初高中数学知识衔接资料全

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的 代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零
?
a,a?0,
?
的绝对值仍是零．即
|a|?
?
0,a?0,

?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数< br>b
之间的距离．
练 习
1．填空：
(1)在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为_____
(2)若
x?5
，则
x
=_________；若
x??4
，则
x
=_________．
(3)若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______．
(4)如果
a ?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1? c?2
，则
c
＝________
（5）
例. 解不等式：
|x?1|?4

解法一：由
x?1?0
，得
x?1
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?4
，即
1?x?4
，得
x? ?3
，又
x
＜1，
∴
x
＜-3；
②若
1?x
，不等式可变为
(x?1)?4
，
即
x?5
又
x?1
∴
x?5

综上所述，原不等式的解为
x??3
或
x?5
。
解法二： 如图，
x?1
表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为1的点
A
之间的距离
|
PA
|，即|
PA
|＝|
x
－1|；
所以
|x?1|?4
的几何意义即为
|
PA
|＞4．
可知点
P
在点
C
(坐 标为-3)的左侧、或
点
P
在点
D
(坐标5)的右侧．
∴
x??3
或
x?5
。
2、解不等式：
|x?2|?3

P
x
C
-3
|x－1|

A
1
D
5
x
3、│a－2│+│b－3│+│c－4│=0,则a+2b+3c的值为多少
4. 已知│x+y+3│=0, 求│x+y│的值。

5．化简：|
x
－5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．
6. 已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a7. 已知a<0，b>0，求|b-a+1-a-b-5|的值。
8、如果x<-2，那么|1-|1+x||=
例. 解不等式：
x?1?x?3
＞4．


9、解不等式|x+2|+|x-3|
?9

10.



例. 若x
2
=9，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

1、 9. 已知
a
2
?25
，
b?3
且
a?b?a?b
，求
a?b
的值。
2、
例. 如果
2a?b?0
，求

9、设
a?b?c?0
，
abc?0
，求
b?cc?aa?b
??
的值
abc
111111
-?-?????-

2
aa
?1??2

bb
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．

例1 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．

例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．

222
练 习
1．填空：
1111
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；
9423
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
（1）若
x
2
?
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
111
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
m
2

4316
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式

求定义域问题





最简二次根式

分母有理化


同类二次根式


二次根式加减法



例1.将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
例3 试比较下列各组数的大小：
12?11
和
11?10
；
2
和
22－6
； 2－3 5－4
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
x
2
例 6 已知
x?

3?23?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2

练 习
2．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
3．选择题：
等式
5
x?1?x ?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
x
?
x?2
x
x?2
成立的条件是 （ ）
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
4．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
5.计算 （1） （2）
（3）
（4）
（5） （6）
（7） （8）
6.
2
?
1?x
?
7.

先化简，再求值


1?x
2
1
?
2x
?
。
?
?< br>?x
?
，其中
x?
1?2
?
1?x
?




1.1.４ 分式
知识网络

1．分式的定义
形如
AA
的式子，若
B
中含有字母 ，且
B?0
，则称为分式．
BB
分式的基本性质：当
M
≠ 0时，分式
常用的式子：
AA?MAA?M
A
具有性质：
?
；
?
．
BB?MBB?M
B
111
??

n(n?1)nn?1
例1若分式有意义，则x应满足（ ）
A、x≠-1 B、x ≠-1且x ≠2 C、x≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ ）
A、x=2 B、x =-2 C、x =-2或x =2 D、x =-1或x =2
例2.化简求值

例3 （1）
111

??
L
?
1?22?39?10

（2）证明：对任意大于1的正整数
n
， 有
例4 设
e?
1111
??
L
??
．
2?33?4n( n?1)2
c
22
，且
e
＞1，2
c
－5
ac
＋2
a
＝0，求
e
的值．
a
3?a5
?(a?2?)

2a?4a?2
例5. 化简：

分式方程

5x?4AB
??
例6 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2

练 习
1．填空题：对任意的正整数
n
，
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2

2．选择题：
若
2x?y2
x
546
?
，则＝（ ） （A）１ （B） （C） （D）
x?y3
y
455
4．计算
1111
．
???. ..?
1?22?33?499?100
11
)?3(x?)?1?0

2
xx
5. 解方程
2(x
2
?

6.
7.

8.
























如果下列关于x的方程有正数解，，求m的取值范围。
如果关于x的方程无解，求k的值，
作业
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．

2．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空：
(1)
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________； < br>(2)若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则a
的取值范围是________；
(3)
11111
?????
________．
1?22?33?44?55?6
4.
5.如果整数Ａ、Ｂ满足等式

6.若
?a?b?2ab??b??a
，则（）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

7.解下列方程：
（1） （2） （3）

（2）计算
a?
1
等于（） （A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

a
，求Ａ与Ｂ的值
3a
2
?ab
11
?
____ ____； 8．a?
，
b?
，则
2
3a?5ab?2b
2
23
yy
11
9．已知：
x?,y?
，求的值．
?
23
x?yx?y
10．计算：












1111
．
???
L
?
1?32?43?59?11

1.2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法 、提取公因式法、公式法、分组分解法，
另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12；

（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．




2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．












3．关于
x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)的因式分解．
若关于
x
的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a? 0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
．
例3 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．

练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）
x
2
＋6
x
＋8； （2）8
a
3
－
b
3
；
（3）
x
2
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1.2
1．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；
（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?22x?3
；
（3）
3x
2
?4xy?y
2
； （4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)?1 2
．
3．
?ABC
三边
a
,
b
,
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc ?ca
，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：
x
2< br>＋
x
－(
a
2
－
a
)．


2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

2
我们知道，对于一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝ 0（
a
≠0），用配方法可以将其变
形为

b
2
b
2
?4ac

(x?)?
． ①
2
2a4a
因为
a
≠0，所以，4
a
2
＞0．于是
（1）当
b
2
－4
ac
＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不
相等的 实数根
?b?b
2
?4ac

x
1,2
＝；
2a
（2）当
b
2
－4< br>ac
＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数
根

x
1
＝
x
2
＝－
b
；
2ab
2
)
2a
（3）当
b
2
－4
ac< br>＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
一定大于或等于零，因此，原 方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的根的情况可以由
b
2
－4< br>ac
来判定，我们把
b
2
－4
ac
叫做一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋c＝0（
a
≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac

x
1,2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x
1
＝
x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于
x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方程有实
数根，写出方程的实 数根．
（1）
x
2
－3
x
＋3＝0； （2）
x
2
－
ax
－1＝0；
（3）
x
2
－
ax
＋(
a
－1)＝0； （4）
x
2
－2
x
＋
a
＝0．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
b
如果
a x
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的两根分 别是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
＋< br>x
2
＝
?
，
x
1
·
x
2< br>a
c
＝．这一关系也被称为韦达定理．
a
特别地，对于二次项系数 为1的一元二次方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0，若x
1
，
x
2
是其
两根，由韦达定理可知

x
1
＋
x
2
＝－
p
，x
1
·
x
2
＝
q
，


即
p
＝－(
x
1
＋
x
2)，
q
＝
x
1
·
x
2
，
所以，方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0可化为
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0，由于
x
1
，
x
2
是
一元二次方程
x
2
＋
p x
＋
q
＝0的两根，所以，
x
1
，
x
2< br>也是一元二次方程
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0．因 此有
以两个数
x
1
，
x
2
为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0．

例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及
k
的值．







例3 已知关于x
的方程
x
2
＋2(
m－
2)
x
＋< br>m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这
两个实数根的平方和比两个根的积大21， 求
m
的值．









说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的
m
的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出
m的
值，取满足条件的
m
的值即可．
（2）在今后的解题过程中，如果仅 仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的
判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二 次方程有实
数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．




2

例5 若
x
1
和
x
2< br>分别是一元二次方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根．
（1）求|
x
1
－
x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
x
1
2
x
2
2
（3）
x
1
3
＋
x
2
3< br>．








说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会
遇到求这一个量的问题，为了 解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设
x
1
和
x
2< br>分别是一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0 （
a
≠0），则
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
，
x
2
?
，
2 a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2?4ac
??
∴|
x
1
－
x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
2
＋< br>bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则|
x
1－
x
2
|＝
?
（其
|a|

中Δ ＝
b
2
－4
ac
）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于
x
的一元二次方程
x
2
－
x
＋
a
－4＝0的一根大于零、另一根小于
零，求实数
a
的取值范围．








练 习
1．选择题： < br>（1）方程
x
2
?23kx?3k
2
?0
的根的情况 是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根 < br>（2）若关于x的方程
mx
2
＋(2
m
＋1)
x＋
m
＝0有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值范围是 （ ）
（A）
m
＜
（C）
m
＜
2．填空:
（1）若方程
x
2
－3< br>x
－1＝0的两根分别是
x
1
和
x
2
，则< br>11
?
＝ ．
x
1
x
2
11
（B）
m
＞－
44
11
，且
m
≠0 （D）
m
＞－，且
m
≠0
44
（2）方程< br>mx
2
＋
x
－2
m
＝0（
m
≠0） 的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当
k< br>取何值时，方程
kx
2
＋
ax
＋
b
＝0有两 个不
相等的实数根？
4．已知方程
x
2
－3
x
－ 1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，求(
x
1< br>－3)(
x
2
－3)的值．

习题2.1
A 组

1．选择题:
（1）已知关于
x
的方程
x2
＋
kx
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程
x
2
＋2
x
－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程
x
2
－2
x
＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为 7；
7
③方程3
x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
；
3
④方程3
x
2
＋2
x
＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）
关于
x
的一元二次方程
ax2
－5
x
＋
a
2
＋
a
＝0的一个根是 0，则
a
的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程
kx
2
＋4
x
－1＝0的两根之和为－2，则
k
＝ ． < br>（2）方程2
x
2
－
x
－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于
x
的 方程
x
－
ax
－3
a
＝0的一个根是－2，则它的另一个根 是
．
（4）方程2
x
2
＋2x
－1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，则|
x
1
－
x
2
|＝ ．
3．试判定当m
取何值时，关于
x
的一元二次方程
m
2
x
2
－(2
m
＋1)
x
＋1＝0有两个
不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个 一元二次方程，使它的两根分别是方程
x
2
－7
x
－1＝0各根的相 反数．












2

B 组
1．选择题:
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2
x
2
－8
x
＋7＝0的两根，
则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若
x
1
，
x
2
是方程2
x
2
－4
x
＋1＝0的两个根，则
x
1
x
2
?
的值为 （ ）
x
2
x
1
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
3

2
（3）如果关于
x< br>的方程
x
2
－2(1－
m
)
x
＋
m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的
取
（ ）

（A）α＋β≥
α＋β≤1
（4）已知
a
，
b
，c
是Δ
ABC
的三边长，那么方程
cx
2
＋(
a
＋
b
)
x
＋
情
（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
（5）若关 于
x
的方程
x
2
＋(
k
2
－1)
x
＋
k
＋1＝0的两根互为相反数，则
k
的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若
m
，
n
是方程
x
2
＋2005
x
－1＝0的两个实数根，则
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
的值等
于 ．
（2）如果
a
，
b
是方程
x
2
＋x
－1＝0的两个实数根，那么代数式
a
3
＋
a
2b
＋
ab
2
＋
b
3
的值是 ．
3．已知关于
x
的方程
x
2
－
kx
－ 2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
况
11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）
22
值范围为
c
＝0的根的
4
是

（2）设方程的两根为
x
1
和
x
2
，如果2(
x< br>1
＋
x
2
)＞
x
1
x
2
， 求实数
k
的取值范围．
4．一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的两根为
x
1
和
x
2
．求：
（1）|
x
1
－
x2
|和
（2）
x
1
3
＋
x
2
3
．
5．关于
x
的方程
x
2
＋4
x＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2
满足|
x
1
－
x
2
|＝2，求实数
m
的
值．
6． 已知
x
1
，
x
2
是关于
x
的一元二次方程4
kx
2
－4
kx
＋
k
＋1＝0的 两个实数根．
（1）是否存在实数
k
，使(2
x
1
－x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－
的值；若不存在，说明理由；
（2）求使
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数
k
的整数值；
x
2
x
1
x
1
?x
2
；
2
3
成立？若存在，求出
k
2
（3）若
k
＝－2 ，
?
?
x
1
，试求
?
的值．
x
2
7．若关于
x
的方程
x
2
＋
x
＋
a
＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数
a
的取值
范围．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质


问题1 函数
y
＝ax
2
与
y
＝
x
2
的图象之间存在怎样的关系 ？
为了研究这一问题，我们可以先画出
y
＝2
x
2
，y
＝
1
2
x
，
y
＝－2
x
2
的图象，通
2
过这些函数图象与函数
y
＝
x
2的图象之间的关系，推导出函数
y
＝
ax
2
与
y
＝
x
2
的
图象之间所存在的关系．
先画出函数
y
＝
x
2
，
y
＝2
x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2
x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
y
…
…

y＝x
2

从表中不难看 出，要得到2
x
2
的值，只要把相应
的
x
的值扩大两倍就可 以了．
再描点、连线，就分别得到了函数
y
＝
x
2
，y
＝
2
x
2
的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以< br>得到这两个函数图象之间的关系：函数
y
＝2
x
2
的图
象可以由函数
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来
的两 倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数
y
2
y＝2x
2

O
图2.2-1
x
1
＝
x
2
，y
＝－2
x
2
的图象，并研究这两个函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象之间的关
2
系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数
y
＝
ax(
a
≠0)的图象可以由
y
＝
x
的图
象各点的 纵坐标变为原来的
a
倍得到．在二次函数
22
y
y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

y
＝
ax
2
(
a< br>≠0)中，二次项系数
a
决定了图象的开口
方向和在同一个坐标系中的开口的大 小．
－1
O
图2.2-2
x

问题2 函 数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
与
y
＝
ax
2
的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关
系．同学们可以作出 函数
y
＝2(
x
＋1)
2
＋1与
y
＝2< br>x
2
的图象（如图2－2所示），
从函数的同学我们不难发现，只要把函数y
＝2
x
2
的图象向左平移一个单位，再
向上平移一个单位，就 可以得到函数
y
＝2(
x
＋1)
2
＋1的图象．这两个函数 图象
之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数
y
＝－3
x
2
，
y
＝－3(
x
－1)
2< br>＋1的图象，研究它们
图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠0)中，
a
决定了二次函数图象的开口大小及方
向；
h
决定了二 次函数图象的左右平移，而且“
h
正左移，
h
负右移”；
k
决定
了二次函数图象的上下平移，而且“
k
正上移，
k
负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数
y
＝
ax
2
＋< br>bx
＋
c
(
a
≠0)的图象的
方法：
b< br>2
b
2
bb
2
由于
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
＋
x)＋
c
＝
a
(
x
＋
x
＋
2< br>)＋
c
－
4a
4a
aa
22
b
2
4ac?b
2
=
a(x?)?

2a4a
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象可以看作是将函数
y
＝
ax
2
的 图象作左右
平移、上下平移得到的，于是，二次函数
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)具有下列性质：
（1 ）当
a
＞0时，函数
y
＝
ax
2
＋
bx< br>＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线
x
＝－；当
x
＜
?
时，< br>y
随着
x
的增大而减
2a4a
2a2a
小；当
x
＞
?
4ac?b
2
．
4a
bb
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＝
?
时，函 数取最小值
y
＝
2a2a
（2）当
a
＜0时，函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象开口向下；顶 点坐标为
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线
x< br>＝－；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增 大而增
2a4a
2a2a
大；当
x
＞
?
bb
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝
?
时，函数取最大值
y
＝
2a2a

4ac?b
2
．
4a
上述二次函数的性质可以分别通过图2.2－3和图2.2－4直观地表示出< br>来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的
思想方法来解决问 题．









例1 求二次函数
y
＝
－
3
x
－6
x< br>＋1图象的开口方
向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出
当
x< br>取何值时，
y
随
x
的增大而增大（或减小）？并画
出该函数的 图象．












x＝－1
图2.2－5
C
D(0,1)
2
y
x＝－
b

2a
y
b4ac?b
2
,)
A
(?
2a4a
O
x
O
x＝－
图2.2-4
x
b4ac?b
2
,)
A
(?
2a4a
图2.2-3
b

2a
A(－1,4)
y
O
B
x

例2 把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个单位，再向左平移4个< br>单位，得到函数
y
＝
x
2
的图像，求
b
，< br>c
的值．












例3 已知函数
y
＝
x
2
，－2≤
x
≤
a
，其中
a
≥－2，求 该函数的最大值与最小
值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量
x
的值．

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对
a
的所有可能情形进行讨论．此
外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数 ，而是取部分实
数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）
y
＝2
x
（B）
y
＝2
x
－4
x
＋2
（C）
y
＝2
x
2
－1 （D）
y
＝2
x
2
－4
x

（2）函数
y
＝2(
x
－1)
2
＋2是将函数
y
＝2
x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数
y
＝2
x
2
－
mx
＋
n
图象的顶 点坐标为(1，－2)，则
m
＝ ，
n
＝ ．
（2）已知二次函数
y
＝
x
2
+(
m
－2 )
x
－2
m
，当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
22
y
轴上；当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
x
轴上；当
m
＝ 时，函
数图象经过原点．
（3）函数
y
＝－3(
x
＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，
顶点坐标为 ；当
x
＝ 时，函数取最 值
y
＝ ；当
x
时，
y
随着
x
的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x< br>的变
化情况，并画出其图象．
（1）
y
＝
x
2
－2
x
－3； （2）
y
＝1＋6
x
－
x
2
．
4．已 知函数
y
＝－
x
2
－2
x
＋3，当自变量
x
在下列取值范围内时，分别求函数的
最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的 自变量
x
的值：
（1）
x
≤－2；（2）
x
≤2 ；（3）－2≤
x
≤1；（4）0≤
x
≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式


通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a≠0)；
2．顶点式：
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k
(
a
≠0)，其中顶点坐标是(－
h
，
k
)． < br>除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种
表示方式，我们先来研 究二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象与
x
轴交点个数．
当抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0 )与
x
轴相交时，其函数值为零，于是有
2
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx< br>＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点的横坐标（纵
坐 标为零），于是，不难发现，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与方
程①的解 的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝
b
2
－
4ac
有关，由此可知，抛物线
y
＝
ax
2
＋
b x
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与根的判别式Δ＝
b
2
－4
ac
存在下列关系：
（1）当Δ＞0 时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点；反过来，
若抛物线
y＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠ 0)与
x
轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线
y< br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点（抛物线
的顶点）；反过来，若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点，则Δ＝0
也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点；反过来，
若抛物线
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个 交点
A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)，
则
x
1
，
x
2
是方程
a x
2
＋
bx
＋
c
＝0的两根，所以
x
1
＋
x
2
＝
?
，
x
1
x
2
＝，
b
a
c
a

即

bc
＝－(
x
1
＋
x
2
)， ＝
x
1
x
2
．
aa
bc
x?
)
aa
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
2
?
=
a
[
x
2
－(
x
1
＋
x2
)
x
＋
x
1
x
2
]
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交于< br>A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)两点，则其
函数关系式可以表示为
y
＝
a
(
x－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点 式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)，其中
x1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一
般式、顶点式、交点式这 三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点 在直线
y
＝
x
＋1上，并且
图象经过点（3，－1），求二次函数的 解析式．








说 明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶
点坐标，然后设出二次函数的顶 点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充
分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问 题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的 距离等
于2，求此二次函数的表达式．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函
数的表达式．








练 习
1．选择题:
（1）函数
y
＝－
x
2
＋
x
－1图象与
x
轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确
1
（2）函数
y
＝－ (
x
＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的 图象经过与
x
轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函
数的解析式可设为y
＝
a
(
a
≠0) ．
（2）二次函数
y
＝－
x
2
+23
x
＋1 的函数图象与
x
轴两交点之间的距离
为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当
x
＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数 图象与
x
轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与
y
轴交于
(0，－2)．




2.2.3 二次函数的简单应用



一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可
以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改
变函数图象的位置 、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，
只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点 的位置即可．
例1 求把二次函数
y
＝
x
2
－4
x
＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所
对应的函数解析式：









（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有< br>什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函 数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换
时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方 向、不改变其形状，因
此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置< br>和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋
x＝－1
y
1的图象关于下列直线对称后所得到
图象对应的函数解析式：



















（1）直线
x
＝－1；
（2）直线
y
＝1．
O
A
1
(－3,－1)
A(1,－1)
x
图2.2－7

二、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函 数由不同的解析式给出，这
种函数，叫作分段函数．
例3 在国内投递外埠平信，每封 信不超过20g付邮资80分，超过20g不
超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮 资240分，依此类推，每封
x
g(0＜
x
≤100)的信应付多少邮资（单 位：分）？写出函数表达式，作出函数图
象．
分析：由于当自变量
x
在各 个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所
以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题 时，需要注意的是，当
x
在各个小范围内（如20＜
x
≤40）变化时，它所 对应的函数值（邮资）并不变化
（都是160分）．

为
解：设每封信的 邮资为
y
（单位：分），则
y
是
x
的函数．这个函数的解析 式

?
80,
?
160
?
?

y?
?
240,
?
320
?
?
?
400,
x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]

x?(60,80]
x?(80,100]
y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
图2.2－9


由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2.2－9所示．


2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x
2
? 2xy?y
2
?x?y?6?0
是一个含有两个未知数，并且含有未知数的
项 的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中
x
2
,
2x y
,
y
2
叫做这个方程的二次项，
x
,
y
叫做一次项，6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
22
?
?
x?y?20,

?
2

2
?
?
x ?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方
程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们 主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程
组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元
法来解．
例1 解方程组

?
?
x
2
? 4y
2
?4?0,
?
x?2y?2?0.












例2 解方程组

?
?
x?y?7,
xy?12.

?









①
②
①
②

练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
?
x
2
?y
2
?13,

?
?
x?y?5
的解?
?
x?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
（1）
?
（2）
?
（3）
?
（4）
?

y?3;y?2;y?4;
y??3;
???
?
2．解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?
2
?
xy??10;
?
x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?







2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数
y
＝
x
2
－
x
－6的对应值表与图象如下：
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当
x
＝－2， 或
x
＝3时，
y
＝0，即
x
2
－
x
＝6＝0；
当
x
＜－2，或
x
＞3时，
y
＞0 ，即
x
2
－
x
－6＞0；
当－2＜
x
＜ 3时，
y
＜0，即
x
2
－
x
－6＜0．

这就是说，如果抛物线
y
=
x
2
－
x
－6与
x
轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那
么
一元二次方程
x
2
－
x
－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，
x
2
＝3；
同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＞0
的解是

x
＜－2，或
x
＞3；
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＜0
的解是
－2＜
x
＜3．
上例表明：由抛物线与
x
轴的交点可以确定对应的 一元二次方程的解和对应
的一元二次不等式的解集．


那么，怎样解一 元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数
y
＝ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
的图象来解一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞ 0(
a
≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数
a
＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道 ，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0(a
＞0)，设△＝
b
2
－4
ac
，它的解的
情 形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、
有两个相等的实数解和 没有实数解，相应地，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴分别有两个公共点、一个公共点和没有 公共点(如图2.3－2所示)，因此，
y
y
y
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x

O
③
x
①
②
图2.3－2

我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式
a x
2
＋
bx
＋
c
＞0（
a
＞0）与
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0（
a
＞0）的解 ．
（1）当Δ＞0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
b x
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴有两个公共点(
x
1
，
0)和(
x
2
，0)，方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(
x
1
＜
x
2
)，由图
2.3－2①可知
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为

x
＜
x
1
，或
x＞
x
2
；
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0的解为

x
1
＜
x
＜
x
2
．
（ 2）当Δ＝0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋c
（
a
＞0）与
x
轴有且仅有一个公共
点，方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个相等的实数根
x< br>1
＝
x
2
＝－
知
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为

x
≠－ ；
2
a
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
（
a
＞0）与
x
轴没有公共点，方程
b
，由图2.3－2②可
2
a
b
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0没有实数根
，
由图2.3－2③可知
不等式
a x
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为一切实数；
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面
的结论直接求解； 如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，
将不等式变成二次项系数大于零的形式，再 利用上面的结论去解不等式．
设相应的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、
x
2
且
x
1
?x
2
，
??b
2
?4a c
，则三个“二次”之间的关系如下表：


??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程

有两相异实根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

有两相等实根
b

x
1
?x
2
??
2a
ax< br>2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集



无实根
ax
2
?bx?c?0

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?

R

?
xx
1
?x?x
2
?

?

例3 解不等式：
（1）
x
2
＋2
x
－3≤0； （2）x－
x
2
＋6＜0；
（3）4
x
2
＋4
x
＋1≥0； （4）
x
2
－6
x
＋9≤0；
（5）－4＋
x
－
x
2
＜0．






例4 已知不等式
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的解是
x?2,或x?3
，求不等式
bx
2
?a x?c?0
的解．

例5 解关于
x
的一元二次不等式
x
2?ax?1?0(a
为实数).









例6 已知函数
y
＝
x
2
－2
ax
＋1(
a
为常数)在－2≤
x
≤1上的 最小值为
n
，试
将
n
用
a
表示出来．









练 习
1．解下列不等式：
（1）3
x
2
－
x
－4＞0； （2）
x
2
－
x
－12≤0；
（3）
x
2
＋3
x
－4＞0； （4）16－8
x
＋
x
2
≤0．

2．解关于
x
的不等式
x
2
＋2
x
＋1－
a
2
≤0（
a
为常数）．

习题2．3
A 组
1．解下列方程组：
?
x
2?
(x?3)
2
?y
2
?9,
?
?y
2
?1,
（1）
?
4
（2）
?

?
x?2y?0;
?
x?y?2?0;
?
22
?
?
x?y?4,
（3）
?
2

2
?
?
x?y?2.
2．解下列不等式：
（1）3
x
2
－2
x
＋1＜0； （2）3
x
2
－4＜0；
（3）2
x
－
x
2
≥－1； （4）4－
x
2
≤0．
B 组
1．
m
取什么值时，方程组
?
y
2
?4x,

?
y?2x?m
?
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解 关于
x
的不等式
x
2
－(1＋
a
)
x＋
a
＜0（
a
为常数）．
3．已知关于
x
不 等式2
x
2
＋
bx
－
c
＞0的解为
x＜－1，或
x
＞3．试解关于
x
的不
等式
bx
2
＋
cx
＋4≥0．
4．试求关于
x
的函数
y< br>＝－
x
2
＋
mx
＋2在0≤
x
≤2上的最大 值
k
．