初高中数学衔接知识点专题精简版

[公式1]
(a?b?c)
2
?
[公式3]

初高中数学衔接知识点专题（一）
[公式2]
数与式的运算
【要点回顾】
1．绝对值
[1]绝对值的代数意义：．即
|a|?
．
[2]绝对值的几何意义：
的距离．
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示的距离．
[4]两个绝 对值不等式:
|x|?a(a?0)?
|x|?a(a?0)?
?a
3
?b
3
(立方和公
?a
3
?b
3
(立方差公说明:上述公式均称为“乘法公式”．
3．根式
[1]式子
a(a?0)
叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(a )
2
?
；(2)
a
2
?
；(3)
ab?< br>；(4)
b
?
．
a
[2]平方根与算术平方根的概念：叫做
a
的平方根，
中
a
(a?0)
叫做
a
的算 术平方根．
[3]立方根的概念：叫做
a
的立方根，记为
x?
3< br>a

4．分式
A
B
A
B
；
[1] 分式的意义形如的式子，若
B
中含有字母，且
．
式．当
M
≠0时，分式具有下列性质：（1）；（2
A
B
2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式：；
[2]完全平方和公式：；
[3]完全平方差公式：．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分
式，如
m?n?p
， < br>2m
n?p
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除
的基本性质．
[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（ 子）有理化．分母有理化的
方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过
程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子
中的根号的过程
【例题选讲】
例1解下列不等式：（1）
x?2?1

例2计算：
1
（1）
(x?2x?)
2

3
11111< br>（2）
(m?n)(m
2
?mn?n
2
)

5225104
（3）
(a?2)(a?2)(a
4
?4a
2
?16)

1
例3已知
x
2
?3x?1?0
， 求
x
3
?
3
的值．
x
111111
例4 已知
a?b?c?0
，求
a(?)?b(?)?c(?)
的值．
bccaab
2
[1]平方差公式：；
[2]完全平方和公式：；
[3]完全平方差公式：．
[4]
(a?b?c)
2
?
[ 5]
a
3
?b
3
?
[6]
a
3
? b
3
?

(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公
以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二
上的 多项式，如
ma?mb?na?nb
既没有公式可用，也没有公因式
项式分组处理．这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组
常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后 能直接运用公式
3．十字相乘法
例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1）
（3）
例6设
x?
1．公式法
3

2?3
11
?

ab
（2）
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

（4）
2
x
?x
3
?8x

2
2?32?3
，求
x
3
?y
3
的值．
,y?
2?32?3
（1）
x
2
?(p?q)x?pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次
项是两个数之积；③一 次项系数是常数项的两个因数
∵
x
2
?(p?q)x?pq?x
2< br>?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?
∴
x
2
?(p? q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三< br>（2）一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
a
1
c
1
2
★专题二因式分解
常用的乘法公式：
2
由
a
1
a
2
x?(a
1
c2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
我们发现，
常数项
c
分解成
c
1
c
2，把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
写成
a
2
?
c
2
，这里按斜线交叉相乘
2
如果它正好等于
ax?bx?c
的一次项系数
b
，那么
a
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)，其中
a
1
,c
1
位于上一行，
a
2
,c
2
位于下一行．这种

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多 种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个
二次三项式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
2．一元二次方程的根与系数的关系
2
定理：如果一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法
例1（ 公式法）分解因式：(1)
3a
3
b?81b
4
；(2)
a
7
?ab
6

ab(c
2
?d
2
)?(a
2
?b
2
)cd2x
2
?4xy?2y
2
?8z
2
例2（分组分解法）分解因式：（1）（2）
例3（十字相乘法） 把下列各式因式分解：(1)
x
2
?5x?24

(2)
x
2
?2x?15
(3)
x
2
?xy?6y
2
(4)
(x
2
?x)
2
?8(x
2
?x)?1 2

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)
12x
2
?5 x?2
；
(2)
5x
2
?6xy?8y
2

解：
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时 ，为
提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次< br>项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
x
1
?x
2
?,x
1
x
2
?

说明：一元二 次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发
韦达定理”．上述定理成立的前提是
?? 0
．
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x2
＝q，即p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px ＋q＝0，若x
1
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2< br>＝0，由于x
1
，x
0的两根，所以，x
1
，x
2< br>也是一元二次方程x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x1
·x
2
＝0．
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x
2
－(x
1
＋
【例题选 讲】
2
例5（拆项法）分解因式
x
3
?3x
2
? 4

(3)
x?11x?31x?21

32
例1已知关 于
x
的一元二次方程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实
（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．
例2已知实数
x
、
y
满足
x?y? xy?2x?y?1?0
，试求
x
、
y
2
22
(4 )
x?4xy?2xy?8y

3223
★
专题三一元二次方程根与系数的关系
【要点回顾】
1．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为：．
由于可以用
b?4ac
的取值情况来 判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b?4ac
叫做一元二次
方程
ax? bx?c?0 (a?0)
的根的判别式，表示为：
??b?4ac

对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；
[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；
[3]当Δ0时，方程没有实数根．
2
2
例3若
x
1
,x
2
是方程
x?2x ?2007?0
的两个根，试求下列各式的值

22
(1)
x
1
?x
2
； (2)
11
?
；
x
1
x
2
2
( 3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
；
例4已知x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根．
22
(1)是否存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
理由．
(2)求使
2
3
成立？若存在，求
2
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
3
解：(1)假设存在实数
k
，使
(2x1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
成 立．∵一元二
2

的两个实数根，∴
?
?
4 k?0
2
?
??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0
?
x
1
?x
2
?1
?
4kx
2
?4kx?k ?1?0
的两个实数根，∴
?
k?1

x
1
x2
?
?
4k
?
?k?0
，又
x
1,x
2
是一元二次方程
直线
y?x

直线
y??x



2．函数图象
[1]一次函 数：称
y
是
x
的一次函数，记为：
y?kx?b
k?939
???k?
，但
4k25
222
∴
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)?2(x
1
?x
2
)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x< br>2
)?9x
1
x
2
??
特别的，当
b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。
k?0
．
3
成立．
2
x
1
x
2
x
12
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
4k4
(2)∵
??2??2??4??4??
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
k ?1k?1
∴不存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2< br>)(x
1
?2x
2
)??
[2]正比例函数的图象与性质：函 数
y
=
kx
(
k
是常
的一条直线，当时，图象过原 点及第一、第三象限，
时，图象过原点及第二、第四象限，
y
随
x
的 增大而
xx
∴要使其值是整数，只需
k?1
能被4整除，故
k?1? ?1,?2,?4
，注意到
k?0
，要使
1
?
2
? 2
x
2
x
1
的值为整数的实数
k
的整数值为
?2,?3,?5
．
[3]一次函数的图象与性质：函数
y?kx?b
(
k
、
b
是常
过点(0，
b
)且与直线
y< br>=
kx
平行的一条直线.设
y?kx
随
x
的增大而； 当时，
y
随
x
的增大而．
k
x
★ 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数
要点回顾】
1．平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点：
对称点或对称直线方程 对称点的坐标

x
轴

y
轴

原点

点
(a,b)


直线
x?a


直线
y?b

[4]反比例函数的图象与性质：函数
y?
(
k
≠0)是双
第一、第三象限，在每个象限中，
y
随
x的增大而；
第四象限.，在每个象限中，
y
随
x
的增大而．双曲 线
轴是直线
y?x
与
y??x
；又是中心对称图形，对称中
【例题选讲】
例1已知
A
?
2,y
1
?
、
B
?
x
2
,?3
?
，根据下列条件，求出

(1)
A
、
B
关于
x
轴对称；(2)< br>A
、
B
关于
y
轴对称；(3)
A
、
B
关于原点对
称．
例2已知一次函数
y
＝
kx
＋ 2的图象过第一、二、三象限且与
x
、
y
轴分别
交于
A、
B
两点，
O
为原点，若Δ
AOB
的面积为2，求此一 次函数的表达
式。
例3如图，反比例函数
y?
的图象与一次函数
y ?mx?b
的图象交于
A(1，3)
，
B(n，?1)
两点．
（2）顶点式：（3）
交点式：．
说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定< br>数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择
数的关系式可设如下三种形式：

k
x
①给出三点坐标可利用一般式来求；
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当
x
取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式
③给出三点，其中两点为与
x
轴的两个 交点
(x
1
式来求．
【例题选讲】
★ 专题五二次函数
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
[1]当
a
＞0时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c< br>图象开口方向；顶点坐标为，
对称轴为直线；当时，
y
随着
x
的增大而；当时，
y
随着
x
的增大而；当
时，函数取最小值．

[2]当
a
＜0时，函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象开口方向；顶点坐标为，
对称轴为直线；当时，y
随着
x
的增大
而；当时，
y
随着
x
的增大而；当时，函数取最大值．
上 述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解
决二次函数问题时，可以借助于函 数图像、利用数形结合的思想方法来解
决问题．
[2]二次函数的三种表示方式：
（1）．一般式：；
2
例1求二次函数y＝
－
3x
2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐
出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并 画出该函数的
例2某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x（元）
间关系如下 表所示：
x元 130 150
y件 70 50
若日销售量y是销售价x的一 次函数，那么，要使每天所获得最
应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
例3已知函数
y?x
2
,?2?x?a
，其中
a??2
，求该函数
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量
x
的
例4根据下列条件，分别求出对 应的二次函数的关系
（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直
图象经过点（3，－ 1）；
（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距

（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．
情况，参考例4。
【例题选讲】
★专题六二次函数的最值问题
【要点回顾】
1．二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
的最值． < br>二次函数在自变量
x
取任意实数时的最值情况(当
a?0
时，函数在< br>x??
2
例1求下列函数的最大值或最小值．
b
处取得最小值
2a
（1）
y?2x
2
?3x?5
；（2）
y??x2
?3x?4
．
例2当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值．
例3当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．
例4当
t?x?t?1
时，求函数
y?
2
4ac?b
2< br>4ac?b
2
b
，无最大值；当
a?0
时，函数在
x ??
处取得最大值，无最小值．
4a4a
2a
2．二次函数（X为全体实数时）最大值或最小值的求法．
第 一步确定
a
的符号，
a
＞0有最小值，
a
＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：
y?ax?bx?c
在
m?x?n
（其中
m?n
）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0
；
第二步：讨论：
[1]若
a?0
时求最小值或
a?0
时求 最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于
m
即
x
0
?m
，即对称轴在
m?x?n
的左侧；
②对称轴
m?x
0?n
，即对称轴在
m?x?n
的内部；
③对称轴大于
n
即
x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的右侧。
[2]若
a?0
时求最大值或
a?0
时求最小值，需分两种情况讨论：
2
m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的左侧；
2m?n
②对称轴
x
0
?
，即对称轴在
m?x?n
的中点的右侧；
2
①对称轴
x
0
?
说明：求二次函数在 某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体
1
2
5
x?x?
的最小值(其中
t
为常
22
分析：由于
x
所给的范围随着
t
的变化而变化，所以需要比较对
1
2
5
解 ：函数
y?x?x?
的对称轴为
x?1
．画出其草图．
22
1
2
(1)当对称轴在所给范围左侧．即
t?1
时：当
x?t时，
y
min
?t?
2
(2)当对称轴在所给范围之间．即t?1?t?1?0?t?1
时： 当
15
y
min
??1
2
?1???3
；
22
(3)当对称轴在所给范围右侧．即
t?1?1?t?
151
y
min
?(t?1)
2
?(t?1)??t
2
?3
． < br>222
?
1
2
?
2
t?3,t?0
?
综上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?
t
2
?t?,t?1
2
?
2
2
例5当0?x?2
时，求函数
y?x?2ax?1
的最大值。
●各专题参考答案●
专题一数与式的运算参考答案

例1（1）解法1：由
x?2?0
，得
x?2
；
①若x?2
，不等式可变为
x?2?1
，即
x?3
；②若
x ?2
，不等式可变为
?(x?2)?1
，即
?x?2?1
，解得：< br>x?1
．综上所述，原不等式的解为
1?x?3
．
解法2：
x?2
表示
x
轴上坐标为
x
的点到坐标为2的点之间的距离，所以< br>不等式
x?2?1
的几何意义即为
x
轴上坐标为
x
的 点到坐标为2的点之间的
距离小于1，观察数轴可知坐标为
x
的点在坐标为3的点的左 侧，在坐标
为1的点的右侧．所以原不等式的解为
1?x?3
．
解法3：< br>x?2?1??1?x?2?1?1?x?3
，所以原不等式的解为
1?x?3
．
（2）解法一：由
x?1?0
，得
x?1
；由
x?3? 0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?( x?1)?(x?3)?4
，即
?2x?4
＞4，解得
x
＜0，又< br>x
＜1，∴
x
＜0；②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，即1＞4，∴
不存在满足条件的
x
；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，即
2x ?4
＞4，解得
x
＞4．又
x
≥3，∴
x
＞4．
综上所述，原不等式的解为
x
＜0，或
x
＞4．
解法二： 如图，
x?1
表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为1的点
A
之间的

|x－3|
距离|
PA
|，即|
PA
|＝|
x
－1|；|
x
－3|表示
x
轴上点
P
到坐标为2的点
P
C
A
D
之
B
B
x x
0
1 3 4
间的距离|
PB
|，即|
PB
|＝|
x
－3|．
x－1|
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为|
PA
|＋|
PB
|＞4
|
．由|
AB
|＝
2，
可知点
P
在点
C
(坐标为0)的左侧、或点
P
在点
D
(坐标为4)的右侧．
所以原不等式的解为
x
＜0，或
x
＞4．
例2（1）解： 原式
=
[x
2
?(?2x)?]
2
?(x
2
)
2
?(?2x)
2
?()
2
?2x
2
(?2)x?2x
2
111
3
1
3
m?n

521258
（3）原式=
(a
2
?4)(a
4
?4a< br>2
?4
2
)?(a
2
)
3
?4
3< br>?a
6
?64

1
3
1
3
说明：多 项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或
（2）原式=
(m)
3
?(n)< br>3
?
（4）原式=
(x?y)
2
(x
2
?x y?y
2
)
2
?[(x?y)(x
2
?xy?y
2
)]
2
?
1
x
1111
原式=
(x?)( x
2
?1?
2
)?(x?)[(x?)
2
?3]?3(3< br>2
?3)?18
xxxx
例4解：
a?b?c?0,?a?b??c, b?c??a,c?a??b

例3解：
x
2
?3x?1?0
?x?0
?x??3

?
原式=
a?
b?ca?ca?b
a(?a)b(?b)c(?c)
????
?b??c?
bcacab
bcacab
3abc
?a
3
?b
3
?c
3
?3abc
②，把②代入①得 原式=
???3

abc
3(2?3)3(2?3)
例5解：（1） 原式=
??6?33
2
2?3
(2?3)(2?3)
?
(x ?1)?(x?2)?2x?3
（2）原式=
|x?1|?|x?2|?
?
?
(x?1)?(x?2)?1 (1?
说明：注意性质
a
2
?|a|
的使用：当化去绝对值符号时，要对字母的取值分类讨论．
a?ba
2
b?ab
2
（3）原式=
?
abab

2x
?x?x
2
?2 ?2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx
（4）原式=
2
2 ?2
（2）分析：先将系数2提出后，得到
x
2
?2xy?y
2?4
式．
解
2?3(2?3)
2
例6解：
x???7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1

2
2?3
2?3
原式=
(x ?y)(x
2
?xy?y
2
)?(x?y)[(x?y)
2
?3xy]?14(14
2
?3)?2702

组，它是一个完全平方式，再 和第四项形成平方差形
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较< br>复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入
可简化计算量．
【巩固练习】
2x
2
?4xy?2y
2
?8z
2
?2(x
2
?2xy?y
2
?4z
2
)
? 2[(x?y)
2
?(2z)
2
]?2(x?y?2z)(x?y?2z)< br>
【巩固练习】
2
例5解：
x
3
?3x
2
?4?(x
3
?1)?(3x
2
?3)?(x?1)(x
2
?x?1)?
1．
(1)(bc?ad)(ac?bd);(2)(x?4m?2n) (x?2n);(3)(x?4x
4．
3?5

13
1．
? 4?x?3
2．
?3
3．
?3
或
2

6
444222222
5．
?x?y?z?2xy?2xz?2yz
6．
?
1
?
?3,
?
2
?
x?y
43
,
?
3
?
,
?
4
?
b?a

3y
专题二因式分解答案
例1分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括
号内出现
a
6
?b
6
，可看着是
(a
3
)
2
?(b
3
)
2
或
( a
2
)
3
?(b
2
)
3
．
解： (1)
3ab?81b?3b(a?27b)?3b(a?3b)(a?3ab?9b)
． < br>(2)
a?ab?a(a?b)?a(a?b)(a?b)?a(a?b)(a?ab?b)(a ?b)(a?ab?b)

766633332222
343322
(4)( x?1)(x?3)(x?7);(5)(x?2y)
2
(x?2y)
．
28
2．；
3
11
3．
(x
2
?x?1 )?(x
2
?3x?1)?x
2
?4x
?x(x?4)
< br>22
11
其他情况如下：
(x
2
?x?1)?(x
2
?x)?x
2
?1?(x?1)(x
22
11
(x
2
?3x?1)?(x
2
?x)?x
2
?2x?1?(x?1)2
22
322322
4．
a?ac?bc?abc?b?(a?ab?b )(a?b?c)

2
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答
例2（1） 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重
新分组，然后再分解因式．
解 ：
ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd?(abc?acd)?(bc d?abd)

222222222222
例1解：∵
??(?2)?4?3 ?k?4?12k
，∴(1)
4?12k?0?k?
(3)
4?12k?0?k?
11
；(4)
4?12k?0?k?
．
33
2
例2解：可以把所给方程看作为关于
x
的方程，整理得：x?(y?2
??[?(y?2)]?4(y
由于
x
是实数，所以上述方 程有实数根，因此：
2
22
代入原方程得：
x?2x?1?0?x??1．综上知：
x??1,y?0

例3解：由题意，根据 根与系数的关系得：
x
1
?x
2
??2,x
1
x< br>2
??2007

(1)
x?x
2
?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?(?2)?2(?200 7)?4018

2
1
222
算出OA＝2，而直线过第二象限，所 以A点坐标为（
11
x
1
?x
2
?22
???(2)
?

x
1
x
2
x
1
x
2
?20072007
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)?x
1
x
2
?5(x
1
?x
2)?25??2007?5(?2)?25??1972

(4)
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?(x
1?x
2
)?4x
1
x
2
?(?2)?4(?2007) ?22008

222
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：< br>x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?2 x
1
x
2
，
点坐标可求出此一次函数的表达式。
解：∵B 是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2）
又S
?AOB
?
22211
x
1
?x
2
22
2
??
，
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)?4 x
1
x
2
，
|x
1
?x
2
|?( x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
等等．韦达定
x
1
x
2
x
1
x
2
理体现了整体 思想．
【巩固练习】
1．A；2．A；3．
p??1,q??3
；4．< br>a?3,b?3,c?0
；5．
m?1
(1)当
k?3
时，方程为
1
AO?BO?2，?AO?2

2
又y?kx?2
，过第二象限，
，?y?x?2

?A( ?2，0)
把x
1
??2，y
1
?0代入y?kx?2中得k?1< br>【巩固练习】
1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）
k ?
P(2，4)
或
P(81)，
．
专题五二次函数参考答案 3
3x?1?0
，有实根；(2)当
k?3
时，
??0
也有实根．6．(1)
k?且k?1
； (2)
k?7
．
4
专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案
例1解：(1)因为A
、
B
关于
x
轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反
数，所以
x
2
?2
，
y
1
?3
，则A
?
2,3
?
、
B
?
2,?3
?．
(2)因为
A
、
B
关于y轴对称，它们横坐标互为相反数， 纵坐标相同，
所以，
x
2
??2
，
y
1
? ?3
，则
A
?
2,?3
?
、
B
?
?2,?3
?
．
(3)因为
A
、
B
关于原点对称 ，它们的横纵坐标都互为相反数，所以
x
2
??2
，
y
1< br>?3
，则
A
?
2,3
?
、
B
??2,?3
?
．
例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为 b＝2，所以
直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推
例1解：∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋ 4，∴函数图象的开口向下
点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，
A(－1,4)
y
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点
D(0,1)
C
(?
23?3
,0)
，与y轴的交点为D(0，1)，过这五
3
C
O
B
x＝－1
x
示）．
少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得 到的性质画函数的图
例2分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量
所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销
再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）< br>，将x＝130，y＝

有
?
?
70?130 k?b,
解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．
50?150k?b,
?
设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋32 0x－24000＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
点坐标是（1，2）．设该二 次函数的解析式为
y?a(
函数的图像经过点（3，－1），∴
?1?a(3?2)< br>2
?1
，解
∴二次函数的解析式为
y??2(x?2)
2?1
，即
y
＝－2
x
2
说明：在解题时，由最大值确定 出顶点的纵坐标，再
例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对
a
的取值
进行讨论．
解：（1）当
a
＝－2时，函数
y
＝< br>x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，
所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时
x
＝－2；
（2）当－2＜
a
＜0时，由图2．2－6① 可知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝
a
时，函数取最小值
y
＝
a
2
；
（3）当0≤
a
＜2时，由图2．2－6②可知，当
x
＝－2时，函数取最
大值< br>y
＝4；当
x
＝0时，函数取最小值
y
＝0；
（4 ）当
a
≥2时，由图2．2－6③可知，当
x
＝
a
时，函数 取最大值
y
＝
a
2
；当
x
＝0时，函数取最小值< br>y
＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此 外，本例中所研
究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类 问题时，
通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式 ，最终解决了
时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件
（2）分析一：由于题目所给 的条件中，二次函数的图
就是二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，于是可以将
点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，
为
y
＝
a
(
x
＋3)(
x
－1)(
a
≠0)，展开，得
y
＝
ax
2
＋2
a
例4（1）分析：在解本例时， 要充分利用题目中所给出的条件——最大
值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象 过定点来
求解出系数
a
．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其 顶点的纵坐标，∴顶点
的纵坐标为2．又顶点在直线
y
＝
x
＋1上， 所以，2＝
x
＋1，∴
x
＝1．∴顶
?12a
2
? 4a
2
??4a
，由于二次函数图象的顶点到
x
轴为
4a< br>11
＝2，即
a
＝
?
．所以，二次函数的表达式为
y
＝
22
1
2
3
x?x?
．
22
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(
为直线
x
＝－1，又由顶点到x
轴的距离为2，可知顶
－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式
象过 点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达

解法二：∵二次函数 的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直
线
x
＝－1．又顶点到
x
轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是
可设二次函数为
y
＝< br>a
(
x
＋1)
2
＋2，或
y
＝
a< br>(
x
＋1)
2
－2，由于函数图象过点
(1，0)，∴0＝< br>a
(1＋1)
2
＋2，或0＝
a
(1＋1)
2
－2．∴
a
＝－，或
a
＝
1
2
111
． 所以，所求的二次函数为
y
＝
－
(
x
＋1)
2＋2，或
y
＝(
x
＋1)
2
－2．
222< br>说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶
点式 来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
（3）解：设该二次函 数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，( 2，8)，
可得
?
x, 0?x?2,
?
4?x, 2? x?4,
5．（1）函数
f
（
x
）的解析式为
y?
?

?
x?4, 4?x?6,
?
?
?
8?x, 6?x?8.
（2）函数
y
的图像如图所示
（3）由函数图像可知，函数< br>y
的取值范围是0＜
y
≤
专题六二次函数的最值问题参考答案
例1分析：由于函数
y?2x
2
?3x?5
和
y??x
2
?3x?4
的
是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最
?
?22?a?b?c
?
解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2 x
2
＋12x－8．
?
?8?c
?
8?4a?2b?c
?
【巩固练习】
1．（1）D（2）C（3）D2．（1）y＝x
2
＋x－2（2）y＝－x
2＋2x＋3
数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数
y?2x
2
?3x?5
中的二次项系数
3
4
y?2x
2
?3 x?5
有最低点，即函数有最小值．因为
y?2x
所以当
x?
时，函 数
y?2x
2
?3x?5
有最小值是
?
49
．8
3．（1）
y?2x
2
?2x?1
．（2）
y?4( x?1)
2
?3?4x
2
?8x?1
．
（3）
y ?
1
(x?3)(x?5)?
1
x
2
?
2
x?3
．（4）
555
（2）因为二次函数
y??x
2
?3 x?4
中的二次项系数-1
y??x
2
?3x?4
有最高点，即函数 有最大值．因为
y??x
2
?3x?4
=
?(x?)?
2< br>115
2
y?
?
x?3
?
?2?x
2
?3x?

222
y
2
O
2
4 6 8
x
3
2
25
，所以当
x??
3
时，函数
4
2
25
．
4
4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．
例2解：作出函数的图象．当< br>x?1
时，
y
min
??1
，当
x?2
时，
y
m
标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
说明：二次 函数在自变量
x
的给定范围内，对应的图象是抛物线

根据二 次函数对称轴的位置，函数在所给自变量
x
的范围的图象形状各异．下面给出一些常见
情况：
解法(二)原不等式可化为：
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
3
．
2
1?3x?53x?5
(2)解：原不等式可化为：
?3?0??0??0
x?2x?2x?2
说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
【巩固练习】
例3解：作 出函数
y??x(2?x)?x?2x
在
x?0
内的图象．
2

可以看出：当
x?1
时，
y
min
??1
，无 最大值．所以，当
x?0
时，函数的取值范围是
y??1
．
例5解 ：(1)由已知得每件商品的销售利润为
(x?30)
元，那么
m
件的销售利 润为
y?m(x?30)
，
又
m?162?3x
．
? y?(x?30)(162?3x)??3x?252x?4860,30?x?54

(2) 由(1)知对称轴为
x?42
，位于
x
的范围内，另抛物线开口向下
2
1
?3?
x?2
?
当
x?42
时，
y
max
??3?42?252?42?4860?432

?
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
【巩固练习】
2
l
2
2
31
1．414或2，2 ．
m
3．
a?2,b??2
．4．
a??
或
a?? 1
．
16
24
5．当
t?0
时，
y
ma x
?2?2t
，此时
x?1
；当
t?0
时，
ymax
?2?2t
，此时
x??1
．
专题七不等式答案 例2解：(1)不等式可化为
(x?2)(x?4)?0
∴不等式的解是
?2?x ?4

1
?x?0 (2)?3?x?6 (3)x??1 (4)x??3
；
2
1
2．
(1)x??1或x?1 (2)x?或x?3 (3)x??2或x?0 (4)x??
2
1．
(1)?
3．(1)无解(2)全体实数
4． (1)当
m?2
时，
x?
5．
m??
1?m1?m
；(2)当
m?2
时，
x?
；(3)当
m?2m?2
1；6．
k?5
7．
a??5或a?1
．
2
17
?0
．
24
?
k?0
?
k?0
?
k?0
?
?
2
?
?
?k?1 例3解：显然
k?0
不合题意，于是：
?
22
k??1或k? 1
(?2)?4k?0k?1?0
?
??
2
(2)不等式可化为(x?2)?0
∴不等式的解是
x?2
；(3)不等式可化为
(x?) ?
2
例4分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次 不等式组
处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接 转化为
整式不等式求解．(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．
33
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x?
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2x?3?0
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2x?3?0
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x?3
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或
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或??1?x?
解：(1)解法 (一)原不等式可化为：
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22
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2
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x?1? 0
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x?1?0
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x??1
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x?? 1