的运算技能达到了自动化熟练程度。
4、经 常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构
一目了然；经常对习 题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题
归纳于同一知识方法。
5、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
6、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化
7、经常在做题后进行一定 的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什
么，为什么要这样想，是否还有别的想法 和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，
是否也用到过。
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,
专业资料
而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方
程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母 有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等
式常用的解题技巧。
4．初中教 材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重
要容。配方、作简图、求 值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间
上函数最值等等是高中数学必须掌握 的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理） 在初中不作要
求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式 与
二次方程相互转化被视为重要容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高 中讲授函数后，对其图像的上、下；
左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分容视为
重难 点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和 定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，
相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

1.1 数与式的运算
1.1.1．绝对值

.

一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的
?
a,a?0,
绝对值仍是零．即
|a|?
?
?
0 ,a?0,

?
?
?a,a?0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的 几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
二、典型例题：
例1 解不等式：
|x?1|?4

解法一：由
x?1?0
，得
x?1
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?4
，即
1?x?4
，得
x? ?3
，又
x
＜1，
∴
x
＜-3；
②若
1?x
，不等式可变为
(x?1)?4
，
即
x?5
又
x?1
∴
x?5

综上所述，原不等式的解为
x??3
或
x?5
。
解法二： 如图1．1－1，
x?1
表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为1的点
A
之间
P
C
A
的距离|
PA
|，即|
PA
|＝|
x
－1|；
D
所以
|x?1|?4
的几何意义即为 ：|
PA
|＞4．
x
-3
1
5
x
可知点
P
在点
C
(坐标为-3)的左侧、或点
P
在
|x－1|
点
D
(坐标5)的右侧．
图1．1－1
∴
x??3
或
x?5
。

1．填空：
（1）若< br>x?5
，则
x
=_________；若
x??4
，则
x
=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1?c?2
，则
c
＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．解不等式：
|x?2|?3
4、化简：|
x
－5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．


专业资料



1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
必
（2）立方差公式
(a?b)(a
2< br>?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
须
记
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
住

（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．

二、典型例题
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x? 1)(x
2
?x?1)
．
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x
2
?1)
2
?x
2
?
?
=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)
=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)
=
(x
3
?1)(x
3
?1)
=
x
6
?1
．

例2 已知
a?b?c?4，
ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2
?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：（1）
1
9
a
2
?
1
2
11
4
b?(
2
b?
3
a)
（ ）；
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
2. 选择题：
（1）若
x
2
?1
2
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于（ ）
（A）
m
2
（B）
1
2
1
2
1
2
4
m
（C）
3
m
（D）
16
m

.
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a
2
?b
2
?2a? 4b?8
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式
一、 概念：一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a< br>2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
2
x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a< br>2
等是有理式．
1．分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为 了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概
念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有 二次根式，我们就说这两个代数式
互为有理化因式，例如
2
与
2
，< br>3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23 ?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b
与
ax? b
互为有理化因式．
分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程
2． 二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?< br>?
a,a?0,
?
?a,a?0.

二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
； （2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
解一：
3?(3?3)＝
3
33?3
3(3?
3?1
3?3
＝
3?( 3?3)
(3?3)(3?3)
＝
1)
9?3
＝
6
＝
2
．
解二：
3?(3?3)
＝
33
3?3
＝
3?1
3(3?1)
＝
1
3?1
＝
3?1
(3?1)(3?1)
＝
2
．


专业资料
例3 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：原式 ＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

＝
?
2004
?
(3?2)?(3?2)< br>?
?
?(3?2)

＝
1
2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 4 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
x
2
?2(0?x?1)
．
解：（1）原式=
5?45?4
=
(5)
2
?2?2?5?2
2


?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
（2）原 式=
(x?
1
)
2
?x?
1
x
x
，
∵
0?x?1
，∴
1
x
?1?x
， 所以，原式＝
1
x
?x
．
练 习1．填空：
（1）
1?3
1?3
＝__ ___；（2）若
(5?x) (x?3)
2
?(x?3)5?x
，则
x
的取值围是_ _
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；

2．选择题：等式
xx
x?2
?
x?2
成立的条件是 （ ）
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3．若
b?
a?1
，求
a?b
的值 ．

4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.4．分式
一、概念： 分式的意义
形如
AA
B
的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称
A
B
为 分式．当
M
≠0时，分式
B
具有
下列性质：
A
B< br>?
A?M
B?M
；
A
B
?
A?M
B?M
． 上述性质被称为分式的基本性质．

.
二、典型例题：
例1 若
5x?4AB
x(x?2)
?
x
?
x?2
，求常数
A,B
的值．
解： ∵
A BA(x?2)?Bx
x
?
x?2
?
x(x?2)
?
(A?B)x?2A
x(x?2)
?
5x?4
x(x?2)
，
∴
?
?
A?B?5,
?
2A?4,
解得
A?2,B?3
．
例2 （1）试证：
1
n(n?1)< br>?
1
n
?
1
n?1
（其中
n
是正整 数）；
（2）计算：
111
1?2
?
2?3
?
L
?
9?10
；
解：（1）证明：∵
11
n< br>?
n?1
?
(n?1)?n
n(n?1)
?
1
n(n?1)
，
∴
1
n(n?1)
?< br>1
n
?
1
n?1
（其中
n
是正整数）成立．
（2）由（1）可知

1
1?2
?
1
2? 3
?
L
?
111111
9?10
?(1?
2
)?(
2
?
3
)?L?(
9
?
10
)< br>

?1?
19
10
＝
10
．
例3 设
e?
c
，且
e
＞1，2
c
2
－5
ac
＋2
a
2
a
＝0，求
e
的值．
解：在2
c
2
－5
ac
＋2
a
2
＝0两边同除以
a
2
，得 2
e
2
－5
e
＋2＝0，
∴(2
e－
1)(
e
－2)＝0，
∴
e
＝
1
2
＜1，舍去；或
e
＝2． ∴
e
＝2．

练习
1．填空题：对任意的正整数
n
，
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
)；
2．选择题：若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝ （ ）
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5
（D）
6
5

3．正 数
x,y
满足
x
2
?
y
2
?
2x y
，求
x?y
x?y
的值．

专业资料




习题1．1
A 组
1．解不等式：
x?1?3
２．已知
x?y? 1
，求
x
3
?y
3
?3xy
的值．




3．（1）
(2?3)
18
(2?3)19
＝________；
（2）
1
1?2
?
12?3
?
1
3?4
?
1
4?5
?
1< br>5?6
?
________．
4．
a?
1
2
，
b?
1
3
，则
3a
2
?ab
3a2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
5．已知：
x?
1
2
,y?
1
3
，求
yy
x ?y
?
x?y
的值．





B 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0
（2）计算
a?
1
a
等于 （ ）
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a



1．2 分解因式

.
一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，
另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12； （3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
；
解 ：（1）如图1．2－1，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积， 再将常数项2分解成－1
与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2
－3
x
＋2中的一次项，所
以，有
x< br>2
－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．< br>

x
－1
1
－1
1
－2
x
－ay



x
－2
1
－2
1
6
x
－by


图1．2－1

图1．2－2
图1．2－3
图1．2－4




说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可 以直接将图1．2－1中的两个
x
用1来
表示（如图1．2－2所示）．
（ 2）由图1．2－3，得
x
2
＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6)．
（3）由图1．2－4，得
x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?by)

2．提取公因式法与分组分解法
专业资料
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
；
解：
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)

=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．

3．关于
x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)的因式分解．
若关于
x
的方程ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1

解： 令x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，
x
2
??1?2
，
∴
x
2< br>?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
?
?
?
?
x?(?1?2)
?
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
练习
1．选择题：多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）
x
2
＋6
x
＋8； （2）8
a
3
－
b
3
；

（3）
x
2
－2
x
－1；

.
3．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
； （3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
；


4．在实数围因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?22x?3
； （3）
3x
2
?4xy?y
2
；


2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式

一、概念：我们知道，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），用配方法可以将其变形为

(x?
b
2a
)
2
?
b
2
?4a c
4a
2
． ①
一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的根的情况可以由
b
2
－4
ac
来判定，我们把
b
2
－4< br>ac
叫做一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋c＝0（a
≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x
1，2
＝
?b?b
2
?4ac
2a
；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－
b
2a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
二、典型例题：
例1 判定下列关于x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方程有实数根，写出方程的实
数根．
（1）
x
2
－3
x
＋3＝0； （2）
x
2
－
ax
－1＝0； （3）
x
2
－
ax
＋(
a
－1)＝0；

解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝
a
2
－4×1×(－1)＝
a
2＋4＞0，
专业资料
所以方程一定有两个不等的实数根
x< br>a?a
2
?4a?a
2
?4
1
?
2
，
x
2
?
2
．
（3）由于该方程的根的判别式 为Δ＝
a
2
－4×1×(
a
－1)＝
a
2
－4
a
＋4＝(
a－
2)
2
，
所以，
①当
a
＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝1；
②当
a
≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1 ，
x
2
＝
a－
1．
说明：在第3小题中，方程的根的判别 式的符号随着
a
的取值的变化而变化，于是，在解
题过程中，需要对
a
的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是
高中数学中一个非常重要的方 法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

一、概念：
1、若一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）有两个实数根

x
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
1
?< br>2a
，
x
2
?
2a
， 则有
< br>x
?b?b
2
?4ac
1
?x
2
?
2a
?
?b?b
2
?4ac
2a
?
?2b
2a
??
b
a
；

x
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
1
x
2
?
2a
?
2a
?
?4ac)
4a
2
?
4acc
4a
2
?
a
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的两根分别是
x1
，
x
2
，那么
x
1
＋
x
2
＝
?
b
a
，
x
1
·
x
2
＝
c
a
．
这一关系也被称为韦达定理．

二、典型例题：
例2 已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及
k
的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直 接将这一根代入，求出
k
的值，再由方程解出另
一个根．但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个
根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两 根之积求出方程的另一个根，再由两根之和
求出
k
的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋
k
×2－6＝0，

.
∴
k
＝－7．
所以，方程就为5
x
2
－7
x
－6＝0，解得
x
1
＝2，
x
2
＝－
3
5
．
所以，方程的另一个根为－
3
5
，
k
的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为
x
1
，则 2
x
1
＝－
63
5
，∴
x
1
＝－
5
．
由 （－
3k
5
）＋2＝－
5
，得
k
＝－7．
所以，方程的另一个根为－
3
5
，
k
的值为－7．
例3 已知关于
x
的方程
x
2
＋2(
m－
2)
x
＋
m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平
方和比两个根 的积大21，求
m
的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个 根的积大21得到关于
m
的方
程，从而解得
m
的值．但在解题中需要 特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，
其根的判别式应大于零．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋
x
2
＝－2(
m－
2)，
x
1
·
x
2
＝
m
2
＋4．
∵
x
1
2
＋
x
2
2
－
x
1
·
x
2
＝21， ∴(
x
1
＋
x
2
)
2
－3
x
1
·
x
2
＝21，
即 [－2(
m－
2)]
2
－3(
m
2
＋4)＝21，
化简，得
m
2
－16
m
－17＝0，
解得
m
＝－1，或
m
＝17．
当
m
＝－1时，方程为
x
2
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当
m
＝17时，方程为
x
2
＋30
x
＋293 ＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，
m
＝-1．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方 程有两个实数根所对应的
m
的围，
然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21 ”求出
m
的值，取满足条件的
m
的值即可．
（★）在今后的解题过 程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于
或大于等于零．因为，韦达定理成立 的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
解法一：设这两个数分别是
x
，
y
，
则
x
＋
y
＝4， ①
xy
＝－12． ②
由①，得
y
＝4－
x
，
代入②，得
x
(4－
x
)＝－12，
专业资料
即
x
2
－4
x
－12＝0，
∴
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
∴
?
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
?
y
1
?6,
或
?
?
y
2
??2.

因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4
x
－12＝0 的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，
x
2
＝6． 所以，这两个数是－2和6．
例5 若
x
1
和
x
2分别是一元二次方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根．
（1）求|
x
1
－
x
2
|的值； （3）
x
1
3
＋
x
2
3
．
解 ：∵
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根， ∴
x
5
1
?x
2
??
2
，
x??
3
1
x
2
2
．
（1）∵|
x
1
－
x
2
|
2
＝
x
1
2
+
x
2
2
－2
x
1
x
2
＝(
x< br>1
＋
x
2
)
2
－4
x
1
x
2
＝
(?
5
2
)
2
?4?(?
3
2
)

＝
25
4
＋6＝
497
4
， ∴|
x
1
－
x
2
|＝
2
．
（3）
x
1
3
＋
x
2
3
＝(
x
1
＋
x
2
)(
x
1
2
－
x
1< br>x
2
＋
x
2
2
)＝(
x
1
＋
x
2
)[ (
x
1
＋
x
2
)
2
－3
x
1
x
2
]
＝(－
5
2
)×[(－
5
2
)
2
－3×(
?
3
2
)]＝－
215
8
．
例6 若 关于
x
的一元二次方程
x
2
－
x
＋
a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，
数
a
的取值围．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝
a
－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(
a
－4)＞0． ②
由①得
a
＜4，
由②得
a
＜
17
4
．
∴
a
的取值围是
a
＜4．

练习1．选择题：
（1）方程
x
2
?23kx?3k
2
?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于
x
的方程
mx
2
＋ (2
m
＋1)
x
＋
m
＝0有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值
围是 （ ）
（A）
m
＜
1
4
（B）
m
＞－
1
4
（C）
m
＜
11
4
，且
m
≠0 （D）
m
＞－
4
，且
m

.
≠0
（3）已知关于
x
的方程
x
2＋
kx
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（4）下列四个说法： ①方程
x
2
＋2
x
－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程
x
2
－2
x
＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3
x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
3
；
④方程3
x
2
＋2
x
＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）关于
x
的一元二次方程
ax
2
－5
x
＋< br>a
2
＋
a
＝0的一个根是0，则
a
的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 < br>（6）若关于
x
的方程
x
2
＋(
k
2
－1)
x
＋
k
＋1＝0的两实根互为相反数，则
k
的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

2．填空:
（1）若方程
x
2
－3
x
－1＝0的两根分别是
x
1
和
x
2
，则
1
x
?
1
＝ ．
1
x
2
（2）方程
mx
2
＋
x
－2
m
＝0（
m
≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
（4）方程
kx
2
＋4
x
－1＝0的两根之和为－ 2，则
k
＝ ．
（5）方程2
x
2
－x
－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（6）已知关于
x
的方程
x
2
－
ax
－3
a
＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（7）若< br>m
，
n
是方程
x
2
＋2005
x
－ 1＝0的两个实数根，则
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
的值等
于 ．
3．求一个一元二次方程，使它的两根分 别是方程
x
2
－7
x
－1＝0各根的相反数．



4．已知方程
x
2
－3
x
－1＝0的两根为x
1
和
x
2
，求(
x
1
－3)( x
2
－3)的值．




专业资料
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质


一、复习引申：
问题1 函数
y
＝
ax
2
与< br>y
＝
x
2
的图象之间存在怎样的关系？
1、二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)的图象可以由
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍得到．在
二次函 数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)中，二次项系数
a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的
大小．
问题2 函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
与
y
＝
ax
2
的图象之间存在怎样的关系？
2、二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠0)中，
a
决定了二次函数图象的开 口大小及方向；
h
决定了二
次函数图象的左右平移，而且“
h
正左移 ，
h
负右移”；
k
决定了二次函数图象的上下平移，而
且“
k
正上移，
k
负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次 函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(< br>a
≠0)的图象的方法：
由于
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
2
＋
bb
b
2
b
2
a
x
)＋
c
＝< br>a
(
x
2
＋
a
x
＋
4a
2
)＋
c
－
4a


?a(x?
b2a
)
2
?
b
2
?4ac
4a
， < br>所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c(
a
≠0)的图象可以看作是将函数
y
＝
ax
2
的图象作左右平移、上下平
移得到的，
于是，二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)具有下列性质：
3、（1）当
a
＞0时，函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象开口向上；
顶点坐标为
(?
b4ac?b
2
2a
,
4a
)
，对称轴为直线
x
＝－
b
2a
；
当
x
＜
?
b
2a
时，
y
随着
x
的增大而减小； 当
x
＞
?
b
2a
时，
y
随着
x< br>的增大而增大；

.
当
x
＝
?
b
4ac?b
2
2a
时，函数取最小值
y
＝
4a
．
（2）当a
＜0时，函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象开口向下；
2
顶点坐标为
(?
b
2a
,
4ac?b
b
4a
)
，对称轴为直线
x
＝－
2a
；
当
x
＜
?bb
2a
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x< br>＞
?
2a
时，
y
随着
x
的增大而减小；
当
x
＝
?
b
4ac?b
2
2a
时，函数取最大值
y
＝
4a
．
上述二次函数的 性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今
后解决二次函数问题时，可 以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

y
b
y
b4ac?b
2

x＝－
2a

A
(?
2a
,
4a
)





O
x
O
x


A
(?
b4ac?b
2
,)

x＝－
b
2a4a
2a


图2.2-3
图2.2-4







二、典型例题：
例1 求二次函数
y
＝
－
3
x
2
－6
x
＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当
x
取何值时，
y
随
x
的增大而增大（或减小）？
解：∵
y
＝
－
3
x
2
－6
x＋1＝－3(
x
＋1)
2
＋4，
专业资料
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线
x
＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
A(－1,4)
y
当
x
＝－1时，函数
y
取最大值
y
＝4；
当
x
＜－1时，
y
随着
x
的增大而增大；
当
x
＞－1时，
y
随着
x
的增大而减小；
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函
D(0,1)
数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画
图更简便、图象更精确．
C
O
B
x

例2 把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个单位，< br>x＝－1
再
图2.2－5
向左平移4个单位，得到函数
y
＝
x
2
的图像，求
b
，
c
的
值．
解法一：
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
＝(
x+
b
2
)
2
2
?c?
b
4
， 把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单
?
位，得到
y?(x?
bb
2
?
?
?
b
2
?4?0,
2
?4 )
2
?c?
4
?2
的图像，也就是函数
y
＝
x
2
的图像，所以，
?
?
2

?
?c?
b
4
?2?0,
解得
b
＝－8，
c
＝14．
解法二：把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函
数
y< br>＝
x
2
的图像，等价于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，
得到函数
y
＝
x< br>2
＋
bx
＋
c
的图像．
由于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数
y
＝(
x
－4)
2
＋2的图像，即为
y
＝
x
2
－8
x
＋14的图像，∴函数
y
＝
x
2
－8
x
＋14与函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
表示同一个函数，∴
b
＝－8，
c
＝1 4．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢
固掌握二次函数图像的变换规律．
练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）
y
＝2
x
2
（B）
y
＝2
x
2
－4
x
＋2
（C）
y
＝2
x
2
－1 （D）
y
＝2
x
2
－4
x

（2）函数
y
＝2(
x
－1)
2
＋2是将函数
y
＝2
x
2
（ ）

.
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数
y
＝2
x
2
－
mx
＋
n
图象的顶 点坐标为(1，－2)，则
m
＝ ，
n
＝ ．
（2）已知二次函数
y
＝
x
2
+(
m
－2 )
x
－2
m
，当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
y
轴上；
当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
x
轴上；当
m
＝ 时，函数图象经过原点．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x< br>的变化情况，并画
出其图象．
（1）
y
＝
x
2
－2
x
－3； （2）
y
＝1＋6
x
－
x
2
．




2.2.2 二次函数的三种表示方式


一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一 般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)；
2．顶点式：
y
＝
a
(
x< br>＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠0)，其中顶点坐标是(－
h
，
k
)． < br>3．交点式：
y
＝
a
(
x
－
x
1< br>) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)，其中x
1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐
标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式 、
交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
二、典型例题：
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线
y
＝
x
＋1上，
并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的 条件——最大值、顶点位置，从而可以将
二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数
a
．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的 纵坐标为2．又顶点在直线
y
＝
x
＋1上，所以，2＝
x
＋ 1，∴
x
＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为
y?a
(
x?
1)
2
?
2(
a?
0)
，
专业资料
∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴
?
1
?a< br>(3
?
1)
2
?
2
，解得
a
＝?
3
4
．
∴二次函数的解析式为
y??
3< br>4
(
x?
1)
2
?
2
，即y=
?< br>335
4
x
2
?
2
x?
4

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的距离等于2，
求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次 函数的图象
与
x
轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋3) (
x
－1) (
a
≠0)，
?12a
2
?4a
2
展开，得
y
＝
ax
2
＋2
ax
－3
a
， 顶点的纵坐标为
4a
??4a
，
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2，∴|－4
a
|＝2，即
a
＝
?1
2
．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线
x
＝－1．
又 顶点到
x
轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可 设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋1)
2
＋2， 或
y
＝
a
(
x
＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝
a
(1＋1)
2
＋2，或 0＝
a
(1＋1)
2
－2．∴
a
＝－
1
2
，或
a
＝
1
2
．
所以，所求的二次函数为y
＝
－
1
2
(
x
＋1)
2
＋ 2，或
y
＝
1
2
(
x
＋1)
2
－ 2．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解 ：设该二次函数为
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)．
?
?22?a?b?c
由函数图象过点( －1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
,
?
?8?c,

?
?
8?4a?2b?c,
解得
a
＝－2，
b
＝12，
c
＝－8．
所 以，所求的二次函数为
y
＝－2
x
2
＋12
x
－8 ．
练习
1．选择题:
（1）函数
y
＝－
x
2
＋
x
－1图象与
x
轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

.
（2）函数
y
＝－
1
2
(
x
＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：已知二次函数的图象经过与
x
轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可
设为
y
＝
a
(
a
≠0) ．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
在对二次函数的图象进行平移 时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其
形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题 时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点
的位置即可．
例1 求把二次函数
y
＝
x
2
－4
x
＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所 对应的函数解析
式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
解：二次函数
y
＝2
x2
－4
x
－3的解析式可变为
y
＝2(
x
－1)
2
－1， 其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函数
y
＝2(
x
－1)
2
－1的图象向右 平移2个单位，向下平移1个单位后，
其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象
对应的函数表达式就为
y
＝2(
x
－3)
2
－2． （2）把函数
y
＝2(
x
－1)
2
－1的图象向上平移 3个单位，向左平移2个单位后，
其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所
以，平移后所得到的函数图象
对应的函数表达式就为
y
＝2(
x
＋1)
2
＋
x＝－1
y
2．
2．对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行
的直线进行对称变换时，具有这样的特点——
O
x
只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其
A
1
(－3,－1)
A(1,－1)
形状。因此，在研究二次函数图象的对称变换
问题时，关键是要抓住 二次函数的顶点位置和
图2.2－7
y
开口方向来解决问题．
B(1，3)

例2 求把二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象
y＝1
关于下列直线对称后所得到图象对应的函数
O
专业资料
x
A(1,－1)
图2.2－8
解析式：
（1）直线
x
＝－1； （2）直线
y
＝1．
解：（1）如图2．2－7，把二次函数

y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于直线

x
＝－1作对称变换后，只改变图象
的顶点位置，不改变其形状．
由于
y
＝2
x
2
－4
x
＋1＝2(
x
－1)
2
－1，
可知，函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1图象的顶
点为
A
(1,－1)，所以，对称后所得到
图象的顶点为
A
1
(－3，-1)，所以，
二次 函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于
直线
x
＝－1对称后所得到图象的函
数解析式为
y
＝2(
x
＋3)
2
－1，
即
y
＝2
x
2
＋12
x
＋17．
（2 ）如图2．2－8，把二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后，
只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
由于
y
＝2
x
2
－4
x
＋1＝2(
x
－1)
2
－1，可 知，函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1图象的顶点为A
(1,
－1)，
所以，对称后所得到图象的顶点为
B
(1，3)，且开口向下，
所以，二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关 于直线
y
＝1对称后所得到图象的函数解析
式
为
y
＝－2(
x
－1)
2
＋3，即
y
＝－2
x
2
＋4
x
＋1．

三、配方法及其应用
1 、在求二次函数
y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变
形：
y?ax
2
?bx?c? a(x?
b
2a
)
2
?
4ac?b
2
4a
，这种变形的过程就叫配方。
具体过程为
y?ax
2
?bx?c? a(x
2
?
b
a
x
bb
2
)?
c
?a[x
2
?
a
x?(
2a
)
2
]?c?
b
4a


?a(x?
b
2
4ac?b
2
2a
)?
4 a

.
用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一
例1、将下列二次函数式配方：
（1）
y?x
2
?
2
x?
3
（2）
2x
2
?5x?1
（3）
y??3x
2
?6x?1

解：（1）
y?
(
x
2
?
2
x?
1)
?
2
?(
x?
1)
2
?
2

（2）
y ?2(x
2
?
5
2
x)?1?2(x
2
?
5
2
x?
25
16
)?1?
25
8
?2( x?
5
4
)
2
?
17
8

（3）
y??
3(
x
2
?
2
x
)
?
1
??
3(
x
2
?
2
x?
1)
?
1
?
3
??
3(
x?
1)
2< br>?
2

例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：
（1）
y
?
2x
2
?
3x
（2）
y?1?6x?x2
（3）
y??
1
2
4
x?x?4

解：（1）
y?2(x
2
?
3
2
x)?2(x
2
?
3993
2
9
2
x?
16
)?
8
?2(x?
4
)?
8

∴当
x??
39
4
时 y取最小值
?
8

（2）
y??
(
x
2
?
6
x
)
?
1
??
(
x
2
?
6
x?< br>9)
?
1
?
9
??
(
x?
3)2
?
10

∴当x=3时，y取最大值10
（3）
y??
1
4
(x
2
?4x)?4??
11< br>4
(x
2
?4x?4)?1?4??
4
(
x?
2)
2
?
3

∴当x=-2时，y取最大值-3
练习 将下列二次函数配方
（1）
y
?
x
2
?
3x
（2）
y?2x
2
?4x?1
（3）
y??2x
2
?6x?1




专业资料
（4）
y?
1
3
x
2
?
2
3
x?
1
（5）
y?x(x?4)
（6）
y?(x?2)(x?4)




（7）
y??(x?2)(x?1)
（8）
y?
1
2
(
x?
3)(
x?
5)
（9）
y?(x?1)
2
?2(x?1)

（10）
y?
(
x?
1)
2
?
4
x?
3
（11）
y?1?3x?
1
2
2
2
x
（12）
y?0.1x?0.4x?0.6





（13）
y
?
3
5
x
2
?
65
x
（14）
y?x
4
?2x
2
?3
（15）
y?2x
4
?2x
2
?1






2.3 一元二次不等式解法
一、怎样解一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠0)呢？
借助于二次函数y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象来解一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠
0)．
先来研究二次项系数
a
＞0时的一元二次不等式的解．
对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0(
a
＞0 )，设△＝
b
2
－4
ac
，它的解的情形按照△＞0，△
= 0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数
解，相应地 ，二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴分别有两个公共点、一个公共点和没有
公共点( 如图2.3－2所示)，

.
因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式
ax
2＋
bx
＋
c
＞0（
a
＞0）与
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0（
a
＞0）的解．


y
y
y

x
1

O
x
2
x



O
x
1
= x
2
x
x

①
O
②
③
图2.3－2



（1 ）当Δ＞0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴有两个公共点(
x
1
，0)和(
x
2
，0)，方
程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(
x
1
＜
x
2
)，由图2.3－2 ①可知

不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为
x
＜
x
1
，或
x
＞
x
2
；
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0的解为
x
1
＜
x
＜
x
2
．
（2）当Δ ＝0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c< br>（
a
＞0）与
x
轴有且仅有一个公共点，
方程< br>ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个相等的实数根
x
b
1
＝
x
2
＝－
2
a
，由图2.3－2②可知
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为
x
≠－
b
2
a
；
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．
（ 3）如果△＜0，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋c
（
a
＞0）与
x
轴没有公共点，
方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0没有实数根
，
由 图2.3－2③可知不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0 的解为一切
实数；
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求
解； 如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于
零的形式，再 利用上面的结论去解不等式．
二、典型例题：
例3 解不等式：
（1）
x
2
＋2
x
－3<0； （2）
x－x
2
＋6＜0； （3）4
x
2
＋4
x
＋1≥0；
专业资料
（4）
x
2
－6
x
＋9≤0； （5）－4＋
x
－
x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程
x
2
＋2
x
－3＝0的解是
x
1
＝－3，
x
2
＝1．
∴不等式的解为 －3<
x
<1．
（2）整理，得
x
2
－
x－
6＞0．
∵Δ＞0，方程
x
2
－
x－
6=0的解为
x
1
＝－2，
x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x
＜－2，或
x
>3．
（3）整理，得 (2
x
＋1)
2
≥ 0.
由于上式对任意实数
x
都成立，∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得 (
x
－3)
2
≤0.
由于当
x
＝3时，(
x
－3)
2
＝0成立；而对任意的实数
x，(
x
－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x
＝3．
（5）整理，得
x
2
－
x
＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
三、练习
1．解下列不等式：
（1）3
x
2
－
x
－4＞0； （2）
x
2
－
x
－12<0；（3）
x
2
＋3
x
－ 4＞0； （4）16－8
x
＋
x
2
≤
0．






2．解下列方程组 （1）
?
?
(x?3)
2
?y
2
?9,
?
?
x
2
?y
2
?4,
?
x?2y?0;< br> （2）
?
?
?
x
2
?y
2
?2.







3．解下列不等式：
（1）3
x
2
－2
x
＋1＜0； （2）3
x
2
－4＜0； （3）2
x
－
x
2
≥－1；

.


专业资料