初升高数学衔接知识点

1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数 ，零的绝
对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的 绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间 的距离．
1．填空：
（1）若
x?5
，则x=_________；若< br>x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝_______ _.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（4）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
练 习
1．填空：
1111
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；
9423
2
（2）
(4m?

)?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
1
（1）若
x
2
? mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
11
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
m
2

4
316
（2）不论
a
，< br>b
为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
3.分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公 因式法、公式法、分组分解法，另外还
应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
3．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；
（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
4.根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠ 0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac

(x?)?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实
数 根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4a c＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
b
x
1
＝x
2
＝－；
2a
b
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?)
2
一定 大于
2a
或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，
我们 把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判 别式，通常用符号“Δ”
来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
b
x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
x
1
＝x
2
＝1；

5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
b
c
如果ax
2< br>＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
，x
1
·x
2
＝． 这一
a
a
关系也被称为韦达定理．
例1 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例2 已 知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两 个实数根，并且这两个实数根
的平方和比两个根的积大21，求m的值．
例3 若x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
11
（2）求
2
?
2
的值；
x
1
x
2
（3）x
1
3
＋x
2
3
．
6.二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
b4ac?b
2
)
，（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为
(?,
2a4abbb
对称轴为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x
2a2a2a
4ac?b
2
b
的增大而增 大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝．
4a
2a
2
b4ac?b
)
， （2）当a＜0时，函数y ＝ax
2
＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?,
2a4a
bb b
对称轴为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?时，y随着x
2a2a2a
4ac?b
2
b
的增大而减小；当x ＝
?
时，函数取最大值y＝．
4a
2a
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小< br>值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
2
y＝ax
2
＋bx＋c

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：
1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用；
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用；
3、因式分解中,初中主要是 限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或
高次多项式的分解几 乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等；
4、二次根式中对分子、分 母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解
题技巧；
5 初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平.而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配
方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6、二次函数、二次不等式与二次方程之间 的联系,根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求,此类题目仅限
于简单的常规运算,和难度不大的应 用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因
此也脱节；
7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领； < br>8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现 ,是高
考必须考的综合题型之一；
9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心 、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、
平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中 早就已经删除,大都没有去学习；
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习.高中则在使用.
另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没 有去
延伸发掘,不利于高中数学的学习.
新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞. 本书当然也没有详尽列举出来.我们会不断的研究新课程及
其体系.将不遗余力地找到新的初高中数学教 材体系中存在的不足,加以补充和完善.
目录
第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）