初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接基础知识点专题
初高中数学衔接知识点专题
临洮二中数学组 董学峰
★ 专题一 数与式的运算
【要点回顾】
1.绝对值
[1]绝对值的代数意义: .即 .
[2]绝对值的几何意义: 的距离.
[3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示 的距离.
[4]两个绝对值不等式:;.
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1]平方差公式: ;
[2]完全平方与公式: ;
[3]完全平方差公式: .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式1]
[公式2](立方与公式)
[公式3] (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”.
3.根式
[1]式子叫做二次根式,其性质如下:
(1) (2) ;(3) (4) .
[2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根.
[3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为
4.分式
[1]分式的意义 形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ;
(2) .
[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如,
说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
[3]分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的 方法就是分母与分子都乘以分母的有理
化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分 子都乘以分母的有理化因式,化去分子中
的根号的过程
【例题选讲】
例1 解下列不等式:(1) (2)＞4.
例2 计算:
(1) (2)
(3) (4)
例3 已知,求的值.
例4 已知,求的值.
例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1) (2)
(3) (4)
例6 设,求的值.
例7 化简:(1) (2)
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(1)解法一:原式=
解法二:原式=
(2)解:原式=
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分
式的计算结果应就是最简分式或整式.
【巩固练习】
1．
解不等式
2．
设,求代数式的值.
3．
当,求的值.
4．
设,求的值.
5．
计算
6.化简或计算:
(1) (2)
(3) (4)
★ 专题二 因式分解
【要点回顾】
因式分解就是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法就是相反方向的变 形.在分式运算、解方程
及各种恒等变形中起着重要的作用.就是一种重要的基本技能.
因式 分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)外,
还有 公式法(立方与、立方差公式)、十字相乘法与分组分解法等等.
1.公式法
常用的乘法公式:
[1]平方差公式: ;
[2]完全平方与公式:
[3]完全平方差公式: .
[4]
[5](立方与公式)
[6] (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好就 是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行
因式分解.
2.分组分解法
从前面可以瞧出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要就是二项式 与三项式.而对于四项以上的多项
式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项 式分组处理.这种利用分组来因式分解的
方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式
3.十字相乘法
(1)型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点就是:①二次项系数就是1;②常数项就是两个数之积;③ 一
次项系数就是常数项的两个因数之与.
∵,
∴
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
(2)一般二次三项式型的因式分解
由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它
正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于 上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系
数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相 乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二 次三项
式能否用十字相乘法分解.
4.其它因式分解的方法
其她常用的因式分解的方法:(1)配方法 (2)拆、添项法
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【例题选讲】
例1 (公式法)分解因式:(1) (2)
例2 (分组分解法)分解因式:(1) (2)
例3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) (2)
(3) (4)
解:(1)
(2)
(3)分析:把瞧 成的二次三项式,这时常数项就是,一次项系数就是,把分解成与的积,而,正好就是一次项系
数.
解:
(4) 由换元思想,只要把整体瞧作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.解:
例4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) (2)
解:(1)
(2)
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不就是1时较困难,具体分解时,为提高速度 ,
可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,瞧就是否符合一次项系数,否则 用加法”凑”,
先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
例5 (拆项法)分解因式
【巩固练习】
1.把下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4) (5)
2.已知,求代数式的值.
3.现给出三个多项式,,,,请您选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解、
4.已知,求证:.
★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系
【要点回顾】
1.一元二次方程的根的判断式
一元二次方程,用配方法将其变形为: .
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式, 表示为:
对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0),有
[1]当Δ 0时,方程有两个不相等的实数根: ;
[2]当Δ 0时,方程有两个相等的实数根: ;
[3]当Δ 0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:
说明:一元二次方程根与系数的关系 由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达
定理”.上述定理成立的前提就是.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0,若x
1
,x
2
就是其两根,由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p,x
1
·x
2
＝q,即 p＝－(x
1
＋x
2
),q＝x
1
·x
2
,
所以,方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0,由于x
1
,x
2
就是一元二次方程x
2
＋px＋q＝0的两根,
所以 ,x
1
,x
2
也就是一元二次方程x
2
－(x
1< br>＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0.因此有
以两个数x
1
,x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)就是 x2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0.
【例题选讲】
例1 已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:
(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根; (4)方程无实数根.
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例2 已知实数、满足,试求、的值.
例3 若就是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1) (2) (3) (4) .
例4 已知就是一元二次方程的两个实数根.
(1) 就是否存在实数,使成立？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(2) 求使的值为整数的实数的整数值.
解:(1) 假设存在实数,使成立.∵ 一元二次方程的两个实数根,∴ ,又就是一元二次方程的两个实数根,∴
∴ ,但.
∴不存在实数,使成立.
(2) ∵
∴ 要使其值就是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为.
【巩固练习】
1.若就是方程的两个根,则的值为( )
A. B. C. D.
2.若就是一元二次方程的根,则判别式与完全平方式的关系就是( )
A. B. C. D.大小关系不能确定
3.设就是方程的两实根,就是关于的方程的两实根,则= ___ __ ,= _ ____ .
4.已知实数满足,则= ___ __ ,= _____ ,= _____ .
5.已知关于的方程的两个实数根的平方与等于11,求证:关于的方程有实数根.
6.若就是关于的方程的两个实数根,且都大于1.
(1) 求实数的取值范围;(2) 若,求的值.
★专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
【要点回顾】
1.平面直角坐标系
[1] 组成平面直角坐标系。 叫做轴或横轴,
叫做轴或纵轴,轴与轴统称坐标轴,她们的公共原点称为直角坐标系的原点。
[2] 平面直角坐标系内的对称点:
对称点或对称直线方程
轴
轴
原点
点
直线
直线
直线
直线
对称点的坐标








2.函数图象
[1]一次函数: 称就是的一次函数,记为:(k、b就是常数,k≠0)
特别的,当=0时,称就是的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质:函数y=kx(k就是常数,k≠0)的图象就是 的一条直线,当 时,图
象过原点及第一、第三象限,y随x的增大而 当 时,图象过原点及第二、第四象限,y随x的
增大而 .
[3] 一次函 数的图象与性质:函数(k、b就是常数,k≠0)的图象就是过点(0,b)且与直线y=kx平行的一条直线 、
设(k≠0),则当 时,y随x的增大而 当 时, y随x的增大而 .
[4]反比例函数的图象与性质:函数(k≠0)就是双曲线,当 时,图象在第一、第三象限,在每个象限中,y随x
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的增大而 当 时,图象在第二、第四象限、,在每个象限中,y随x的增大而 .双曲线
就是轴对称图形,对称轴就是直线与;又就是中心对称图形,对称中心就是原点.
【例题选讲】
例1 已知、,根据下列条件,求出、点坐标.
(1) 、关于x轴对称;(2) 、关于y轴对称;(3) 、关于原点对称.
例2已知一次函数y＝kx＋ 2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点,O为原点,若ΔAOB的
面积为2,求此一 次函数的表达式。
例3如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于,两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象回答:当取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
解:(1)在的图象上,, 又在的图象上,,即 ,解得:,, 反比例函数的解析式为,一次函数的解析式为,
(2)从图象上可知,当或时,反比例函数图象在一 次函数图象的上方,所以反比例函数的值大于一次函数的值。
【巩固练习】
1.函数与在同一坐标系内的图象可以就是( )
2.如图,平行四边形ABCD中,A在坐标原点,D在第一象限角平分线上,又知,,求点的坐标.
3.如图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.
(1)求的值;
(2) 过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
★专题五 二次函数
【要点回顾】
1. 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像与性质
问题[1] 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
问题[2] 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方 法:
由于y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x
2
＋)＋c＝a(x2
＋＋)＋c－, 所以,y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以瞧作就是 将函数y
＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的,
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质:
[1]当a＞0时,函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直
线 当 时,y随着x的增大而 当 时,y随着x的增大而 当 时,
函数取最小值 .
[2]当a＜0时,函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直
线 当 时,y随着x的增大而 当 时,y随着x的增大而 当 时,函数
取最大值 .
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示 出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于
函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
2.二次函数的三种表示方式
[1]二次函数的三种表示方式:
(1).一般式: ;
(2).顶点式:
(3).交点式: .
说明:确定 二此函数的关系式的一般方法就是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,
可根据题目 中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:
①给出三点坐标可利用一般式来求;
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②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.
③给出三点,其中两点为与x轴的两个交点、时可利用交点式来求.
3.分段函数
一般地
,
如果自变量在不同取值范围内时
,
函数由不同的解析式给出
,
这种函数
,
叫作分段函数
.
【例题选讲】
例1 求 二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大 值(或最小值),并指出当x
取何值时,y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.
例2 某种产品的成本就是120元件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件) 之间关系如下
表所示:
x 元 130 150 165
y件 70 50 35
若日销售量y就是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多
少元？此时每天的销售利润就是多少？
例3 已知函数,其中,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值与最小值时所对应的自变量x的值.
例4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y＝x＋1上,并且图象经过点(3,－1);
(2)已知二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2;
(3)已知二次函数的图象过点(－1,－22),(0,－8),(2,8).
例5 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资160分,超过40g
不超过60g付邮资240分,依此类推,每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资(单位:分) ？写出函数表达式,作出
函数图象.
分析:由于当自变量x在各个不同的范围内时,应付邮资 的数量就是不同的.所以,可以用分段函数给出其
对应的函数解析式.在解题时,需要注意的就是,当x 在各个小范围内(如20＜x≤40)变化时,它所对应的函数值
(邮资)并不变化(都就是160分) .
解:设每封信的邮资为y(单位:分),则y就是x的函数.这个函数的解析式为
由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示.
【巩固练习】
1.选择题:
(1)把函数y＝－(x
－
1)
2
＋4的图象的顶点坐标就是 ( )
(A)(－1,4) (B)(－1,－4) (C)(1,－4) (D)(1,4)
(2)函数y＝
－
x
2
＋4x＋6的最值情况就是 ( )
(A)有最大值6 (B)有最小值6
(C)有最大值10 (D)有最大值2
(3)函数y＝2x
2
＋4x－5中,当－3≤x＜2时,则y值的取值范围就是 ( )
(A)－3≤y≤1 (B)－7≤y≤1
(C)－7≤y≤11 (D)－7≤y＜11
2.填空:
(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2 ,0),B(1,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达式
为 .
(2)已知某二次函数的图象过点(－1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为 .
3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(1)已知二次函数的图象经过点A(0,),B(1,0),C(,2);
(2)已知抛物线的顶点为(1,),且与y轴交于点(0,1);
(3)已知抛物线与x轴交于点M(,0),(5,0),且与y轴交于点(0,);
(4)已知抛物线的顶点为(3,),且与x轴两交点间的距离为4.
4.如图,某农民要用 12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供她圈养小鸡.已知墙
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的长度为6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大？
5.如图所示,在边长为2的正方形AB CD的边上有一个动点P,从点A出发沿折线ABCD移动一周后,回到A
点.设点A移动的路程为x, ΔPAC的面积为y.
(1)求函数y的解析式;
(2)画出函数y的图像;
(3)求函数y的取值范围.
★ 专题六 二次函数的最值问题
【要点回顾】
1.二次函数的最值.
二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时,函数在处取得最小 值,无最大值;当时,函数在处取得
最大值,无最小值.
2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步确定a的符号,a＞0有最小值,a＜0有最大值;
第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
3.求二次函数在某一范围内的最值.
如:在(其中)的最值.
第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:;
第二步:讨论:
[1]若时求最小值或时求最大值,需分三种情况讨论:
①对称轴小于即,即对称轴在的左侧;
②对称轴,即对称轴在的内部;
③对称轴大于即,即对称轴在的右侧。
[2] 若时求最大值或时求最小值,需分两种情况讨论:
①对称轴,即对称轴在的中点的左侧;
②对称轴,即对称轴在的中点的右侧;
说明 :求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体情况,参考
例4。
【例题选讲】
例1求下列函数的最大值或最小值.
(1); (2).
例2当时,求函数的最大值与最小值.
例3当时,求函数的取值范围.
例4当时,求函数的最小值(其中为常数).
分析:由于所给的范围随着的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.
解:函数的对称轴为.画出其草图.
(1) 当对称轴在所给范围左侧.即时:当时,;
(2) 当对称轴在所给范围之间.即时: 当时,;
(3) 当对称轴在所给范围右侧.即时:当时,.
综上所述:
例5某商场以每件30元的价格购进 一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)
满足一次函数.
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式;
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【巩固练习】
1.抛物线,当= _____ 时,图象的顶点在轴上;当= _____ 时,图象的顶点在轴上;当= _____ 时,图象过原点.
2.用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ .
3.设,当时,函数的最小值就是,最大值就是0,求的值.
4.已知函数在上的最大值为4,求的值.
5.求关于的二次函数在上的最大值(为常数).
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★ 专题七 不 等 式
【要点回顾】
1.一元二次不等式及其解法
[1]定义:形如 为关于的一元二次不等式.
[2]一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称:三个二次).
(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:
(1) 将二次项系数先化为正数;
(2) 观测相应的二次函数图象.
①如果图 象与轴有两个交点,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判
断) .则
②如果图象与轴只有一个交点,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判< br>断) .则:
③如果图象与轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) .则:
(ⅱ)解一元二次不等式的步骤就是:
(1) 化二次项系数为正;
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根.那么“”型的解 为(俗称两根之外);“”型的解
为(俗称两根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成,结合完全平方式为非负数的性质求解.
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转 化,转化为整式不等式,应当注意分母不为
零、
3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式.
[1]当时,不等式的解为:;
[2]当时,不等式的解为:;
[3]当时,不等式化为:;
① 若,则不等式的解就是全体实数;② 若,则不等式无解.
【例题选讲】
例1 解下列不等式:(1) (2)
⑴解法一:原不等式可以化为:,于就是:或所以,原不等式的解就是.
解法二:解相应的方程得:,所以原不等式的解就是.
(2) 解法一:原不等式可化为:,即于就是:
,所以原不等式的解就是.
解法二:原不等式可化为:,即,解相应方程,得,所以原不等式的解就是.
说明:解一元二 次不等式,实际就就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不等
式的解.
例2 解下列不等式:(1) (2) (3)
例3 已知对于任意实数,恒为正数,求实数的取值范围.
例4 解下列不等式: (1) (2)
例5 求关于的不等式的解.
解:原不等式可化为:
(1) 当时,,不等式的解为;
(2) 当时,.
① 时,不等式的解为;
② 时,不等式的解为;
③ 时,不等式的解为全体实数.
(3) 当时,不等式无解.
综上所述:当或时,不等式的解为;当时,不等式的解为;当时 ,不等式的解为全体实数;当时,不等式无解.
【巩固练习】
1.解下列不等式:
(1) (2)
(3) (4)
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2.解下列不等式:
(1) (2) (3) (4)
3.解下列不等式:
(1) (2)
4.解关于的不等式.
5.已知关于的不等式的解就是一切实数,求的取值范围.
6.若不等式的解就是,求的值.
7.取何值时,代数式的值不小于0？
● 各专题参考答案 ●
专题一数与式的运算参考答案
例1 (1)解法1:由,得;
①若,不等式可变为,即; ②若,不等式可变为,即,解得:.综上所述,原不等式的解为.
解法2: 表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离,所以不等式的几何意义即为x轴上坐标 为x
的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧,在坐标 为1的点
的右侧.所以原不等式的解为.
解法3:,所以原不等式的解为.
(2)解法一:由,得;由,得;
①若,不等式可变为,即＞4,解得x＜0,又x＜1,∴ x＜0;②若,不等式可变为,即1＞4,∴不存在满足条件的x;
③若,不等式可变为,即＞4, 解得x＞4.又x≥3,∴x＞4.
综上所述,原不等式的解为x＜0,或x＞4.
解法二 :如图,表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|＝|x－1|;|x－3 |表示x轴上
点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|＝|x－3|.
所以,不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4.由|AB|＝2,
可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
所以原不等式的解为x＜0,或x＞4.
例2(1)解:原式=
说明:多项式乘法的结果一般就是按某个字母的降幂或升幂排列.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
例3解:
原式=
例4解:
原式= ①
②,把②代入①得原式=
例5解:(1)原式=
(2)原式=
说明:注意性质的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
(3)原式=
(4) 原式=
例6解:
原式=
说明:有关代 数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几
步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
【巩固练习】
1. 2. 3.或 4.
5. 6.
专题二因式分解答案
例1分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现,可瞧着就是或.
解:(1) .
(2)
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例2(1)分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.
解:
(2)分析:先将系数2提出后,得到,其中前三项作为一组,它就是一个完全平方式, 再与第四项形成平方差形式,
可继续分解因式.
解:
例5 解:
【巩固练习】
1.
.
2.;
3.
其她情况如下:;
、
4.
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案
例1解:∵,∴(1) (2) (3) (4).
例2解:可以把所给方程瞧作为关于的方程,整理得:
由于就是实数,所以上述方程有实数根,因此:,
代入原方程得:.综上知:
例3解:由题意,根据根与系数的关系得:
(1)
(2)
(3)
(4)
说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:,,,等等.韦达定理体现了整体思想.
【巩固练习】
1. A; 2.A; 3.; 4.; 5. (1)当时,方程为,有实根;(2) 当时,也有实根.6.(1) (2) .
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案
例1 解:(1)因为、关于x轴对称,它们横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以,,则、.
(2)因为、关于y轴对称,它们横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以,,,则、.
(3)因为、关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以,,则、.
例2分析:因为 直线过第一、三象限,所以可知k>0,又因为b＝2,所以直线与y轴交于(0,2),即可知OB＝2,而< br>ΔAOB的面积为2,由此可推算出OA＝2,而直线过第二象限,所以A点坐标为(－2,0),由A、 B两点坐标可求
出此一次函数的表达式。
解:∵B就是直线y＝kx＋2与y轴交点,∴B(0,2),∴OB＝2,
,过第二象限,
【巩固练习】
1. B 2. D(2,2)、C(8,2)、B(6,0). 3.(1).(2)点的坐标就是或.
专题五二次函数参考答案
例1 解:∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4,∴函数图象的开口向 下;对称轴就是直线x＝－1;顶点坐标为(－
1,4);
当x＝－1时,函数y取最大值y＝4;
当x＜－1时,y随着x的增大而增大;当x＞－1时,y随着x的增大而减小;
采用描点法 画图,选顶点A(－1,4)),与x轴交于点B与C,与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图 2－
5所示).
说明:从这个例题可以瞧出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接 选出关键点,减少了选点的
盲目性,使画图更简便、图象更精确.
例2 分析:由于每天的 利润＝日销售量y×(销售价x－120),日销售量y又就是销售价x的一次函数,所以,欲
求每天所 获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系,然后,再由它们之间的函
数关 系求出每天利润的最大值.
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解:由于y就是x的一次函数,于就是,设y ＝kx＋(B),将x＝130,y＝70;x＝150,y＝50代入方程,有 解得 k＝
－1,b＝200.∴ y＝－x＋200.
设每天的利润为z(元),则z＝(－x +200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000＝－(x－160)
2< br>＋1600,
∴当x＝160时,z取最大值1600.
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元.
例3 分析:本例中函数自变量的范围就是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论.
解:(1)当a ＝－2时,函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2,4),所以,函数的最大值与最小值 都就是4,此时
x＝－2;
(2)当－2＜a＜0时,由图2.2－6①可知,当x ＝－2时,函数取最大值y＝4;当x＝a时,函数取最小值y＝a
2
;
(3)当0 ≤a＜2时,由图2.2－6②可知,当x＝－2时,函数取最大值y＝4;当x＝0时,函数取最小值y＝0;
(4)当a≥2时,由图2.2－6③可知,当x＝a时,函数取最大值y＝a
2
;当 x＝0时,函数取最小值y＝0.
说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对a的所有可能情形进行 讨论.此外,本例中所研究的二次函数
的自变量的取值不就是取任意的实数,而就是取部分实数来研究, 在解决这一类问题时,通常需要借助于函数
图象来直观地解决问题.
例4(1)分析:在解本 例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成
顶点式,再由函 数图象过定点来求解出系数a.
解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定就是其顶点的纵坐标,∴ 顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y＝x＋1
上,所以,2＝x＋1,∴x＝1.∴顶点坐标就是(1, 2).设该二次函数的解析式为,∵二次函数的图像经过点(3,－
1),∴,解得a＝－2.
∴二次函数的解析式为,即y＝－2x
2
＋8x－7.
说明:在解题时, 由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点
式,最终解决 了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.
(2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就就是二次函数的图象与x轴的交
点 坐标,于就是可以将函数的表达式设成交点式.
解法一:∵二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0),展开,得 y＝
ax
2
＋2ax－3a, 顶点的纵坐标为 ,由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,∴|－4a|＝2,即a＝.所以,二次函
数的表达式为y＝,或y＝－.
分析二:由于二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),所以 ,对称轴为直线x＝－1,又由顶点到x轴的距离为2,
可知顶点的纵坐标为2,或－2,于就是,又可 以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(－
3,0),或(1,0),就可以求得 函数的表达式.
解法二:∵二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),∴对称轴为直线x＝－1 .又顶点到x轴的距离为2,∴顶点
的纵坐标为2,或－2.于就是可设二次函数为y＝a(x＋1)< br>2
＋2,或y＝a(x＋1)
2
－2,由于函数图象过点(1,0),∴0＝a(1＋1)
2
＋2,或0＝a(1＋1)
2
－2.∴a＝－,或a＝ .所以,所求的二次函数为y＝
－
(x＋1)
2
＋2,或y＝(x＋1)2
－2.
说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利 用交点式与顶点式来解
题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. (3)解:设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0).由函数图象过点(－1,－ 22),(0,－8),(2,8),可得
解得 a＝－2,b＝12,c＝－8.所以,所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8.
【巩固练习】
1.(1)D (2)C (3)D 2.(1)y＝x
2
＋x－2 (2)y＝－x
2
＋2x＋3
3.(1).(2).
(3).(4)
4.当长为6m,宽为3m时,矩形的面积最大.
5.(1)函数f(x)的解析式为
(2)函数y的图像如图所示
(3)由函数图像可知,函数y的取值范围就是0＜y≤2.
专题六二次函数的最值问题参考答案
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例1分析:由于函数与的自变量x的取值范围 就是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就
可以确定函数有最大值或最小值. 解:(1)因为二次函数中的二次项系数2＞0,所以抛物线有最低点,即函数有最小值.因为=,所以当时 ,函数有最
小值就是.
(2)因为二次函数中的二次项系数-1＜0,所以抛物线有最高点, 即函数有最大值.因为=,所以当时,函数有最大
值.
例2解:作出函数的图象.当时,,当时,.
说明:二次函数在自变量的给定范围内,对应的 图象就是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数
的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.
根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况:
例3解:作出函数在内的图象.
可以瞧出:当时,,无最大值.所以,当时,函数的取值范围就是.
例5解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为元,那么件的销售利润为,又.
(2) 由(1)知对称轴为,位于的范围内,另抛物线开口向下
当时,
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432元.
【巩固练习】
1.4 14或2, 2. 3.. 4.或.
5.当时,,此时;当时,,此时.
专题七不等式答案
例2解:(1) 不等式可化为∴ 不等式的解就是
(2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解就是;(3) 不等式可化为.
例3解:显然不合题意,于就是:
例4分析:(1) 类似于一元二次不等 式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或者因
为两个数(式)相除异号,那 么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解. (2) 注
意到经过配方法,分母实际上就是一个正数.
解:(1) 解法(一)原不等式可化为:
解法(二) 原不等式可化为:.
(2) 解:原不等式可化为:
说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
(2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
【巩固练习】
1.;
2.;
3.(1) 无解 (2) 全体实数
4.(1)当时,;(2)当时,;(3) 当时,取全体实数.
5.; 6. 7..
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