高中数学数列累加教案-高中数学向量的学习
初高中数学衔接知识点专题(七)
★ 专题七 不 等 式
【要点回顾】
1.一元二次不等式及其解法
[1]定义:形如
为关于
x
的一元二次不等式.
[2]一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)
与二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
及一元二次方程
ax?bx?c?0
的关系(简称:三个二次).
2
(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:
(1) 将二次项系数先化为正数;
(2) 观测相应的二次函数图象.
①如果图
象与
x
轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根
x
1
,x
2
(也可由根的判别式
??0
来判断) .则
②如
果图象与
x
轴只有一个交点
(?
x
x
?x
2
??
b
2a
b
2a
,0)
,此时对应的一元二
次方程有两个相等的实数根
(也可由根的判别式
??0
来判断) .则:
③如果图象与
x
轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根
(也可由根的判别式
??0
来判
断) .则:
(ⅱ)解一元二次不等式的步骤是:
(1) 化二次项系数为正;
(2) 若二次
三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根
x
1
,x
2
.那么“
?0
”型的解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之
外);“
?0
”型的解为
x
1
?x?x
2
(俗称两
根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成
ax?bx?c?a(x?
2
b
2a
)?
2
4ac?b
4a
2
,结合
完全平方式为非
负数的性质求解.
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式
不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不
为零.
3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为
ax?b
的形式.
[1]当
a?0
时,不等式的解为:
x?
b
a
;
- 1 -
[2]当
a?0
时,不等式的解为:
x?
b
a
[3]当
a?0
时,不等式化为:
0?x?b;
① 若
b?0
,则不等式的解是全体实数;②
若
b?0
,则不等式无解.
;
【例题选讲】
例1 解下列不等式:(1)
x
2
?x?6?0
(2)
(x?1)(x?2)?(x?2)(2x?1)
?
x?3?0<
br>?
x?2?0
⑴解法一:原不等式可以化为:
(x?3)(x?2)?0
,于是:
?
或
?
x?3?0
?
x??3
?
x??3
?或
?x??3或x?2
所以,原不等式的解是
x??3或x?2
.
?
??
?
x?2
?
x?2
?
x?2?0
解法二:解相应的方程
x
2
?x?6?0
得:
x
1
??3,x
2
?2
,所以原不等式的解是
x??3或x?
2
.
(2) 解法一:原不等式可化为:
?x
2
?4x?0
,即
x
2
?4x?0?x(x?4)?0
于是:
?
x?
0
?
x?0
或
?
?x?0或x?4
,所以原不等式的解是<
br>x?0或x?4
.
?
x?4?0x?4?0
??
解法二:原
不等式可化为:
?x
2
?4x?0
,即
x
2
?4x
?0
,解相应方程
x
2
?4x?0
,得
x
1
?0,x
2
?4
,所以原不等式的解是
x?0或x?4
.
说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不
等
式的解.
例2 解下列不等式:(1)
x
2
?2x?8?0
(2)
x
2
?4x?4?0
(3)
x
2
?x?2?0
例3 已知对于任意实数
x
,
kx
2
?2x?k
恒为正数,求实数
k
的取值范围.
例4
解下列不等式: (1)
2x?3
x?1
?0
(2)
1
x?2
?3
2
例5 求关于x的不等式
mx?2?2mx?m
的解.
解:原不等式可化为:
m(m?2)x?m?2
(1) 当
m?2
?0即m?2
时,
mx?1
,不等式的解为
x?
(2)
当
m?2?0即m?2
时,
mx?1
.
①
0?m?2
时,不等式的解为
x?
②
m?0
时,不等式的解为
x?
1
m
1
m
;
1
m
;
;
③
m?0
时,不等式的解为全体实数.
(3)
当
m?2?0即m?2
时,不等式无解.
- 2 -
综
上所述:当
m?0
或
m?2
时,不等式的解为
x?
1
m
;当
0?m?2
时,不等式的解为
x?
1
m
;
当
m?0
时,不等式的解为全体实数;当
m?2
时,不等式无解.
【巩固练习】
1.解下列不等式:
(1)
2x
2
?x?0
(3)
?x
2
?x?3x?1
2.解下列不等式:
(1)
x?1
x?1
?0
(2)
x
2
?3x?18?0
(4)
x(x?9)?3(x?3)
(2)
3x?1
2x?1
?2
(3)
2
x
??1
(4)
2x?x?1
2x?1
2
?0
3.解下列不等式:
(1)
x
2
?2x?2x
2
?2
(2)
1<
br>2
x?
2
1
3
x?
1
5
?0
4.解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m
.
2
5.已知关于
x
的不等式
mx?
x?m?0
的解是一切实数,求
m
的取值范围.
6.若不等式
x?2
k
?1?
x?3
k
2
的解是
x?3
,求
k
的值.
2
7.
a
取何值时,代数式
(a?1)?2(a?2)?
2
的值不小于0?
专题七不等式答案
例2解:(1) 不等式可化为
(x?2)(x?4)?0
∴
不等式的解是
?2?x?4
- 3 -
(2)
不等式可化为
(x?2)
2
?0
∴
不等式的解是
x?2
;(3) 不等式可化为
(x?
1
2
)
?
2
7
4
?0
.
?
k?0
?
k
?0
?
k?0
例3解:显然
k?0
不合题意,于是:
??
?
2
?
?
?k?1
22
k??1
或k?1
?
?
(?2)?4k?0
?
k?1?0
例4分析:
(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或
者因
为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求
解
. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.
33
??
?
2x
?3?0
3
?
x?
?
x?
?
?
2
或
?
2
??1?x?
?
2
?
x?1?0
?
x??1
?
x??1
??
3
解法(二)
原不等式可化为:
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
.
2
?
(3x?5)(x?2)?0
1?3x?53x?5
?
(2) 解:原不等式可化为:
?3?0??0??0
?
?
x?2x?2x?
2
?
x?2?0
5
x??2或x??
3
说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
?
2x?3?0
或
解:(1)
解法(一)原不等式可化为:
?
x?1?0
?
(2)
本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
【巩固练习】
1.
(1)?
1
2
?x?0 (2)?3?x?6
(3)x??1 (4)x??3
;
1
2
?
x?2?0
?3?
?
或
x?2
?
3(x?2)?1
1
?
x?2?0
?
?
3(x?2)?1
2.
(1)x??1或x?1
(2)x?
3.(1) 无解 (2) 全体实数
4.(1)当
m?2
时,
x?
5.
m??
1
2
或x?3
(3)x??2或x?0 (4)x??
1
2
;
1?m
m?2<
br>;(2)当
m?2
时,
x?
1?m
m?2
;(3)
当
m?2
时,
x
取全体实数.
;
6.
k?5
7.
a??5或a?1
.
- 4 -
2019人教版高中数学课本-高中数学中的理想模型
高中数学立体几何建系要求-高中数学必修四试卷质量分析
对高中数学整体体系的认识-高中数学面试好过吗
高中数学p交q中交的符号-高中数学经典读物
济南高中数学教材用什么版本-如何学好高中数学化学
高中数学抽样-2018高中数学课视频
湖南高中数学题目-北京高中数学总结ppt
高中数学总复习练习册-日本高中数学 pdf下载
-
上一篇:初高中数学衔接研究报告
下一篇:初高中数学知识衔接资料全