高中数学几何垂直做题技巧-逻辑推理高中数学竞赛试题
初高中数学衔接读本
数学是
一门重要的课程,其地位不容置疑,同学们在初中已经学过很多数学
知识,这是远远不够的,而且现有初
高中数学知识存在以下“脱节”:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 <
br>2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,
而且
对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解
方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不
等式常
用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终
的
重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究
闭
区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方
程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作
要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应
用题型,而在高中二次函数、二次不等
式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的
讲授。
6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、
下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、
不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容
视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查
常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念(如重心、垂心、外心、内心等)和定理(如平行线分线段
比例定
理,射影定理,相交弦定理、角平分线定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。有
鉴于此,特编写
该读本,供教学之用,希望认真学习。
目 录
1.1
数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3二次根式
1.1.4分式
1.2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2
根与系数的关系(韦达定理)
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数
y<
br>=
ax
2
+
bx
+
c
的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2
一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 <
/p>
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,<
br>
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上
表示它的点到原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴
上,数
a
和数
b
之间的距离.
例1
解不等式:
x?1?x?3
>4.
练 习
1.填空:
(1
)若
x?5
,则x=_________;若
x??4
,则x=______
___.
(2)如果
a?b?5
,且
a??1
,则b=_____
___;若
1?c?2
,则c=________.
2.选择题:
下列叙述正确的是 ( )
(A)若
a?b
,则
a?b
(B)若
a?b
,则
a?b
(C)若
a?b
,则
a?b
(D)若
a?b
,则
a??b
3.化简:|x-5|-|2x
-
13|(x>5).
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
;
(2)完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
222
22
(1)立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
;
(2)立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
;
(3)三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
;
(4)两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
;
(5)两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
.
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1
计算:
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
.
例2 已知
a?b?c?4
,
ab?bc?ac?4
,求
a?b?c
的值.
练 习
1.填空:
(1
)
222
22
33223
33223
2222
22332233
1
2
1
2
11
;
a?b?(b?a)
(
)
9423
22
(2)
(4m?
)?16m?4m?(
)
;
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(
)
.
2.选择题:
(1)若
x?
2222
1<
br>mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 ( )
2
1
2
1
2
1
2
2
(A)
m
(B)
m
(C)
m
(D)
m
4316
2
22
(2)不论
a
,
b
为何实数,
a?b?2a?4b?8
的值 (
)
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式
一般地,形如
a(a
?0)
的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为
无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
,
a
2
?b
2等是无理式,而
2x?
是有理式.
1.分母(子)有理化
2
2
x?1
,
x
2
?2xy?y
2
,
a2
等
2
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了
进行分母(子)有理化,需要引入有理化
因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不
含有二次根式,我们就说这两个代数式互
23?32
与
23?32
,
3a
与
a
,
3?6
与
3?6
,为有理化因式,例如
2
与
2
,等等. 一
般地,
ax
与
x<
br>,
ax?by
与
ax?by
,
ax?b
与
a
x?b
互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母
中的根号的过程;而分子有理化
则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程.
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式
a
b?ab(a?0,b?0)
;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进
行
运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
例1
?
a,a?0,
?a,a?0.
?
将下列式子化为最简二次根式:
(1)
12b
;
(2)
a
2
b(a?0)
;
(3)
4x
6
y(x?0)
.
例2
计算:
3?(3?3)
.
例3 试比较下列各组数的大小:
(1)
12?11
和
11?10
; (2)
例4 化简:
(3?
例 5
化简:(1)
9?45
; (2)
x?
例 6 已知
x?
练 习
1.填空:
2
2
和
22-6
6?4
2)
2004
?(3?2)
2005
1
?2(0?x?1)
.
2
x
3?23?2
22
,求
3x?5xy?3y
的值 .
,y?
3?23?2
(1)
1?3
=__
___;
1?3
(2)若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5
?x
,则
x
的取值范围是_ _ ___;
(3)
424?654?396?2150?
__
___;
(4)若
x?
2.选择题:
等式
5
x?1?x
?1x?1?x?1
,则
??
______ __.
2
x?1?x?1x?1?x?1
x
?
x?2
x
x?2
成立的条件是 ( )
(A)
x?2
(B)
x?0
(C)
x?2
(D)
0?x?2
a
2
?1?1?a
2
3.若
b?
,求
a?b
的值.
a?1
4.比较大小:2-3 5-4(填“>”,或“<”).
1.1.4 分式
1.分式的意义
形如
AAA
的式子,
若B中含有字母,且
B?0
,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质:
BBB
AA?MAA?M
??
; .
上述性质被称为分式的基本性质.
BB?MBB?M
2.繁分式
a
像
b
c?d
,
m?n?p
2m
这样,分子或分母
中又含有分式的分式叫做繁分式.
n?p
例1 若
5x?4
x(x?2)<
br>?
A
x
?
B
x?2
,求常数
A,B
的值.
例2 (1)试证:
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1
(其中n是正整数);
(2)计算
:
111
1?2
?
2?3
??
9?10
;
(3)证明:对任意大于1的正整数n, 有
1
2?3
?
1
3?4
??
11
n(n?1)
?
2
.
例3 设
e?
c
a
,且e>1,2c
2
-5ac+
2a
2
=0,求e的值.
练 习
1.填空题:
对任意的正整数n,
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
);
2.选择题:
若
2x?y
x?y
?
2
3
,则
x
y
( )(A)1 (B)
54
4
(C)
5
3.正数
x,y
满足
x
2
?y
2
?2
xy
,求
x?y
x?y
的值.
4.计算
11
1?
2
?
2?3
?
1
3?4
?...?
1
99
?100
.
习题1.1
A 组
1.解不等式:
(1)
x?1?3
; (2)
x?3?x?2?7
;
(3)
x?1?x?1?6
. <
br>2.已知
x?y?1
,求
x
3
?y
3
?3x
y
的值.
3.填空:
(1)
(2?3)
18
(2?3)
19
=________;
D)
6
5
(
(2)若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
,则
a
的取值范围是________;
(3)
11111
?????
________
.
1?22?33?44?55?6
B 组
1.选择题:
(1)若
?a?b?2ab??b??a
,
则
( )
(A)
a?b
(B)
a?b
(C)
a?b?0
(D)
b?a?0
(2)计算
a?
1
等于
( )
a
(A)
?a
(B)
a
(C)
??a
(D)
?a
2.填空:
3a
2
?ab
11
?
____ ____;
(1)
a?
,
b?
,
则
22
3a?5ab?2b<
br>23
x
2
?3xy?y
2
?
__
__;
(2)
若
x?xy?2y?0
,则
x
2
?
y
2
22
yy
11
3.已知:
x?,y?
,
求的值
.
?
23
x?yx?y
4.解方程
2(x
2
?
5.计算:
11
)?3(x?)?1?0
.
2xx
111
???
1?32?43?5
?
1
.
9?11
1.2 分解因式
因式分解的主要方法有:十字
相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及
待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2; (2)x
2
+4x-12;
(3)
x?(a?b)xy?aby
;
(4)
xy?1?x?y
.
2.提取公因式法与分组分解法
22
例2 分解因式:
32
(1)
x?9?3x?3x
;
(2)
2x?xy?y?4x?5y?6
.
22
3.关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解.
2若关于x的方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1、
x
2
,则二次三项式
ax?bx?c(a?0)
就
2
可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式:
2
(1)
x?2x?1
;
(2)
x?4xy?4y
.
22
练 习1.选择题:
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为
( )
(A)
2x?5y
(B)
x?3y
(C)
x?3y
(D)
x?5y
2.分解因式:
(1)x
2
+6x+8;
(2)8a
3
-b
3
;
(3)x
2
-2x-1;
(4)
4(x?y?1)?y(y?2x)
.
习题1.2
1.分解因式:
(1)
a?1
;
(2)
4x?13x?9
;
22
(3)
b?c?2ab?2ac?2bc
;
(4)
3x?5xy?2y?x?9y?4
.
22
22
342
2.在实数范围内因式分解:
2
(1)
x?5x?3
;
(2)
x?22x?3
;
2
(3)
3x?4xy?y
;
(4)
(x?2x)?7(x?2x)?12
.
3.
?ABC
三边
a
,
b
,
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca<
br>,试判定
?ABC
的形状.
4.分解因式:x
2
+x-(a
2
-a).
222
22222
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道,对于一元二次方程ax
2
+b
x+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?
(x?
. ①
因为a≠0,所以,4a
2
>0.于是
2
2a4a
(1)
当b
2
-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
=;
2a
(2)当b
2
-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x
1
=x
2
=-
(3)当b
2
-4ac<0时,方程①的右端
是一个负数,而方程①的左边
(x?
原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程a
x
2
+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b
2
-4ac来判定,我们
把b
2
-4ac叫
做一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),有
(1)
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
b
;
2a
b
2
)
一定大于或等于零,因此,
2a
?b?b
2
?4ac
x
1,2
=;
2a
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=-
b
;
2a
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1
判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x
2
-3x+3=0;
(2)x
2
-ax-1=0;
(3)
x
2
-ax+(a-1)=0; (4)x
2
-2x+a=0.
2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
,
x
2
?
,
2a2a
则有
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
;
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
.
x
1
x
2
?
2a2a4a<
br>2
4aa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x
1<
br>,x
2
,那么x
1
+x
2
=
?
bc
,x
1
·x
2
=.这一关系也被称为
aa
韦达定理
.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
+px+q=0,若x
1
,x
2
是其两根,由韦达定理可知
x
1
+x
2
=-p,x
1
·x
2
=q,
即 p=-(x
1
+x
2
),q=
x
1
·x
2
,
所以,方程x
2
+px+q=0可化为 x
2
-(x
1+x
2
)x+x
1
·x
2
=0,由于x
1,x
2
是一元二次方程x
2
+px+q=0
的两根,所以,x<
br>1
,x
2
也是一元二次方程x
2
-(x
1
+
x
2
)x+x
1
·x
2
=0.因此有
以两个数x
1
,x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
2
-(x
1
+x
2
)x+x
1
·x
2
=0.
例2 已知方程
5x
例3 已知关
于x的方程x
2
+2(m
-
2)x+m
2
+4=0有两个实
数根,并且这两个实数根的平方和比两个
根的积大21,求m的值.
2
?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
说
明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围,然后再由
“两
个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可.
(2)在今后的解题
过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于
零.因为,韦达定理成立
的前提是一元二次方程有实数根.
例4
已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
例5
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
+5x-3=0的
两根.
(1)求| x
1
-x
2
|的值;
(2)求
11
?
的值;
22
x
1
x2
(3)x
1
3
+x
2
3
.
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,<
br>为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
设x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),则
?b?b
2?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
,
x2
?
,
2a2a
?b?b
2
?4ac
?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴|
x
1
-x
2
|=
2a2a2a
b
2
?4ac?
?
.
?
|a||a|
于是有下面的结论:
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),则
| x
1
-x
2
|=
?
(其中Δ=b
2
-
4ac).
|a|
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
例6 若关于x的一元二次方程x
2
-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零
,求实数a的取值范围.
练 习
1.选择题:
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是
( )
(A)有一个实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 <
br>(2)若关于x的方程mx
2
+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数
m的取值范围是
( )
(A)m<
22
11
(B)m>-
44
11
,且m≠0 (D)m>-,且m≠0
44
11
?
= .
x
1
x
2
(C)m<
2.填空:
(1)若方
程x
2
-3x-1=0的两根分别是x
1
和x
2
,则
(2)方程mx
2
+x-2m=0(m≠0)的根的情况是
.
(3)以-3和1为根的一元二次方程是
.
3.已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
,当k取何值时,
方程kx
2
+ax+b=0有两个不相等的实数根?
4.已知方程x
2-3x-1=0的两根为x
1
和x
2
,求(x
1
-3)
( x
2
-3)的值.
习题2.1
A 组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x
2
+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是(
)
(A)-3 (B)3 (C)-2
(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2
+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x
2
-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3
x
2
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
7
;
3
④方程3 x
2
+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 (
)
(A)1个
(B)2个 (C)3个 (D)4个(3)关于x的一元二次方
程ax
2
-5x+a
2
+a=0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx
2
+4x-1=0的两根之和为-2,则k=
.
(2)方程2x
2
-x-4=0的两根为α,β,则α
2
+β<
br>2
= .
(3)已知关于x的方程x
2
-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是
.
(4)方程2x
2
+2x-1=0的两根
为x
1
和x
2
,则| x
1
-x
2
|=
.
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2
-(
2m+1) x+1=0有两个不相等的实数根?有两个
相等的实数根?没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x
2
-7x-1=0各根的相反数.
B 组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直
角边长恰好是方程2x
2
-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长
等于
( )(A)
3
(B)3 (C)6
(D)9
(2)若x
1
,x
2
是方程2x
2
-4
x+1=0的两个根,则
x
1
x
2
?
的值为
( )
x
2
x
1
(A)6
(B)4 (C)3 (D)
3
2(3)如果关于x的方程x
2
-2(1-m)x+m
2
=0有两实数根α
,β,则α+β的取值范围为
( )
(A)α+β≥
11
(B)α+β≤ (C)α+β≥1
(D)α+β≤1
22
c
=0的根的情况是
4
(4)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程cx
2
+(a+b)x+
( )(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
(5)若关于x的方程x
2
+(k
2
-1)
x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为 ( )
(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0
2.填空:
(1)若m,n是方程x
2
+2005x-1=0的两个实数根
,则m
2
n+mn
2
-mn的值等于 .
(
2)如果a,b是方程x
2
+x-1=0的两个实数根,那么代数式a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
的值是 .
3.已知关于x的方程x
2
-kx-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x
1
和x
2
,如果2(x
1
+x
2
)>x
1
x2
,求实数k的取值范围.
4.一元二次方程ax
2
+bx+c=0(
a≠0)的两根为x
1
和x
2
.求:
(1)| x
1-x
2
|和
(2)x
1
3
+x
2
3<
br>.
5.关于x的方程x
2
+4x+m=0的两根为x
1
,x
2
满足| x
1
-x
2
|=2,求实数m的值.
6. 已知x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2<
br>-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x
1
-x
2
)(
x
1
-2
x
2
)=-
(2)求使
x
1
?x
2
;
2
3
成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
2
x
1
x
2
?
-2的值为整数的实数k的整数值;
x
2
x
1
x
1
,试求
?
的值.
x
2
(3)若k=-2,
?
?
7.若关于x的方程x
2
+x+a=0的一个大于1、另一根小于1,求实数a的取值范围
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
问题1
函数y=ax
2
与y=x
2
的图象之间存在怎样的关系?
为了研究
这一问题,我们可以先画出y=2x
2
,y=
1
2
x,y=-2x<
br>2
的图象,通过这些函数图象与函数y
2
=x
2
的图象之间的
关系,推导出函数y=ax
2
与y=x
2
的图象之间所存在的关系.
先画出函数y=x
2
,y=2x
2
的图象.
先列表:
x
x
2
2x
2
…
…
…
-3
9
18
-2
4
8
-1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…
从表中不难看出,要得到2x
2
的值,只要把相应的x2
的值扩大两倍就可以
了.
再描点、连线,就分别得到了函数y=x
2
,y=2x
2
的图象(如图2-1所示),
从图2-1我们可以得到这两个函
数图象之间的关系:函数y=2x
2
的图象可以
由函数y=x
2
的图
象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=
并研究这两个函数图象与函数
y=2x
2
y
y=x
2
1
2
x,y=-2x<
br>2
的图象,
2
y=x
2
的图象之间的关系.
O
图2.2-1
x
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y
=ax
2
(a≠0)的图象可以由y=x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax
2
(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.
问题2
函数y=a(x+h)
2
+k与y=ax
2
的图象之间存在怎样的关系?
y
y=2(x+1)
2
+1
y=2(x+1)
2
y=2x
2
同样地,我们
可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间
的关系.同学们可以作出函数y=2(x+1)
2
+1与y=2x
2
的图象(如图2-2所
示),从函数的同学我们
不难发现,只要把函数y=2x
2
的图象向左平移一个单
位,再向上平移一个单位,就
可以得到函数y=2(x+1)
2
+1的图象.这两个
函数图象之间具有“形状相同,
位置不同”的特点.
类似地,还可以通过画函数y=-3x
2
,y=-3(x-1)
2
+1的图象,研究它
们图象之间的相互关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
图2.2-2
-1
O
x
二次函数y=a(x+h)
2
+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象
的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的
左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函
数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y=a
x
2
+bx+c(a≠0)的图象的方法:
22
b
b
bb
由于y=ax
2
+bx+c=a(x
2
+
x
)+c
=a(x
2
+
x
+
2
)+c-
4a
4a
aa
b
2
4ac?b
2
)?
=
a(x?
2a4a
所以,y=ax
2
+bx+c(a≠
0)的图象可以看作是将函数y=ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,
二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)具有下列性质:
2
b4ac?b
,)
,对称轴为直线x(1)当a>0时,函数y=ax
2
+bx+c图象开
口向上;顶点坐标为
(?
2a4a
=-
bbbb
;当x<
?
时,y随着x的增大而减小;当x>
?
时,y随着x的增大而增大;当x=
?
时,
2a2a2a2a
4ac?b
2
函数取最小值y=.
4a
(2)当a<0时,函数y=ax
2
+bx+c
b4ac
?b
2
,)
,对称轴为直线x图象开口向下;顶点坐标为
(?
2a4
a
=-
bbbb
;当x<
?
时,y随着x的增大而增大;当x>?
时,y随着x的增大而减小;当x=
?
时,
2a2a2a2a
4ac?b
2
函数取最大值y=.
4a
上述二次函数的性质可以分别通
过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数
问题时,可以借助于函数图
像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
2
y
b4ac?b
y
b
,)
A
(?
x=-
2a4a
2a
O
x
O
x=-
图2.2-4
D(0,1)
x
A(-1,4)
y
b4ac?b
2
,)
A
(?
2a4a
图2.2-3
b
2a
例1
求二次函数y=
-
3x
2
-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、<
br>最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并
画出该函数的图
象.
x=-1
C
O
B
x
图2.2-5
例2 把二次函数y=x
2
+bx+c的图像
向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y=x
2
的图
像,求b,c的值.
例3 已知函数y=x
2
,-2≤x≤a,其中a≥
-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最
小值时所对应的自变量x的值.
说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对a的所有可能情形进行讨论.此外,
本例中所研究的二
次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题
时,通常需要借助
于函数图象来直观地解决问题.
练 习
1.选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是
( )
(A)y=2x
2
(B)y=2x
2
-4x+2
(C)y=2x
2
-1
(D)y=2x
2
-4x
(2)函数y=2(x-1)
2
+2是将函数y=2x
2
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题
(1)二次函数y=2x
2
-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m=
,n= .
(2)已知二次函数y=x
2
+(m-2)x-2m,当m=
时,函数图象的顶点在y轴上;当m= 时,
函数图象的顶点在x轴上;当m=
时,函数图象经过原点.
(3)函数y=-3(x+2)
2
+5的图象的开口向
,对称轴为 ,顶点坐标为 ;
当x=
时,函数取最 值y= ;当x 时,y随着x的增大而减小.
3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况,并画出其图象.
(1)y=x
2
-2x-3; (2)y=1+6
x-x
2
.
4.已知函数y=-x
2
-2x+3,当自变量x在下
列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函
数取最大(小)值时所对应的自变量x的值:
(1)x≤-2;(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3.
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1.一般式:y=ax
2
+bx+c(a≠0);
2.顶点式:y=a(x+h)
2
+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.
当抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2
+bx+c=0. ①
并且方程①的解就是抛物线y=a
x
2
+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,
抛
物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解
的个数又与方程①的根
的判别式Δ=b
2
-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax<
br>2
+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b
2
-4ac
存在下列关系:
(1)当Δ>0时,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x
轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)
与x轴有两个交点
,则Δ>0也成立.
(2)当Δ=0时,抛物线y=ax
2
+bx+
c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线
y=ax
2
+b
x+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.
(3)当Δ<0时,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax
2
+bx+c(
a≠0)
与x轴没有交点,则Δ<0也成立.
于是,若抛物线y=ax
2
+
bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x
1
,0),B(x
2
,0),则
x
1
,x
2
是方程ax
2
+bx+
c=0的两根,
所以
x
1
+x
2
=
?
bcbc
,x
1
x
2
=, 即
=-(x
1
+x
2
), =x
1
x
2
.
aaaa
2
所以,y=ax
2
+bx+c=a(
x?
bc
x?
)
aa
= a[x
2
-(x
1
+x
2
)x+x
1
x
2
]
=a(x-x
1
) (x-x
2
).
由上面的推导过程可以得到下面结论:
若抛物线y=ax
2
+b
x+c(a≠0)与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)两点,则其函
数关系式可以表示为y=a(x
-x
1
) (x-x
2
)
(a≠0).
这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3.交点式:y=a(x-x
1
) (x-x
2
)
(a≠0),其中x
1
,x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这
三
种表达形式中的某一形式来解题.
例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x
+1上,并且图象经过点(3,-1),求
二次函数的解析式.
说明:在解题时,由最大值确
定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函
数的顶点式,最终解决了问题.因
此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地
解决问题.
例2 已
知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达
式
.
例3
已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
练 习
1.选择题:
(1)函数y=-x
2
+x-1图象与x轴的交点个数是
( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个
(D)无法确
1
(2)函数y=-
(x+1)
2
+2的顶点坐标是 (
)
2
(A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2)
(D)(-1,-2)
2.填空:
(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0
)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a
(a≠0) .
(2)二次函数y=-x
2
+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为
.
3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y轴交于
(0,-2).
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1.平移变换
问题1
在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的
图象平移?
我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改<
br>变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置<
br>即可.
例1
求把二次函数y=x
2
-4x+3的图象经过下列平移变换后得
x=-1
y
到的图象所对应的函数解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;
(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.
O
A
1
(-3,-1)
A(1,-1)
x
图2.2-7
2.对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点?依据这一特点,
可以怎样来研究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平
行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——
只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此
,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键
是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.
例2
求把二次函数y=2x
2
-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式:
(1)直线x=-1;
(2)直线y=1.
二、分段函数
一般地,如果
自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数.
例3
在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资160分,
超
过40g不超过60g付邮资240分,依此类推,每封xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)
?写出
函数表达式,作出函数图象.
分析:由于当自变量x在各个不同的范围内时,应付邮
资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给
出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当x在
各个小范围内(如20<x≤40)变化时,它所对
应的函数值(邮资)并不变化(都是160分).
解:设每封信的邮资为y(单位:分),则y是x的函数.这个函数的解析式为
?
80,
?
160
?
?
y??
240,
?
320
?
?
?
400,
x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]
x?(
60,80]
x?(80,100]
由上述的函数解析式,可以得到其图象如图2.2-9所示
.
y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
图2.2-9
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x
2
?2xy?y2
?x?y?6?0
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数
x<
br>,
y
是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中
x
2
,
2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次项,
叫做一次项,6
叫做常数项.
我们看下面的两个方程组:
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,
?
?
2x?y?1?0;
22
?
?
x?y?20,
?
2
2
?
?
x
?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是
由两个
二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组.
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.
例1 解方程组
?
x
2
?4y
2
?4?0,
?
?
x?2y?2?0.
①
②
?
x?y?7,
①
例2 解方程
?
xy?12.
②
?
练 习
1.下列各组中的值是不是方程组
?
x
2
?y
2
?13,
?
?
x?y?5
的解?
?
x?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
(1)
?
(2)
?
(3)
?
(4)
?
?
y?3;
?
y?2;
?
y?4;
?
y??3;
2.解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
(1)
?
2
(2)
?
2
xy??10;
?
?
x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
(3)
?
5
(4)
?
2
4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?
2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y=x
2
-x-6的对应值表与图象如下:
x
y
-3
6
-2
0
-1
-4
0
-6
1
-6
2
-4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知
当x=-2,或x=3时,y=0,即x
2
-x=6=0;
当x<-2,或x>3时,y>0,即x
2
-x-6>0;
当-2<x<3时,y<0,即x
2
-x-6<0.
这就是说,如果抛物线y=
x
2
-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么
一元二次方程
x
2
-x-6=0
的解就是
x
1
=-2,x
2
=3;
同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到
一元二次不等式
x
2
-x-6>0
的解是
x<-2,或x>3;
一元二次不等式
x
2
-x-6<0
的解是
-2<x<3.
上例表明:由抛物线与x轴的交点
可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次
不等
y
y
y
式的
解集.
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x
x
那么,
O
③
①
怎样
解一
元二
②
图2.3-2
次不等式ax
2
+bx+c>0(a≠0)呢?
我们可以用类似于上面例子的
方法,借助于二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次
不等式a
x
2
+bx+c>0(a≠0).
为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.
我们知道,对于一元二次方
程ax
2
+bx+c=0(a>0),设△=b
2
-4ac,它的解的情形按
照△>0,
△=0,△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有
实
数解,相应地,抛物线y=ax
2
+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、
一个公共点和没有
公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次
不等式ax
2
+
bx+c>0(a>0)与ax
2
+bx+c<0(
a>0)的解.
(1)当Δ>0时,抛物线y=ax
2
+bx+c(a>0)与x
轴有两个公共点(x
1
,0)和(x
2
,0),
方程ax
2
+bx+c=0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1<
br><x
2
),由图2.3-2①可知
不等式ax
2
+bx+c>0的解为
x<x
1
,或x>x
2
;
不等式ax
2
+bx+c<0的解为
x
1
<x<x
2
.
(2)当Δ=0时,抛物线y=ax<
br>2
+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax
2
b
+
bx+c=0有两个相等的实数根x
1
=x
2
=-
2a
,由图2.3-2②可知
不等式ax
2
+bx+c>0的解为
b
x≠-
2a
;
不等式ax
2
+bx+c<0无解.
(3)如果△<0,抛物线y=ax
2
+bx+c(a>0)与x轴没有公共点,方
程ax
2
+bx+c=0
没有实数根
,
由图2.3-2③可知
不等式ax
2
+bx+c>0的解为一切实数;
不等式ax
2
+bx+c<0无解.
今后,我们在解一元二次不等式时,
如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求
解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边
同乘以-1,将不等式变成二次项系数大
于零的形式,再利用上面的结论去解不等式.
设相应
的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、
x
2
且
x
1
?x
2
,
??b
2
?4ac
,则
三个“二次”之间的关
系如下表:
二次函数
y?ax
2
?bx?c
??0
y?ax
2
?bx?c
??0
y?ax
2
?bx?c
??0
y?ax
2
?bx?c
(
a?0
)的图象
一元二次方程
有两相异实根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
有两相等实根
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(
a?0)的解集
例3 解不等式:
b
x
1
?x
2
??
2a
无实根
ax
2
?bx?c?0
?
xx?x或x?x
?
12
?
b
?
xx??
??
2a
??
?
R
?
xx
1
?x?x
2
?
?
(1)x
2
+2x-3≤0;
(2)x-x
2
+6<0;
(3)4x
2
+4x+1≥0;
(4)x
2
-6x+9≤0;
(5)-4+x-x
2
<0.
例4 已知不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
,求不
等式
bx
2
?ax?c?0
的解.
例5
解关于
x
的一元二次不等式
x
2
?ax?1?0(a
为实数
).
例6 已知函数y=x
2
-2ax+1(a为常数)在-2≤x
≤1上的最小值为n,试将n用a表示出来.
练 习
1.解下列不等式:
(1)3x
2
-x-4>0;
(2)x
2
-x-12≤0;
(3)x
2
+3x-4>0;
(4)16-8x+x
2
≤0.
2.解关于x的不等式x
2
+2x+1-a
2
≤0(a为常数).
习题2.3
A 组
1.解下列方程组:
?
x2
?
(x?3)
2
?y
2
?9,
?
?
y
2
?1,
(1)
?
4
(2)
?
?
x?2y?0;
?
x?y?2?0;
?
22
?
?
x?y?4,
(3)
?
2
2
?
?
x?y?2.
2.解下列不等式:
(1)3x
2
-2x+1<0;
(2)3x
2
-4<0;
(3)2x-x
2
≥-1;
(4)4-x
2
≤0.
B 组
1.
m
取什么值时,方程组
?
y
2
?4x,
?
y?2x?m
?
有一个实数解?并求出这时方程组的解.
2.解关于x的不等式x
2
-(1+a)x+a<0(a为常数).
3.已
知关于x不等式2x
2
+bx-c>0的解为x<-1,或x>3.试解关于x的不等式bx<
br>2
+cx
+4≥0.
4.试求关于x的函数y=-x
2
+mx+2在0≤x≤2上的最大值k