初高中数学相关知识衔接(人教版)

初高中知识衔接——数与式的运算
1．绝对值
（1）绝对值的代数意义： ．即 ．
（2）绝对值的几何意义： 的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示 的距离．
（4）两个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)?
例1：解不等式：
（1）
x?2?1
（2）
2?x?1



（3）
x
2
?x?x?3
（4）
3x?2?3x?2



（5）
x?1?x
（6）
x?1?x?3
＞4



2．根式
（1） 二次根式：形如式子
a(a?0)
的代数式，
性质：
(a)
2
?
；
a
2
?
；
ab?
；
；
|x|?a(a?0)?
．
b
a
?
．
（2） 无理式：根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子，如
3a?a
2< br>?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2 x
2
?
2
x?1
，
x
2
?2xy?y2
，
a
2
等是有理式．
2
（3）分母（子）有理化： 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母（子）有理化
方法：分母有理化的方法是分 母和分子都乘以分母的有理化因式；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有
理化因式．
例1：化简：（1）


（3）
x
2
?




1
1?3
（2）
19?83?17?415
1?3
1
20042005
(3 ?2)?(3?2)
（4）

?2(0?x?1)
2
x

例2：
试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
（2）










3．分式
2
和
22－6

6?4
AA
的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称为分式．
BB
AA?MAA?M
当
M
≠0时，分式的基本性质：（1）
?
；（2）
?
．
BB?MBB?M
m?n?p
AA
（2）繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，
2m
BB
n?p< br>（1）分式的意义：形如
繁分式的化简常用以下两种方法：① 利用除法法则；② 利用分式的基本性质．
1
例1：化简：
2x
1
?
（1） （2） （3）
3x
2
?2< br>x
2
?1
x?1
2x
x

1?x
x?
1
x?
x


例2：（1）< br>若
5x?4AB
??
，求常数
A,B
的值；
x(x?2)xx?2


（2）
试证：
111
??
（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1


（3）计算：







2
11
??
1?22?3
?
1

9?10

初高中知识衔接——因式分解
一、定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
二、方法：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、求根法．
三、
例题

?mb?mc?
1.提取公因式法：
ma

策略：因式分解时，若有公因式，应先提取公因式。
例1．（1）
2a?6a?10a
（2）
x
3
y?x
2
y
2
?xy
3
（3）
6x(x?y)?3y(y?x)


32


2.公式法：
乘法公式:
①平方差公式：
a?b?
；
②完全平方和公式：
?
a?b
?
=
；
③完全平方差公式：
?
a?b
?
?
；
22
22
④三数和平方公式：
(a?b?c)
2
?33
；
33
⑤立方和公式：
a?b?
；⑥立方差公式：
a?b?
；
⑦两数和立方公式：
?
a?b
?
=
；
⑧两数差立方公式：
?
a?b
?
=
；
33
3476
例2．(1)
a?b?2ab?4a?4b?4
(2)
3ab?81b
（3）
a?ab

22


3.分组分解法
四项以上的多项式，如
ma?mb?na?nb
=
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
例3． （1） （2）
a
2
?b
2
?ax?bx

x
3
?9x
2
y?27xy
2
?27y
3


（3）
q
3
?2q
2
?1
(4)
a?a?1

42

4.十字相乘法
2
2
二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解 :
a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a
1
x?c1
)(a
2
x?c
2
)

a
1步骤：①
a?a
1
a
2
，
c?c
1
c
2
；②
a
2
c
1
?
c
，
b?a
1
c
2
?a
2
c
1

2< br>注意：分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用 十字
相乘法分解．
例4．(1)
x?5x?6
(2)
x?5x?6
（3）
x?5x?6
（4）
x?5x?6


3
2222

22
（5）
6x?7x?2
（6）
4m?12m?9
（7）
5?7x?6x
（8）
x?xy?6y

22
222
（9）
5x?6xy?8y
（10）
12

x
2
?x?8x
2
?x?

（11）
x< br>2
?
?
a?1
?
x?a
（12）
ax
2
?2(a?1)x?4

???
2
?


5．求根法
2
若关于x 的方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax?bx?c(a?0)
就可分解
2
为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
步骤：①令
ax?bx?c?0(a?0)
；②求出方程的两根
x
1
、
x
2
；③将原式改写成
a(x?x
1
)(x?x
2
)
的形式.
2
例5．（1）
x?2x?1
； （2）
x?4xy?4y

22
2




初高中知识衔接——一元二次方程
(一) 一元二次方程的解法
1．一元二次方程的一般形式：
ax
2
?bx?c?0 (a?0)

2．解一元二次方程的方法
（1）因式分解法：
ax?bx?c?0 (a?0)
?a(x?x
1
)(x?x
2
)?0

2
?b?b
2
?4ac
（2）求根公式法：
ax?bx?c?0 (a?0)
?x?

2a
2
（3）配方法：
ax?bx?c?0 (a?0)
?(px?q)
2
?m(m?0)?px?q??m

2
?

4
例1：

4

x

x

?

15

?

0

x?2x?2

x
2
?x?1?0

x?6x?9?0

2
22


例2：已知二次函数
y?3x
2
?2x?1
，求它的图象与
x
轴的交点坐标.




例3：解方程：
(2
x
)
2
?5?2
x
?4?0


4

(二) 一元二次方程根的判别式
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为： ．
2
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的根的判别式为：
??b
2
?4ac

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ，
x?
；
[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ，
x
1
?x
2
?
；
[3]当Δ 0时，方程没有实数根．
例1：判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；


（3）
(2m
2
?1)x
2
?(4m?1)x? 2?0




例2：已知关于
x
的一元二次方程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．



2
(三) 一元二次方程根与系数的关系
2
韦达定理：如果一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
，那么：
x1
?x
2
?
；
x
1
?x
2
?
．
特别地，若二次 项系数为1，一元二次方程
x
2
?px?q?0
的两根为
x
1
,x
2
，由韦达定理可知
x
1
?x
2
?
；
x
1
?x
2
?
，x
2
?px?q?0
可化为
x
2
?(x
1?x
2
)x?x
1
x
2
?0
．
例1． 若
x
1
,x
2
是方程
2x?5x?3?0
的两个根，试求下列各式的值：
(1)
x
1
2
?x
2
2
；(2)
|x
1
?x
2
|
；(3)



例2：求一个一元二次方程，使它的两根分别为
3?5
，
3?5
．


例3：已知关于
x
的方程
5x?9x?a?0
的一个根是
?


例4：已知关于
x
的一元二次方程
2x
2
?(m?2)x?m?5?0
，根据下列条件，分别求出
m
的范围：
（1） 有两个负数根；（2）有一个正根一个负根；（3）两个负根；（4）一个根大于2，一个根小于2．
2
2
1
2
x
1
?
1
x
2
33
；(4)
x
1
；（5）
(x
1
?5)(x2
?5)
．
?x
2
2
1
，求另一个根及
a
的值．
5


5

初高中知识衔接——一元二次函数
1．一元二次函数
y?ax
2
?bx?c
的三种表示方式
（1）一般式：

；
（2）顶点式：

；
（3）交点式：

．
2．一元二次函数
y?ax
2
?bx?c(x?R)
的性质


图
象
判别式
a?0


a?0


??0

??0


??0


对称轴
顶点坐标
最值
单调性











3．一元二次函数
y?ax
2
?bx?c
作图步骤
确定开口方向：由二次项系数a决定；
（1）确定对称轴：对称轴方程为
x??
b
；
2a
2（2）确定图象与x轴的交点情况：①若△>0则与
x
轴有两个交点，可由方程
x ?bx?c?0
求出；①若△=0则
与
x
轴有一个交点，可由方程
x ?bx?c?0
求出；③若△<0则与
x
轴有无交点；
（3）确定图象与y 轴的交点情况,令
x?0
得出
y?c
，所以交点坐标为
(0,c)< br>；
（4）由以上各要素出草图．
4．一元二次函数的最值问题
（1）求
y?ax
2
?bx?c
在
x?R
的最值．
①确定
a
的符号，
a?0
有最小值，
a?0
有最大 值；
②配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
例1：求下列函数的最大值或最小值．
（1）
y?2x?3x?5
（2）
y??x?3x?4




6
22
2

（2） 求
y?ax
2
?bx?c
在区间上的最值．
方法：一看开口，二看对称轴，三看对称轴与自变量的取值范围相对位置关系．
例2：（轴定区间定）按以下条件，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值．
（1）
1?x?2
（2）
?1?x?1
（3）
?2?x??1




例3：当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．



例4：已知
t
为常数，函数
y??x
2
?2x?t
在区间
?
0,3
?
的最大值为2，求
t
的值．




例5：（轴定区间动）求函数
y?x
2
?2x?3
在区间
?
0,a
?
上的最值 ．





例6：（轴动区间定）求函数
y? x
2
?2ax?3
在区间
?
0,1
?
上的最值．





例7：（轴动区间动）求函数
y??x (x?a)
在区间
?
?1,a
?
上的最大值．













7
2