初高中数学教学衔接研究

全国名校初高中数学优质衔接资料汇编（附详解）


初高中数学教学衔接研究
一、在初高中衔接中出现的知识“断点”．
所谓的“断点”主要在呈现具内容的教材中．
1．涉及“解三元一次方程组”．初中课标、教 材中已不作要求，
但在苏教版和人教版教材中均出现了较多的“解三元一次方程组”，
如果在高 中数学中必须用到，那么就应该在初中数学中增补这部分内
容．
例1．（人教A版必修2第1 25页例2）△ABC的三个顶点的坐
标分别是A（5，1），B（7，－3），C（2，－8），求它 的外接圆的方
程．
类似的习题还有一批，均需要用到解三元一次方程组，甚至是三
元二次方程组．
2． 涉及“解可化为一元一次或一元二次方程的简单的无理方
程”．初中课标、教材中已不作要求．
例2．（苏教版必修2第107页例2）自点A（－1，4）作圆（x
－2）
2
＋（ y－3）
2
＝1的切线l，求切线l的方程．
例3．（人教A版必修2第134页例 2）已知过点M（－3，－3）
的直线l被圆x
2
＋y
2
＋4y－2 1＝0所截得的弦长为45，求直线l的方
程．
例2、例3用到解可化为一元二次方程的简单的无理方程．
3．涉及“解由一个二元一次方程 和一个二元二次方程组成的方
程组”．初中课标、教材中已不作要求．

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例4．苏教版必修2第4章第107页4．2．2直线与圆的位置关
?
A x＋B y ＋C＝0，
系研究中，就用到解方程组
?
22
该节中的例1
x＋y＋ Dx＋Ey＋F＝0．
?
“求直线4x＋3y＝40和圆x
2
＋y
2
＝100的公共点坐标，判断它们的位
置关系．也涉及“解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程组成的
方程组”．
例5．（人教A版必修2第134页例2）已知直线l：3x＋y－6 ＝0
和圆心为C的圆x
2
＋y
2
－2y－4＝0，判断直线l与圆的 位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．也涉及“解由一个二元一次方程和一个
二元二次方程 组成的方程组”．
4．涉及“证明”．
现行初中数学课标、教材中的“证明”的内涵与以前 的“证明”
有所差别：现行初中数学教材中的“证明”是一个局部的公理化体系，
它是从4条“ 基本事实”出发，证明40条左右的结论，除此之外的
知识一般不在“证明”部分涉及，即使等式的性质 、不等式的性质有
的初中课标教材也不把它作为证明的依据，涉及的内容仅仅局限于
“相交线与 平行线”、“三角形”、“四边形”．而高中数学教材中，凡
是学过的知识几乎都可以作为“证明”的依 据．
例6．（人教A版必修1第45页习题1．3A组第3题）证明：（1）
函数f（x）＝ x
2
＋1在（－∞，0）上是减函数；（2）函数f（x）＝1
1
－
x
在（－∞，0）上是增函数．
例6中就把等式的性质、因式分解等作为证明的依据．应该说 这

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里把证明的意义拓展了．这样的题目在高中数学课标教材的各个版本
中均有出现．
5．涉及“分组分解法因式分解”．初中课标、教材中已不作要求．
例7．（苏教版必修1第 37页练习3）判断f（x）＝－x
2
＋2x在
（－∞，0）上是增函数还是减函数．
显然，用函数单调性定义来判断，需用到分组分解法因式分解．
1
例8．（苏教版必 修1第43页习题7）求证：函数f（x）＝x＋
x
在
区间（0，1]上是单调减函数 ，在区间[1，∞）上是单调增函数．
显然，例8也要用到分组分解的思想方法．
6．关于 “待定系数法”现行初中数学课标、教材已不提这个名
词，在初中数学中的要求也较以前大为降低，但在 高中数学必修2中，
用“待定系数法”非常普遍，而且要求较高，例如求直线方程、求圆
的方程 等．
二、出现的这些“断点”在原来的大纲和大纲教材中没出现过．
三、初高中数学衔接的关键出现的能力要求层面．
数学知识（包括数学思想方法）的“断点” 是容易在教学中衔接
和弥补的，可以在哪儿缺就在哪儿补，事实上，初高中数学衔接的关
键是要 关注学生的技能、能力层面．
例9．初中数学课标对运算的复杂的程度进行了硬性规定，如：
进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；提
公因式法、公式法（直接用公式不超 过二次）进行因式分解（指数是

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正整数）、关于分式方程（方程中的分式不超过两个），这些使得初中
数 学课标教材的“复杂符号运算水平”的训练大为减少．而高中数学
的“复杂符号运算水平”的习题比以前 并没有减少，造成学生学习的
层次落差过大．
同样，在推理水平和知识的综合程度方面，也存在类似情况．