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初高中数学衔接知识点专题(七)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 11:41
tags:初高中数学衔接

高中数学数列累加教案-高中数学向量的学习

2020年9月18日发(作者:齐民友)


初高中数学衔接知识点专题(七)

★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】
1.一元二次不等式及其解法
[1]定义:形如 为关于
x
的一元二次不等式.
[2]一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)
与二次函数
y?ax
2
?bx?c (a?0)
及一元二次方程
ax?bx?c?0
的关系(简称:三个二次).
2
(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:
(1) 将二次项系数先化为正数;
(2) 观测相应的二次函数图象.
①如果图 象与
x
轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根
x
1
,x
2
(也可由根的判别式
??0
来判断) .则

②如 果图象与
x
轴只有一个交点
(?
x
x
?x
2
??
b
2a
b
2a

,0)
,此时对应的一元二 次方程有两个相等的实数根
(也可由根的判别式
??0
来判断) .则:

③如果图象与
x
轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式
??0
来判
断) .则:

(ⅱ)解一元二次不等式的步骤是:
(1) 化二次项系数为正;
(2) 若二次 三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根
x
1
,x
2
.那么“
?0
”型的解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之 外);“
?0
”型的解为
x
1
?x?x
2
(俗称两 根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成
ax?bx?c?a(x?
2
b
2a
)?
2
4ac?b
4a
2
,结合 完全平方式为非
负数的性质求解.
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式 不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不
为零.
3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为
ax?b
的形式.
[1]当
a?0
时,不等式的解为:
x?
b
a

- 1 -


[2]当
a?0
时,不等式的解为:
x?
b
a
[3]当
a?0
时,不等式化为:
0?x?b
① 若
b?0
,则不等式的解是全体实数;② 若
b?0
,则不等式无解.


【例题选讲】

例1 解下列不等式:(1)
x
2
?x?6?0
(2)
(x?1)(x?2)?(x?2)(2x?1)

?
x?3?0< br>?
x?2?0
⑴解法一:原不等式可以化为:
(x?3)(x?2)?0
,于是:
?

?
x?3?0
?
x??3
?
x??3
?或
?x??3或x?2
所以,原不等式的解是
x??3或x?2

?
??
?
x?2
?
x?2
?
x?2?0
解法二:解相应的方程
x
2
?x?6?0
得:
x
1
??3,x
2
?2
,所以原不等式的解是
x??3或x? 2

(2) 解法一:原不等式可化为:
?x
2
?4x?0
,即
x
2
?4x?0?x(x?4)?0
于是:
?
x? 0
?
x?0

?
?x?0或x?4
,所以原不等式的解是< br>x?0或x?4

?
x?4?0x?4?0
??
解法二:原 不等式可化为:
?x
2
?4x?0
,即
x
2
?4x ?0
,解相应方程
x
2
?4x?0
,得
x
1
?0,x
2
?4
,所以原不等式的解是
x?0或x?4

说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不
等 式的解.
例2 解下列不等式:(1)
x
2
?2x?8?0
(2)
x
2
?4x?4?0
(3)
x
2
?x?2?0






例3 已知对于任意实数
x

kx
2
?2x?k
恒为正数,求实数
k
的取值范围.




例4 解下列不等式: (1)
2x?3
x?1
?0
(2)
1
x?2
?3






2
例5 求关于x的不等式
mx?2?2mx?m
的解.
解:原不等式可化为:
m(m?2)x?m?2

(1) 当
m?2 ?0即m?2
时,
mx?1
,不等式的解为
x?
(2) 当
m?2?0即m?2
时,
mx?1


0?m?2
时,不等式的解为
x?

m?0
时,不等式的解为
x?
1
m
1
m

1
m



m?0
时,不等式的解为全体实数.
(3) 当
m?2?0即m?2
时,不等式无解.
- 2 -


综 上所述:当
m?0

m?2
时,不等式的解为
x?
1
m
;当
0?m?2
时,不等式的解为
x?
1
m
; 当
m?0
时,不等式的解为全体实数;当
m?2
时,不等式无解.

【巩固练习】

1.解下列不等式:
(1)
2x
2
?x?0




(3)
?x
2
?x?3x?1





2.解下列不等式:
(1)
x?1
x?1
?0

(2)
x
2
?3x?18?0

(4)
x(x?9)?3(x?3)

(2)
3x?1
2x?1
?2
(3)
2
x
??1
(4)
2x?x?1
2x?1
2
?0






3.解下列不等式:
(1)
x
2
?2x?2x
2
?2
(2)
1< br>2
x?
2
1
3
x?
1
5
?0






4.解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m





2
5.已知关于
x
的不等式
mx? x?m?0
的解是一切实数,求
m
的取值范围.




6.若不等式
x?2
k
?1?
x?3
k
2
的解是
x?3
,求
k
的值.




2
7.
a
取何值时,代数式
(a?1)?2(a?2)? 2
的值不小于0?


专题七不等式答案

例2解:(1) 不等式可化为
(x?2)(x?4)?0
∴ 不等式的解是
?2?x?4

- 3 -


(2) 不等式可化为
(x?2)
2
?0
∴ 不等式的解是
x?2
;(3) 不等式可化为
(x?
1
2
) ?
2
7
4
?0

?
k?0
?
k ?0
?
k?0
例3解:显然
k?0
不合题意,于是:
??
?
2
?
?
?k?1

22
k??1 或k?1
?
?
(?2)?4k?0
?
k?1?0
例4分析: (1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或
者因 为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求
解 . (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.
33
??
?
2x ?3?0
3
?
x?
?
x?
?
?
2

?
2
??1?x?

?
2
?
x?1?0
?
x??1
?
x??1
??
3
解法(二) 原不等式可化为:
(2x?3)(x?1)?0??1?x?

2
?
(3x?5)(x?2)?0
1?3x?53x?5
?
(2) 解:原不等式可化为:
?3?0??0??0
?
?
x?2x?2x? 2
?
x?2?0
5
x??2或x??

3
说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
?
2x?3?0

解:(1) 解法(一)原不等式可化为:
?
x?1?0
?
(2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
【巩固练习】
1.
(1)?
1
2
?x?0 (2)?3?x?6 (3)x??1 (4)x??3

1
2
?
x?2?0
?3?
?

x?2
?
3(x?2)?1
1
?
x?2?0

?
?
3(x?2)?1
2.
(1)x??1或x?1 (2)x?
3.(1) 无解 (2) 全体实数
4.(1)当
m?2
时,
x?
5.
m??





1
2
或x?3 (3)x??2或x?0 (4)x??
1
2

1?m
m?2< br>;(2)当
m?2
时,
x?
1?m
m?2
;(3) 当
m?2
时,
x
取全体实数.
; 6.
k?5
7.
a??5或a?1

- 4 -

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