初高中数学衔接班课件

精品教学课件设计 | Excellent teaching plan
第1课时 数与式(一)
?
?
a，a＞0，
一、绝对值 |a|＝
?
0，a＝0，

?
?
－a，a＜0．
绝 对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

0
a


O
|a
A
x

图1－1(1)

a
0

A
|a
O x

图1－1(2)

绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．

两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

a
b

x
B
A

|a－b|

图1－2(1)

b
a

x
A
B

|a－b|

图1－2(2)

例1 解方程：（1）|x－1|＝2． （2）|x－1|＋|x－3|＝4．






练 习
1．填空：
(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．
(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝_ _______．
3．化简：|x－5|－|2x
－
13|(x＞5)．

4．解方程：
(1)|x－2|＝1； (2)|x＋2|＋|x－1|＝4； (3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．




二、乘法公式
(1)立方和公式： (a＋b)(a
2
－ab＋b
2
)＝ a
3
＋b
3
；
(2)立方差公式： (a－b)(a
2
＋ab＋b
2
)＝a
3
－b
3
；
(3)三数和平方公式 (a＋b＋c)
2
＝a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ab＋2bc＋2ca；
(4)两数和立方公式 (a＋b)
3
＝a
3
＋3a
2
b＋3ab
2
＋b3
；
(5)两数差立方公式 (a－b)
3
＝a
3
－3a
2
b＋3ab
2
－b
3
．
例1 化简：(x－1)(x+1)(x
2
－x＋1)(x
2
＋x＋1)．

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111
例2 若x＋＝3，求x
2
＋
2
和x－的值．
xxx




例3 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ ca＝4，求a
2
＋b
2
＋c
2
的值．



练 习
1111
1． (1)a
2
－b
2
＝(b＋a)( )； (2)(4m＋ )
2
＝16m
2
＋4m＋( )；
9423
(3)(a＋2b－c)
2
＝a
2
＋4b
2
＋c
2
＋( )．
1
2．(1)若x
2
＋mx＋k是一个完全平方式，则k等于 ( )
2
111
(A)m
2
(B)m
2
(C)m
2
(D)m
2

4316
(2)不论a， b为何实数，a
2
＋b
2
－2a－4b＋8的值( )
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
三、二次根式
1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分 母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；
而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化 去分子中的根号的过程
a，a＞0，
?
?
?
a，a≥0，
2．二次根式a
2
的意义 a
2
＝|a|＝
?
0，a＝0，
也可以写成a
2
＝|a|＝
?

－a，a＜0．
?
?
?
－a，a＜0．
例1 将下列式子 化为最简二次根式：(1)12b；(2)a
2
b(a≥0)；(3)4x
6
y(x＜0)．



例2 计算：3÷(3－3)．




2
例3 试比较下列各组数的大小：(1)12－11和11－10；(2)和22－6．
6＋4



1
例 4 化简：(1)9－45；(2)x
2
＋
2
－2(0＜x＜1)．
x





练习
1－3
1．(1)＝________________；
1＋3
(2)若 (5－x)(x－3)
2
＝(x－3)5－x，则x的取值范围是_______；

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(3)424－654＋396－2150＝______________；
x＋1－x－1x＋1＋x－1
5
(4)若x＝，则＋＝_________．
2
x＋1＋x－1x＋1－x－1
x
x
＝成立的条件是 ( )
x?2
x?2
(A)x≠2 (B)x＞0 (C)x＞2 (D)0＜x＜2
a
2
－1＋1－a
2
3．若b＝，求a＋b的值．
a＋1
4．比较大小：2－3 5－4(填“＞”，或“＜”)．
5．(1)(2＋3)
18
(2－3)
19
＝________；
(2)若(1－a)
2
＋(1＋a)
2
＝2，则a满足的条件是__ __；
1111
(3)＋＋＋＝_______．
1＋22＋33＋44＋5
2．等式

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第2课时 数与式(二)
一 、分式
5x＋4
AB
例1 若对于一切不为0且不为－2的实数x，＝＋，求常数A，B的值．
x(x＋2)
x
x＋2






111
例2 (1)试证：＝－(其中n是正整数)；
n(n＋1)
n
n＋1
111
(2)计算：＋＋…＋；
1×22×39×10
(3)证明：对任意大于1的正整数n，有
1111
＋＋…＋＜；
2×33×4
n(n＋1)
2





c
例3 设e＝，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a






练 习
111
1．对任意的正整数n，＝ (－)．
n
n＋2n(n＋2)
3a
2
－ab
11
2．若a＝，b＝，则
2
＝__ _____．
23
3a＋5ab－2b
2
x
2
＋3xy＋ y
2
22
3．若x＋xy－2y＝0，xy≠0，则＝______．
x< br>2
＋y
2
x－y
4．正数x，y满足x
2
－y
2
＝2xy，求的值．
x＋y
5．计算：
111111
(1)＋＋…＋；(2)＋＋…＋．
1×22×399×1001×32×49×11
6．试证：对任意的正整数n，有
1111
＋＋…＋＜．
1×2×32×3×4
n(n＋1)(n＋2)
4



二、分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另 外还应
了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法

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例1 分解因式：
(1)x
2
－3x＋2； (2)x
2
＋4x－12； (3)x
2
－(a＋b)xy＋aby
2
； (4)xy－1＋x－y．







2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：(1)x
3
＋3x
2
＋3x＋9； (2)2x
2
＋xy－y
2
－4x＋5y－6．








3．关于x的二次三项式ax
2
＋bx＋c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x
1
，x
2
，则二次三项式ax
2
＋bx＋c(a≠0)
就可分解为a(x－x
1
)(x－x
2
)．
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式： (1)x
2
＋2x－1；(2)x
2
＋4xy－4y
2
．




练 习
1．多项式2x
2
－xy－15y
2
的一个因式为 ( )
(A)2x－5y (B)x－3y (C)x＋3y (D)x－5y
2．分解因式：
(1)x
2
＋6x＋8； (2)8a
3
－b
3
；
(3)x
2
－2x－1； (4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)．
3．分解因式：
(1)a
3
＋1； (2)4x
4
－13x
2
＋9； (3)b
2
＋c
2
＋2ab＋2ac＋2bc； (4)3x
2
＋5xy－2y
2
＋x＋9y－4．




4．在实数范围内因式分解：
(1)x
2
－5x＋3； (2)x
2
－22x－3； (3)3x
2
＋4xy－y
2
； (4)(x
2
－2x)
2
－7(x
2
－2x)＋12．


5．△ABC三边
a
，
b
，
c
满足a
2
＋b
2
＋c
2
＝ab＋ac＋bc，试判定△A BC的形状．

6．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a) ．

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第3课时 一元二次方程
一、一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，有
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根
－b±b
2
－4ac
x
1
，
2
＝；
2a
(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根
b
x
1
＝x
2
＝－；
2a
(3)当△＜0时，方程无实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实
数根．
(1)x
2
－3x＋3＝0； (2)x
2
－ax－1＝0；
(3)x
2
－ax＋(a－1)＝0； (4)x
2
－2x＋a＝0．
2




二、根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根
bc
x
1
＋x
2
＝－；x
1
x
2
＝． aa
特别地，对于一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
， x
2
是其两根，由韦达定理可知x
1
＋x
2
＝－p，x1
·x
2
＝q，所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2< br>＝0．
例2 已知方程5x
2
＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．











例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2< br>＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方
和比两个根的积大21，求m的值．

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例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．








例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
11
3
(1)求| x
1
－x
2
|的值；(2)求
2
＋
2
的值；(3)求x
3
1
＋x
2的值．
x
1
x
2










b
2
－4ac
△
说明 设x
1
和x
2
分别是一元二次方程＝．
|a||a|
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．















练习：
1．若 关于x的方程mx
2
＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
___________
11
2．(1)若方程x
2
－3x－1＝ 0的两根分别是x
1
和x
2
，则＋＝ ．
x1
x
2
(2)方程mx
2
＋x－2m＝0(m≠0)的根的个数 情况是 ．
(3)以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知a
2
＋8a＋16＋|b－1|＝0，当k取何值时，方程kx
2< br>＋ax＋b＝0有两个不相等的实数
根？


4．设方程x
2
－3x－1＝0的两根分别为x
1
和x
2
，求(x
1－3)(x
2
－3)的值．
ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0) ，则|x
1
－x
2
|＝＝

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第4课时 二次函数的三种表示方法
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．零点式：y＝a(x－x
1
)(x－x
2
)(a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，
－1)，求二次 函数的解析式．














例2 已知二次函数的图象过点( －3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函
数的表达式．
















例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

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练习
1．函数y＝－x
2
＋x－1的图象与x轴的交点的个数是_________．
2．(1)已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该函数的解析式可设为
y＝a (a≠0)．
(2)二次函数y＝－x
2
＋23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
(2)当x＝3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；
(3)函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．








习题： 1．(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二 次函
数的表达式为 ．
(2)已知某二次函数的图象 过点(－1，0)，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式
为 ．
2．已知某二次函数图象的顶点为A(2，－18)，它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二
次函数的解析式．





3．某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5km以内，票价2元；
( 2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(所增加的里程，不足5km的按5km的按5km
计算 )．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，< br>请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．


< br>11
4．已知二次函数y＝a(x－)
2
＋25的最大值为25，且方程a(x －)
2
＋25＝0两根的立方和为
22
19，求函数表达式．

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第5课时 二次函数的图象与性质
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，
并指出当x取何值 时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．











练习：
1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( )
(A)y＝2x
2
(B)y＝2x
2
－4x＋2
(C)y＝2x
2
－1 (D)y＝2x
2
－4x
2．(1)二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n
＝ ．
(2)已知二次函数y＝x
2
＋(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在
y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图
象经过原点．
(3)函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶
点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ．
3．用配方法把下列函数式化成
y?a(x?h)?k
的形式，并指出开口方向， 对称轴和顶点
坐标：（1）
y?x?4x?3
（2）
y??2x?4x




4．画出下列函数的大概图象，并说出
x
为何值 时
y
随
x
增大而增大，
x
为何值时，
y
随
x
增
大而减小．
（1）
y?x?2x?3
； （2）
y??




（3）y＝x
2
－2x－3； （4）y＝1＋6 x－x
2
．




2
22
2
1
2
x?3x?1

2

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例2求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的 函数解析
式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．









例3求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析
式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．





练习： 1．把函数y＝－(x
－
1)
2
＋4的图象向左平移2个单位，向下平移 3个单位，所得图象对应的
解析式为_____________________．
2．把 函数y＝－2(x＋3)
2
＋3的图象关于直线x＝－1对称后，所得图象对应的函数解析式为
_____________________．
3．把函数y＝2(x－3)
2< br>＋3的图象关于直线y＝2对称后，所得图象对应的函数解析式为
_____________________．
4．把二次函数y＝－2x
2
+43x＋1的函数图象向 平移 单位后，得到的图象所对应的
解析式为y＝－2x
2
＋7；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为y＝
－2x
2
＋1；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y＝2x
2
＋5．


例 4某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)
之间关系 如下表所示：
x 元 130 150 165
y件 70 50 35
若日销 售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的
销售价应定为多少元？此 时每天的销售利润是多少？

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第6课时 一元二次不等式
观察图1，可以看出，一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
就是二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象(抛物线)位于x轴上方的点所对应的
所有的x值．因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，
确定抛物线与x轴的交点坐标，再根据图象写出不等式的解．

例1 解下列不等式：
(1)x
2
－7x＋12＞0； (2)－x
2
－2x＋3≥0；
(3)x
2
－2x＋1＜0； (4)x
2
－2x＋2＜0．











例2 解下列不等式：
(1)2x
2
－5x＋3＜0； (2)3x
2
－x－4＞0；
(3)2x
2
＋4x＋3＞0； (4)9x
2
－6x＋1≤0．








例3 解关于x的不等式x
2
－(a＋3)x＋3a＜0．
y

x
1
O

图1
x
2
x





练习：
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；
（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．











22
2．解关于x的不等式x＋2x＋1－a
≤0（a为常数）．

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例4 已知不 等式ax
2
＋bx＋c＞0的解集为区间(－1，3)，你能分别写出下列不等式的解集吗？< br>如果能，你能说出你这样写的理由吗？
(1)ax
2
＋bx＋c＜0的解集为 _______________________；
(2)ax
2
－bx＋c＞0 的解集为_______________________；
(3)cx
2
＋bx ＋a＞0的解集为_______________________．






练习： 已知不等式ax
2
＋bx＋c＜0（a≠0 ）的解是
x?2,或x?3
求不等式bx
2
＋ax＋c＞0
的解．




例5 不等式3x
2
＋bx＋2≥0的解为全体实数，求b的取值范围．







例6 解不等式(x＋2)(x＋1)
2
(x－1)
2
(x－2)≤0．

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第7课时 函数综合应用
6
例1 已知反比例函数y ＝与一次函数y＝kx＋3的图象相交于点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
x
（1）求k的取值范围；（2）试用k表示| x
1
－x
2
|；（3）若x
1
2
＋x
2< br>2
＝5，求k的值和A，B两
点的坐标．








k
练习：已知反比例函数y＝与一次函数y＝－x ＋6的图象相交于点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y2
），
x
且2x
1
－x
2
＝6．（1）求k的 值；（2）求△AOB的面积．






小结：（1）函数与方程；（2）待定系数法．

例2 在同一坐标系中，利用描点法画出下列函数图象．
22x
（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝．
x
x－2x－2








1
练习：利用图象平移画出函数y＝2＋的草图．
x＋1





ax＋b
小结：（1）平移变换规律；（2）函数y＝的草图．
cx＋d

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D
C
例3 如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动
点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点
A移动的路程为x，ΔPAC的 面积为y．（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．
P
A

B










练习：某市空调公共汽车的票价按下列规则制定 ：（1）5km以内，票价2元；（2）5km以
上，每增加5km，票价增加1元（所增加的里程，不 足5km的按5km的按5km计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途（包括 起点站和终点站）有21个汽
车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．








小结：分段函数的概念．

练习：
1．已知函数
y?
?
x?2,
?
x?2,
则当x＝4时，y＝ ；当x＝－4时，y＝ ．
?
?2x?4,x?2
2．作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象．
3 ．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，
讲课开始时，学 生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生
的注意力开始分散，下面函数 表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（y越大，表明
－t
2
＋24t＋100 ，0＜t＜10
?
?
学生注意力越集中），y＝
?
240，10＜t ≤20，

?
?
－7t＋380，(20＜t≤40)．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数 学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经
过适当安排，老师能否在学 生达到所需的状态下讲授完这道题目？

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第8课时 分式方程与无理方程

问题 甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个和乙做60个用到
的 时间相等，求甲乙每小时各做多少个？




4x21
例1 解方程
2
＋＝1＋．
x－42－xx＋2





例2 解下列分式方程：
x
2
－3x
16
（1）
2
＋2＝； （2）x
2
－3x＋5＋
2
＝0．
x－11－xx－3x






练习：解下列分式方程：
632(x
2
+1)
6(x＋1)
（1）
2
－＝1； （2）＋
2
＝7．
x－1x－1x＋1x＋1





小结：解分式方程的步骤：





例3解下列无理方程：
（1）25－x
2
＝x＋1； （2）x
2
＋4x＋3＝x＋1； （3）2x－1＋



1
．
2x－1

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练习：解下列无理方程：
11
（1）－＝1； （2）4－x＝x＋1．
2＋x－2－x2＋x＋2－x





（3）2x－x
2
＝2x．






小结：解无理方程的步骤：





习题：
1．解方程



14x2
?
2
??1
．
x?2
x?4
x ?2
x
2
2
3x
2
)??4?0
． 2．解方程
(
x?1x?1




*3．解方程
3x
2
?15x?2x
2
?5x?1?2

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第9课时 三元一次和二元二次方程组的解法

例1 解下列三元一次方程组：
??
?
3x＋2y＋z＝13，
?
3x＋ 4z＝7，
（1）
?
x＋y＋2z＝7，
（2）
?
2x＋3y＋z＝9，

?
?
2x＋3y－z＝12．








练习：解方程组：
?
?
x＋y＝6，（1）
?
?
y＋z＝8，

?
z＋x＝4．










例2解方程组
?
?
x
2
＋ 4y
2
－4＝0，
?
x－2y－2＝0．
















?
?
5x－9y＋7z＝8．
?
?
x＋y＋z＝26，
2）
?
?
x－y＝1，

?
2x－y＋z＝18．
（

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?
x＋y＝7，
例3解方程组
?

?
xy＝12．









练习：解下列方程组:
（1） ?
?
y?x?5,
22
?
x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?
（2）
?
?
x?y?3,

?
xy??10;










习题：
1．在等式y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
中，当
x
＝－
1
时
y
＝
0；当
x＝2
时，
y＝3
；当
x＝5
时，
y＝6 0
．求
a
、
b
、
c
的值．





?
4x
2
－9y
2
＝15 ，
2．解方程组：
?

?
2x－3y＝5．

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第10课时 平行线分线段成比例定理
引例： 已知线段AB，求作：线段AB的四等分点．



平行 线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截
得的线段也相等．
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
ADAEDE
例1在△ABC中，D，E为边AB，AC上的点，DE∥BC，求证：＝＝．
ABACBC




结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
练习：
1．如图，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
A．
ADCEADBCCEADAFBE
====
B． C． D.
DFBCBEAFDFBCDFCE
2．如图，
DEBC,EFAB,AD=5 cm,DB=3cm,FC=2cm,
求
BF
.


3． 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DEBC交AC于E.已
知AD：DB=2：3，则S
△ADE
：S
四边形
BCDE
等于__________．
4．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两
条线段的比是
3 :2
，则梯形的上、下底长分别是__________.


5．如图， 已知△ABC周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，
再连结第二个对角线三边中点构成 第三个三角形，依此类推，第2003个三
角形周长为________________．


例2如图，△ABO中，点C是B关于点A的对称点，点D是靠近点B的线段BO的一个三
B
等分点，DC，AO交于点E．求OE：OA．

D
A

E

O
C



ABBD
例3在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：＝．
ACDC

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角平分线性质定理：角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习：
1．如图，在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，
使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：
DFAC
=
.
EFAB



2．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，
则PQ：BC＝_______．

3．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与
CE相交于F，则
EFAF
＋的值为_______．
FCFD

4．如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，
且EFAD．（1） 求证：OE=OF；（2）求
OEOE
+
的值；（3）求证：
ADBC
112
+=
.
ADBCEF


ADAE
例4在△ABC中，D，E为边AB，AC上的点，＝，求证：DE∥BC．
ABAC




结论：如果一条直线截三角形的两边（或 两边的延长线）所得的线段成比例，那么这条直线
平行于三角形的第三边．

例5如 图，梯形ABCD中，AB∥CD，M为AB的中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且
AC与MD 交于E，DB与MC交于F，（1）求证：EF∥CD；（2）若AB＝2a，CD＝b，求
EF.

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第11课时 三角形
例1如图，在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，AD⊥BC于D.
求证：（1）AB
2
＝BD·BC，AC
2
＝CD·CB；
（2）AD
2
＝BD·CD．



注：该题结论称为射影定理．

例2 在正方形ABCD中，已知E，F分别为BC，CD边的中点，求证：AE⊥BF．







练习：如图，在正方形ABCD中，F为DC的 中点，E为BC上一点，
1
且EC＝＝BC，求证：∠AFE＝90°.
4





三角形的“四心”：重心，内心，垂心，外心
例3求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.






例4 若三角形的内心与重心为同一点，求证：该三角形为等边三角形．









概念：等边三角形四心合一，该点称为等边三角形的“中心”．

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例5已知等边三角形ABC的边长为a，求其外接圆半径R和内切圆半径r．






例6已知等边三角形ABC和其内部一点P，设点P到三边 AB，AC，BC的距离分别为
h
1
,h
2
,h
3
，
三角形ABC的高为
h
，求证：
h
1
+h
2+h
3
=h
．











思考：当点P在△ABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论?
提醒：面积法．
例7在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，求
（1）△ABC的面积S
△ABC
及AC边上的高BE；
（2）△ABC的内切圆的半径r；
（3）△ABC的外接圆的半径R.







练习：
1．若△ABC的 面积为S，且三边长分别为
a、b、c
，则三角形的内切圆的半径是-
_______ ____；
2．若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-
___________，外接圆半径是_________ __；
3．在△ABC中，G是重心，△ABC的面积为1，则△GBC的面积是___________；

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第12课时 圆
一、直线与圆相交时研究弦的相关问题
1．圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等．
推论2：直径所对的圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦为直径．
2．圆内接四边形的对角互补．
例1 圆内接四边形ABCD的三个内角∠A：∠B：∠C＝3：2：7，求∠A，∠B的度数．




3．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧．
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧． < br>在Rt△OMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA
AB
为弦长A B的一半，根据勾股定理，有r
2
－d
2
＝()
2
．
2
例2 如图，已知⊙O的半径OB＝5，弦AB＝6，D是弧AB的中点，求弦BD的长度．







例2 已知圆的两条平行弦的长度为6和26，且这两条线的距离为3，求这个圆的半径．




练习
1．圆内接四边形ABCD的四个内角∠A：∠B：∠C：∠D的可能取值是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：3：4：5 C．5：4：3：1 D．5：4：2：3
2．已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为_________ __________．
3．在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为___________________． 4．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于_________ ．
5．如图，⊙O的半径为17，弦AB＝30，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D，C，求弦< br>AC和BD的长．




6．如图，已知在RT△ACB ，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12以C为圆心，CA为半径的圆交斜
边于D，求AD．




7．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB＝8， CD＝6，⊙O的半径等于5，
求梯形ABCD的面积．

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二、直线与圆相切
1．当圆心到直 线的距离d＞r时，直线和圆相离；
当圆心到直线的距离d＝r时，直线和圆相切，当
圆心到直 线的距离d＜r时，直线和圆相交．

2．切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时过切点且与圆的切线垂直
的直线过圆心．

3相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．
4切割线定理 ：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长是这一点到割线与圆的两个
交点的线段的等比中项．
例3 如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1，EB＝5，∠DEB＝60°，求CD的
长．





练习
1．⊙O的直径AB与弦AC的 夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半
径为3，则CD的长为________ _．
2．如图，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB＝10，OE＝12，∠OEB＝3 0°，
求AB．



三、圆与圆
例4 设⊙O
1
与⊙O
2
的半径分别为3和2，O
1
O
2
＝4 ，A，B为两圆的交点，试求两圆公共弦
AB的长度．








例5 设⊙O
1
与⊙O
2
的半径分别为2和7，O
1
O
2
＝13，求⊙O
1
与⊙O
2
的外公切线长．







练习
1．设⊙O
1
与⊙O
2
的半径分别为3和 8，O
1
O
2
＝13，求⊙O
1
与⊙O
2
的公切线长．

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第13课时 分类讨论
一、几何量的位置关系或数量关系不确定引起的分类讨论
例1平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离
是 ．





二、数学概念和公式引起的分类讨论 有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才
成立，这就要 在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。
例2 化简：x＋2x－1＋x－2x－1．




练习：解方程|x+2|+|3–x|=5




三、参变量的不同取值引起的分类讨论
例3判定下列关于x的方程的根 的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的
实数根．（1） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （2）x
2
－2x＋a＝0．




练习：
1．关于x的方程(m－4)x
2
－(2m－1)x＋m＝0，当m为何值时，方程有实根？



例4 解不等式(a＋1)x＞a
2
－1．









练习：
2．解关于x的一元二次不等式x
2
＋ax＋1＞0（a为实数).







例5 如图（1）边长为2的正方形 ABCD中，顶点A的坐标为（0，2），一次函数y＝x＋t

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的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方 由l与正方形的边围成的图形面积为S（阴
影部分）．（1）当t取何值时，S＝3？（2）在平面直角 坐标系下，画出S与t的图象．
















例 6已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数 取最
大值和最小值时所对应的自变量x的值．

y
y
y
y

4

a
2
4




4

2
a


a
2




x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a








③
②
①
















练习
3．已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的 最小值为n，试将n用a表示出来．

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第14－15课时 换元法和数形结合
一、换元法
重点：整体思想
例1分解因式：（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15．








例2分解因式(m－n)
6
－(m＋n)
6
．










8(x
2
＋2x)3(x
2
－1)
例3解方程
2
＋
2< br>＝11．
x－1x＋2x







x＋2x－1
5
例4 解方程＋＝．
x－1x＋2
2








12
例5解方程：x
2
＋
2
＋2x＝＋2．
xx






?
x＋1 ＋y－1＝5，
例6 解方程组
?

?
x＋y＝13．

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练习：
1．用换元法解下列方程：
（1）
x
2
?
4
（2）
x?12?x?0
．
?4
；
2
x








2．用换元法解下列方程：

x
2
?5x24(x?1)
??14?0
(1)
x?1x(x?5)

2(x
2
?1)6(x?1)
?
2
?7
(2)
x?1
x?1

x
4
?2x
2
?1x< br>2
?1
??2
(3)
x
x
2







二、数形结合
重点：学会画图和看图
例1 药品研究所开发一种抗菌新药.经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验.测得
成人服药后血液中药物浓度y（微克毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图2所
示.则当1 ≤x≤6时，y的取值范围是
86464
A.
≤y≤
B.
≤y≤8
31111
8
C.
≤y≤8 D. 8≤y≤16
3
例2（1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值．
①y＝（x－1）
2
＋1，②y＝（x＋1）
2
＋1，③y＝（x－4）
2
＋ 1．

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（2）求函数y＝x
2
－2ax＋a
2
＋2，x∈[0，3]时的最小值．











（3）求函数y＝x
2
－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值．













例3画图求函数f(x)=x
2
＋|x－1|＋1的最小值．








3x＋1
例4 （1）函数y＝，x∈[3，4]的y的取值范围为_____________；
x－2
3 x＋1
（2）函数y＝，x∈(0，＋?)的的y的取值范围为_____________．
x－2

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三、综合题选讲
1．已知点A（－1， －1）在抛物线y＝(k
2
－1)x
2
－2(k－2)x＋1上．（1）求抛 物线的对称轴；
（2）若B点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在于抛物线只交于一点B的直线？如果 存
在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．








2．已知二次函数
y
1
＝
x
－2
x
－3．(1)结合函数
y
1
的图象，确定当x
取什么值时，
y
1
＞0，
y
1
＝0， y
1
＜0；（2）根据（1）的结论，确定函数
y
2
＝
2
1
（︱
y
1
︱－
y
1
）关于
x
的解析式；
2
（3）若一次函数
y
＝
kx
＋
b
（
k
≠0）的图象与函数< br>y
2
的图象交于三个不同的点，试确定实数
k
与
b
应 满足的条件．











3．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若AB＝c，∠A ＝θ，用c和θ表示BC、AC；（2）
若AB＝5，sinA＝
4
，P是AB边上一 动点（不与点A、B重合），过点PA分别作PM⊥AC
5
于点M，PN⊥BC于点N．设△A MP的面积为S
1
、△PNB的面积为S
2
、四边形CMPN的
面积 为S
3
、AP＝x．分别求出S
1
、S
2
、S
3< br>关于x的函数解析
式；（3）试比较S
1
＋S
2
与S
3
的大小，并说明理由．