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目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹

１

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值 是它的相反数，零的绝对值仍
是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，
即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3 |．
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)
的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
， 则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.

２
|x－3|
A
1
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
B
3
D
4
x

2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
解法一 ：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x
2
?1)
2
?x
2
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
（1）
1
2
1
2
11
9< br>a?
4
b?(
2
b?
3
a)
（ ）；
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
（1）若
x
2
?
1
2
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （
（A）
m
2
（B）
1
2
1
2
1
2
4
m
（C）
3
m
（D）
16
m

（2） 不论
a
，
b
为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


）
）
３

1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做 二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式
子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
2
a
2
等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引
入有 理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就
说这两个代数 式互为有理化因式，例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32< br>，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与ax?by
，
ax?b
与
ax?b
互为有
理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分
子有 理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程 中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公
式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有
理化进行运算；二次根式的 加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类
二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?
?a,a?0.
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．

3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
解法一：
3?(3?3)
＝
3
＝

４

解法二：
3?(3?3)
＝
3
3?3

＝
3
3(3?1)

＝
1
3?1

＝
3?1
(3?1)(3?1)

＝
3?1
2
．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
2
6?4
和
22－6
.
解： （1）∵
1 2?11?
12?11(12?11)(12?11)1
1
?
12?11?
12?11
，

11?10?
11?10(11?10)(11?10)1
1
?
11?10
?
11 ?10
，
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
（2）∵< br>22－6?
22－6(22
1
?
－6)(22+6)
22+6
?
2
22+6
,

又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴
2
6?4
＜
22－6
.
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

＝
??
2004
?
(3?2)?(3?2)
?
?(3?2)

＝
1
2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
x
2
?2(0?x?1)
．
解：（1）原式
?5?45?4


?(5)
2
?2?2?5?2
2

?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．







５

（2）原式=
(x?
1
)
2
1< br>x
?x?
x
，
∵
0?x?1
，
∴
1
x
?1?x
，
所以，原式＝
1
x
?x
．
例 6 已知
x?
3 ?2
3?2
,y?
3?2
3?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
解： ∵
x?y?
3?2
3?2
?
3?2
3?2
?(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
xy?
3?2
3?2
?
3?23?2
?1
，
∴
3x
2
?5xy?3y2
?3(x?y)
2
?11xy?3?10
2
?11?289< br>．
练 习
1．填空：
（1）
1?3
1?3
＝__ ___；
（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
5
x?1?x?1x?1?x?
2
，则
x?1?x?1
?
1
x?1?x?1
?
______ __．
2．选择题：
等式
xx
x?2
?
x?2
成立的条件是 （
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

3．若
b?< br>a
2
?1?1?a
2
a?1
，求
a?b
的值 ．
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．















）
６

1.1.４．分式

1．分式的意义
形如
A
B
的式子，若B中含有字母， 且
B?0
，则称
AA
B
为分式．当M≠0时，分式
B
具有下列性质：
AA?M
B
?
B?M
；
AA?M
B
?
B?M
．
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
像
b
m ?n?p
c?d
，
2m
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
n?p
例1 若
5x?4
x(x?2)
?
A
x?
B
x?2
，求常数
A,B
的值．
解： ∵
AB
x
?
x?2
?
A(x?2)?Bx
x(x?2)
?
(A?B)x?2A
x(x?2)
?
5x?4
x(x?2)，
∴
?
?
A?B?5,
?
2A?4,

解得
A?2,B?3
．
例2 （1）试证：
111
n(n?1)
?
n
?
n?1
（其中n是正整数）；
（2）计算：
111
1?2
?
2?3
?
L
?
9?10< br>；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
1
2?3
?
1
3?4
?
L
?
11
n(n?1)
?
2
．
（1）证明：∵
11
n
?
n?1
?
(n?1)?n
n(n?1)
?
1
n(n?1)
，
∴
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1
（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知

1
1?2
?
1
2?3
?
L
?
1< br>9?10


?(1?
11111
2
) ?(
2
?
3
)?L?(
9
?
10
)


?1?
1
9
10
＝
10
．
（3）证明： ∵
1
2?3
?
1
3?4
?
L
?
1
n(n?1)






７

＝
(
111111
2
?< br>3
)?(
3
?
4
)?
L
?(
n?
n?1
)

＝
1
2
?
1
n?1
，
又n≥2，且n是正整数，
∴
1
n＋1
一定为正数，
∴
1
2?3
?
1
3 ?4
?
L
?
1
1
n(n?1)
＜
2
．
例3 设
e?
c
a
，且e＞1，2c
2
－ 5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
解：在2c
2
－5ac＋2a< br>2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
∴e＝
1
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝
（A）１ （B）
5
4
（C）
46
5
（D）
5
3．正数
x, y
满足
x
2
?y
2
?2xy
，求
x?y< br>x?y
的值．
4．计算
1111
1?2
?
2?3< br>?
3?4
?...?
99?100
．


习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
． < br>２．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3x y
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1 ?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（ 3）
1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4?
11
4?5
?
5?6
?
________．


） （

８

B 组
1．填空：
（1）
a?
11
3a
2
?ab2
，
b?
3
，则
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
（2）若
x?xy?2y
2?0
，则
x
2
?3xy?y
2
2
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?11
yy
2
,y?
3
，求
x?y
?
x ?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0
（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
3．计算：
1
1?3
?
1
2?4
?
1
3?5
?
L
?
1
9?11
．
4．试证：对任意的正整数n，有
1
1?2?3
?
1
2?3?4?
L
?
1
1
n(n?1)(n?2)
＜
4 ．




1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1）
11
11
3
a?
2
b
（2）
2
,
4
（3）
4ab?2ac?4bc

2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1．
1
3．
2?1
4．
99
2
2．B
100

习题1．1
A组
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组
1．（1）
35
1
7
（2）
2
，或－
5
2．4．

）



）
９

C组
1
36
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?,x
2
?2
3．
55
2
1111
?[?]
4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)







1．2 分解因式
因式分解的主 要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解
求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与
－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1 －2
－1
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表
示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)


１０
x
y
图1．2－5
－1
1