初高中数学教学衔接内容

初中高中教材衔接内容
近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法,掌 握不好,
现归纳如下,与同学们共享.
第一讲 十字相乘法
我们在前面研究了< br>a
2
?2ab?b
2
这样的二次三项式，那么对于
x
2
?5x?6
，
3x
2
?11x?10
这样的二次三项式 ，各项无公因式，不能用提公因式法，又
不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？
我们来 观察
x
2
?5x?6?x
2
?(2?3)x?2?3?x
2
?2x?3x?2?3

?x(x?2)?3(x?2)?(x?2)(x?3)

又有在我们学习乘法运算时 有：
(x?a)(x?b)?x
2
?(a?b)x?ab

因此在分 解因式中有
x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

注意观察上式的系数。
对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式
x2
?px?q
，它的
常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b 的和，它就可以
分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab时，
x
2
?px?q?x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。

例1：分解因式：
（1）
x
2
?5x?6

（2）
x
2
?4x?21

分析：用十字相乘法分解因式时 ，首先要找准各项的系数和常数项，然后
利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积 为常
数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

解：（1）原式=(x-2)(x-3)
1?
1?2
1
?
?3
?6
?3?2??5


（2）原式=(x+3)(x-7)
1?
13
1
?
?7
??21
3?7??4


例2：分解因式
（1）
x
4
?2x
2
?8

（2）
(a?b)
2
?4(a?b)?3


分析 ：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项
式可以看作关于某个整体的二次三项 式，也可以照上例方法进行因式分解，
如（1）可以看作关于
x
2
的二次三项 式（2）可以看作关于（a+b）的二次三项
式。

解：（1）原式
?(x
2
?2)(x
2
?4)

?(x
2
?2)(x?2)(x?2)

1?
12
1
?
?4
??8
2?4??2

（2）原式=(a+b-1)(a+b-3)
1?
1?1
1
?
?3
?3
?1?3??4


例3：分解因式
（1）
x
2
?3xy?2y
2

（2）
3 a
2
x
2
?15a
2
xy?42a
2
y< br>2

分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字
母 ，如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先
进行公因式的提取，再分解 ，记住，提取公因式是分解因式的第一步。
解：（1）原式=(x-2y)(x-y)
1?
1?2y2
1
?
?y
?2y
?2y?y??3y

（2）原式
?3a
2
(x
2
?5xy?14y
2< br>)

?3a
2
(x?7y)(x?2y)
1?
1
1
?
?7y2
2y
??14y
?7y? 2y??5y

例4：分解因式：
（1）
2x
2
?7x? 3
（2）
4x
4
y
2
?5x
2
y
2
?9y
2

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一 试几种可
分的情况，同时注意符号的合理匹配。
解：（1）原式=(x-3)(2x-1)
2?
1?3
2
?
?1
?3
?6?1??7

（2）原式
y
2
(4x
4
?5x
2
?9)

?y
2
(x
2
?1)(4x
2
?9)

?y
2
(x
2
?1)(2x?3)(2x?3)

4?
11
4
?
?9
??9
4?9??5

例5：分解因式
（1）
(x
2
?2x
2
)?7( x
2
?2x)?8

（2）
x
2
?2x?15?ax?5a

分析：用十字相乘 法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十
字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使 用分组分解法，找公因式，
如五项可以三、二组合。
解：（1）原式
?(x
2
?2x?1)(x
2
?2x?8)

?(x?1)
2
(x?2)(x?4)

1?
1
1
?
1
?8
??8
1?8??7

1?
1?2
1
?
4
??8
?2?4?2

（2）原式
?(x
2
?2x?15)?(ax?5a)

?(x?3)(x?5)?a(x?5)?(x?5)(x?3?a)

1?
1?3
1
?
5
??15
?3?5?2


注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。

第二讲 一元二次方程
一元二次方程是中学代数的重要内 容之一，是进一步学习其他方程、不
等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程 的基本
解法．
1、 概念:方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0) 称为一元二次方程．
2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．
3、 对于方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0)，△=b
2
-4ac称为该方 程的根的判别式．当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即
当△＜0时，方程无实数根．
练习：1、 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的
整式方程叫做一元二次方程，它的一 般形式是__________.
⒉ 一元二次方程的二次项系数
α
是______实数.
⒊ 方程
ax
2
+
bx
+
c
=0 (
a≠
0，
b
2
－4
ac
≥0) 的两个根
，
x
2
=_____.
⒋ 一元二次方程的解法有______, ______, ______, _______等，
简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法.
⒌ 应用配方法解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0 (
b
2
－4
ac
≥0)时，第一
步是把方程的常数项移到等 号的右边，得
ax
2
+
bx
=－
c
；第二步把方程
两边同除以
a
，得
x
2
+；紧接方程两边同时加上____ _，并配方
得________.
⒍ 对于实系数的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0 (
a≠
0) △=
b
2
－4
ac
称为此方程根的判别式且有如下性质：
(1)△>0 二次方程有两个________实数根；
(2)△=0 二次方程有两个________实数根；
(3)△<0 二次方程________实数根.
这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断_________的情
况；
(2)求方程中的参数值、范围或相互关系；
(3)判定二次三项式在实数范围内 ________分解因式.
⒎ (1)若一元二交方程
ax
2
+
bx
+
c
=0 （
a
≠

0）的两个根为
x
1
,
x
2
，则
x
1
+
x
2
=_____，
x< br>1
x
2
=_______. （韦达定理）
(2)若
x1
,
x
2
是方程
x
2
+
px
+
q
=0的二根，则
p
=______,
q
=_____ __，以实
数
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程（二 次项系数为1）是________.
⒏ 根与系数关系主要应用是：
(1)求作________方程；
(2)求含有根有关代数式的值；
(3)确定字母系数_______以及字母系数之间关系.
(4)验根，求根式确定_______符号.
(5)解特殊方程式_________.
⒐ 注意根与系数式关系与根的判别式配合使用.
【学法指要】
例1. 解方程：
x
2
－3
x
+2=0
思路分析1 ：此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二
次三项式的因式分解──十字相乘法，可在这条道路上探 索，
找到解题思路.




思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知
a
=1,
b
=－3,
c
=2，由此可知应用求根公式可解.
观 察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方
程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十 字相乘法，
求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为
熟悉”这种重要的数 学思维方法，是解决新问题常用方法，当
你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！
一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆
一下，通过问题解决，我们学习了什么 ？如本例， 我们学习了

用因式分解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化”
思想，继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我
们获取知识，提高数学素养的重要 途径之一.如本例，经过探索，
观察可发现
a+b+c
=1+(－3)+2=0，它的 根是
x
1
=1,
x
2
=2是不是
a+b+c=0它们必有一个根是1呢？另一个根是常数项呢？再选几
由(3)得 4
n
=
m
2
+8
m
－8 代入(1),(2)并化简，得

解得


例进行探索.
解方程：（⒈）
x
2
+5
x
－6=0 （⒉）2
x
2
－3
x
+1=0
（⒊）199
x
2
－2000
x
+1=0
…………………
⒈ 的方程解为
x
1
=1
x
2
=－6

⒉ 的方程解为
x
1
=1
x
2
=


⒊ 的方程解为
x
1
=1
x
2
=


由以上可以发现，当
a+b+c
=0 →
x

1
=1,
x
2
=，这一重要发

现给我们解所类方程提供十分简捷的方法──观察法.下面提
供几例，给读者练习.解方程：

⒈
x
2
－14
x
+13=0

⒉1949
x
2
－1999
x
+50=0

⒊
x
2
－(4+)
x
+3+=0

⒋
x
2
－2000
x
+1999=0





1. 已知
m,n
为整数，关于x
的三个方程：
x
2
+(7－
m
)
x
+3+
n
=0
有两个不相等的实数根；
x
2
+(4+
m
)
x
+
n
+6=0有两个相等实数根；

x
2
－(m－4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n的值 。

依题意有：（答案学生写出）





∵
m
为整数，∴
m
=2
∴
n
=3

16
2
－4
n
=400－28
∴4
n
=－116 , ∴
n
=－29
∵
m< br>=4，
n
=－29满足
m
4
－4
n
≥0
∴
m
=4，
n
=－29

第三讲 一元二次方程的根与系数的关系
例1：已知，
x
1
、
x
2
是关于x的一元二次方 程
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的两根。
求证：
x
1
?x
2
??
b
a
x?x
c
1 2
?
a

分析：由求根公式
x?
?b?b
2
?4ac
2a
计算一下
x
1
?x
2
，
x
1
?x
2
可以找到一
元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦 达定理。
证明：由求根公式有：
x
?b?b
2
?4ac?b?b< br>2
?4ac
1
?
2a
，
x
2
?2a

?b?b
2
?4ac?b?b
2
∴
x? x
?4ac?2bb
12
?
2a
?
2a
?
2a
??
a

x
?b?b
2
?4ac?b?b2
?4ac
1
?x
2
?
2a
?
2a< br>
(?b)
2
?(b
2
?4ac)b
2
?b
2
?
?4acc
4a
2
?
4a
2
?
a

注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程
x< br>2
?px?q?0
时，
x
1
?x
2
??p< br>，
x
1
?x
2
?q
也很常用。
例2：已知 ：
x
1
、
x
2
是方程
x
2
?5x ?2?0
两个实数根。
1
求：①
x
1
?x
2②
x
1
?x
2
③
x
?
1
1< br>1
x
2
④
x
2
1
?x
2
2
⑤
x
3
1
?x
3
2
⑥
x
2
1
?x
2
2

⑦
(x
1
?1)(x
2
?1)

分析： 题目所求的式子都可以称为对称式，即交换
x
1
与
x
2
的位 置代数
式的形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利
用韦达定理代 入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常
见的。
解：∵
x
2
?5x?2?0
两根为
x
1
、x
2
∴①
x
1
?x
2
?5
②
x
1
?x
2
??2

1
?
1
?
x
1
?x2
5
③
x
1
x
2
x
?
?2< br>??
5
1
x
2
2

④
x
2 2
22
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?5?2(?2)?29

⑤
x< br>3322
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
?x
1
x
2
)?5[29 ?(?2)]?155

1
2
?x
2
2
⑥
x
2
?
1
2
1
x
2
?
x
1
2
x
1
?x
2
?
29
(?2)
2
?
29
2
4

⑦
(x
1
?1) (x
2
?1)?x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?1??2?5?1??6

例3：已知：α、β是方程
x< br>2
?7mx?4m
2
?0
的两根，且（α-1）（β
-1）= 3，求m的值
分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点限制，①是二
次项系 数不为0；②是方程有实根的条件，即判别式；③是由已知带来的信息。
综合①②③找到公共解集，才能 确定字母的值。
解：由题意可得：
?
?
??0
?
??
?
?
?7m
?
??
?4m
2
?(
22
?
?
(
?
?1)(
?
?1)? 3
?
?7m)?4?4m?0
?
∴
?
??
?(?
?
?
)?1?3
?
m?R
∴
?
4m
2
?7m?1?3

?
?
m?R
?
1
1
∴
?
?m
1
?2或m
2
??
4
∴m的值为2或
?4

例5：已知关于x的方程
x
2
? mx?n?0
的根为2和-2，求
x
2
?nx?m?0
的两根。 < br>分析：由方程①的根系关系可以确定m与n的值，这样可以得到方程②，
再解方程即可得到方程两 根
解：∵关于x的方程
x
2
?mx?n?0
的两根为2和-2 < br>?
∴
?
2?(?2)??m
?
m?0
?
2? (?2)?n
∴
?
?
n??4

∵
x
2
?nx?m?0
即
x
2
?4x?0?0

∴x(x-4)=0
∴
x
1
?0
或
x
2
?4

例6：m为何值时，
x
2
?(m?1)x?(2m?3)?0
的两根均为正
分析：两根均为正，即
x
1
?x
2
?0
，
x
1
?x
2
?0
由此可以得到m的取值范围，
但注意检验， 看是否满足判别式。
解：由题意可列：
?
?
?
?
??0
?
(m?1)
2
?4(2m?3)?0
?
m?R
?
x
?
m?1?0
?
m??1
?
1
?x2
?0
?
?
?
x
?
1
?x
2
?0
∴
?
2m?3?0
∴
?
?
m?
3
2
∴
m?
3
2

∴
m?
3
2
时，原方程两根均为正。
注：此类问题还会有 两根均为负，一正一负根，有一根为0，两根互为相
反数，两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式， 望同学多积累解题经验。
1．已知：
x
1
、
x
2
是方程
2x
2
?3x?1?0
的两个实数根，分别求出下列各
式的值 。
1
①
x
1
?x
2
、②
x
1< br>?x
2
、③
x
?
1
11
1
x
2
、④
x
2
1
?x
233
2
、⑤
x
1
?x
2
、⑥
x
2
?
1
x< br>2
2

⑦
(x
1
?1)(x
2
?1 )
、⑧
|x
1
?x
2
|

2．已知方程< br>5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一根及k的值。
3．已知两个数的和等于8，积等于-9，求这两个数
4．求作一个方程，使它的根是方程< br>x
2
?7x?8?0
的两根的平方的负倒数
参考答案：
3 1345
17
1．①
2
、②
?
1
2
、③- 3、④
4
、⑤
8
、⑥13、⑦-1、⑧
2

2．设方程的另一个根是x，则
2x??
6
5

3
∴
x??
5
，
(?
3
5
)?2??
k5
∴k=-7
3．设这两个数为a、b则a、b为方程
x
2
?8x?9?0
的两根，则a=-1,b=9
或a=9,b= -1
4．设
x
1
、
x
2
是方程
x
2
?7x?8?0
的两根，∴
x
1
?x
2
?7< br>，
x
1
?x
2
?8
，设
y
1
、
y
2
是新方程的两根
y
1
?y
11
22
2
2
????
33
则
x
2
?
1
x
2
??
x
1
?x
2
x
22< br>1
?x
2
64

y
11
1
?y2
?
x
2
x
2
?
1
?
264

y
2
?
33
∴
64
y?
1
64
?0

∴
64y
2
?33y?1?0

第四讲 立方和与立方差公式(一)
(公式1：(a+b)(a-b)=a
2-b
2
，公式2：(a±b)=a
2
±2ab+b
2
， 公式中的字母
可以表示数、单项式，也可以表示多项式．语言叙述略)
(a+b)(a2
-ab+b
2
)=a
3
+b
3
．
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
-b
3< br>．
特点：1 (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果
都是二项式，而且是立方的形式)
2 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的
两个因式中只有一个 负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
1．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)(x-3)( )=x
3
-27；(2)(2x+3)( )=8x
3
+27；
(3)(x
2
+2)( )=x6+8；(4)(3a-2)( )=27a
3
-8．
2．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)( )(a
2
+2ab+4b
2
)＝______；(2)( )(9a
2
-6ab+4b
2
)=_____
_；
3．运用立方和与立方差公式计算：
(1)(y+3(y
2
-3y+
9)； (2)(c+5)(25-5c
+c
2
)；
(5)(x
2
-y
2
)(x
4
+x
2
y
2
+y
4
)．
计算时同学们要注意两点：
1．两步审查——对乘式的两个因式要分两步分 别审查，即从二项式的因
式判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后< br>再运用公式．
2．记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差．

第五讲 二次函数配方法求最值

1、二次函数大致图象：
1、 已知函数
y??2(x?1)
2
?1
，在直角坐标系中画出它的大致图象
2、 已知函数
y?2x
2
?4x?1
，在直角坐标系中画出它的大致图象
b
2
b
2
?4
2、二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
经配方得：
y?a(x?
2a
)?
ac
4a

的图象：1）a>0 2）a<0

Y

Y





O
O
x



x




x
3、应用二次函数图象，利用配方法求函数最值
（一） 定轴定区间
3、1、 顶点在给定区间内
例1、 已知函数
y??2x
2
?4x?1
，
（1） 若
x?R
，求：该函数的最大值或最小值
（2） 若
x?
?
?1,2
?
，求：该函数的最大值或最小值
2、顶点在给定区间外
（3） 若
x?
?
?1,0
?
，求；该函数的最大值或最小值。




（二） 动轴定区间
例2、已知：函数
y?x
2
?ax?1(a?R)
，若
x?[2,4]
，
求：该函数的最大值或最小值。

（三）定轴动区间
思考题：已知：函数
y??2x
2
?4x?1
，若
x?[t,t? 1](t?R)
求：该函数的最大值或最小值。

（3）顶点横坐标在给定区间左；