全国高中数学竞赛四川-高中数学必修一第一张章题
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第一课 绝对值
一、知识点
1.绝对值的定义:
2.绝对值的代数意义:
a
3.绝对值的几何意义:
4.两个数的差的绝对值的几何意义:
5.绝对值的性质:
二、例题
例1 解方程:
(1)
x?1?3
(2)
5x?6?6x?5
例2
解方程:
x?1?x?5?6
例3 解不等式:
(1)
x?5
(2)
x?3
1
(3)
|x?1|?2
(4)
2x?5?7
例4 解不等式:
x?1?x?3?4
三、练习
1.解方程:
(1)
2x?3
4
?3?x
(3)
x?3?x?1?x?1
2.解下列不等式:
(1)
1?2x?5
(3)
x?3?2x?3?3
(2)
x?5?2x??5
(4)
x?3?x?5?2
(2)
3x?2?15
(4)
x?1?x?3??4
2
第二课 乘法公式,多项式的除法
一、知识点
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?
________________
(2)完全平方公式
(a?b)
2
?
________________
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?
_____________
___
(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?
b
2
)?
________________
(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?
________________
(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?
________________
(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?
________________
二、例题
例1 计算:
(1)
?
a?2b?3c
?
2
(2)
(2a?3b?c)
2
例2
计算:
(1)
(2a?3b)(4a
2
?6ab?9b
2
)
(2)
(x?1)(x?1)(x
2
?x
?1)(x
2
?x?1)
(
3)因式分解:
a
3
?8b
3
?
____________
__________________
8a
3
?b
3
?
______________________________
例3 已知
a?b
?c?4
,
ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.
例4
计算:
(1)
(x?2y)
3
(2)
(2x?y)
3
例5 计算:
(1)
(28a
3
?14a
2
?7a)?7a
(
2)
3
(36x
4
y3
?24x
3
y
2
?3x
2
y
2)?(?6x
2
y)
例6
计算:
(6a?19a?17a?5)?(2a?2a?5)
三、练习
1.计算:
3
(1)
(2a?3b)
(2)
(2x?y?3)
2
422
(3)
(2x?y)(4x?2xy?y)
(4)
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
(5)
(x?y)(x?y)(x?xy?y)(?x?xy?y)
(6)
(x?2xy?y)(x?xy?y)
2.当
a、b
为实数时,试判断
a?b?2a?4b?8
的值的符号.
3.计算:
(1)
(15xy?10xy)?5xy
(2)
(?4a?12ab?7ab)?(?4a)
4.已知
多项式
6a?7ab?3b?a?7b?2
是多项式
2a?3b?1
与多项式
A
的积,求多
项式
A
.
5.求多项式
4x?8x?5x?6x
除以
2x?3
的余式.
4
432
22
2232322
22222
22222242
22
322
6.已知
13x?mx?
11x?n
能被
13x?6x?5
整除,求
m,n
的值.
第三课 因式分解
一、知识点
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,求根
法.
二、例题
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2 (2)x
2
+4x-12
(3)
2x?7x?3
2
(4)
6x?7x?2
(5)
x?(a?b)xy?aby
变式:分解因式:
22
2
(1)
x?5x?6
(2)
x?5x?6
(3)
x?5x?6
2
(4)
x?5x?6
(5)
2x?7x?3
(6)
x?
?
a?1
?
x?a
22
222
例2 分解因式:
(1)
x?9?3x?3x
(2)
xy?1?x?y
(3)
32
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
例3
分解因式:
2
(1)
x?2x?1
;
(2)
x?4xy?4y
.
22
5
例4
分解因式:
(1)
x?2x?1
(2)
2x?3x?1
三、练习
1.分解因式:
⑴
x?4x?12
⑷
x?xy?20y
22
3232
2
⑵
a?1
3
⑶
x?2x?2
2
22
⑸
x?4xy?4y
22
⑹
a?ab?ac?bc
2
⑺
x?y?ax?ay
2.分解因式:
⑴
ab?ac?b?c
2
⑻
5x?6xy?8y
(9)
(a?b)
2
?2(a?b)?15
22
⑵
4ab?3ac?8b?6c
⑶
4a?12ab?9b?25
22
⑷
?xy?6xy?8y
2
⑸
x?6xy?91y
22
⑹
p?10p?16
42
⑺
5?7(a?1)?6(a?1)
⑻
(x?3x)?2(x?3x)?8
222
⑼
x
2
?x?(a
2
?a)
6
⑽
(13)
4(x?y?1)?y(y?2x)
(14)
b?c?2ab?2ac?2bc
(15)
(1?a)(1?b)?4ab
(16)
a?(a?1)?a(a?1)
222222
x
3
?7x
2
?6
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
⑾
x
2
?xy?2x?y?3
⑿
22
第四课 分式
一、知识点
1.分式的意义;
形如
式
AA
的式子,若B
中含有字母,且
B?0
,则称为分式.当M≠0时,分
BB
A
具有下
列性质:
B
AA?M
;
?
BB?M
AA?M
?
BB?M
a
m?n?p
2.繁分式:
像
b
,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分
2m
c?d
n
?p
式.
二、例题
例1 ⑴ 代数式
1
1
1?x?1
有意义,则
x
需要满足的条件是_________;
7
2?
(2)化简:
11
?
x?1x?1
(3)已知
f(x)?
1
,求
x
2x?3
x?
2<
br>x?1
11
f()?f()
的值.
xx?2
例2 若
5x?4AB
??
,求常数
A,B
的值.
x(x?2)xx?2
111
??
(其中n是正整数);
n(n?1)nn?1
11
??
(2)证明:对任意大于1的正整数n, 有
2?33?4
例3 (1)试证:
例4
设
e?
?
11
?
.
n(n?1)2
c
,且e>1,2c
2
-5ac+2a
2
=0,求e的值.
a
x
3
?x
?3
?2
1
例5
已知
x??3
,求的值.
2?2
x?x
x
三、练习
8
1.填空题:
(1)
12x?y2
x
11
?
(
?
?
,则= )
(2)若
n(n?2)x?y3
y
nn?2
3a
2
?ab<
br>1
1
?
(3)
a?
,b?
,则
22
3a?5ab?2b
32
x
2
?
3xy?y
2
22
(4)若
x?xy?2y?0
,则
?
x
2
?y
2
x?3AB11
2
??
2.解方程
2(x?
2
)?3(x?)?1
?0
. 3.已知,
(x?1)(x?2)x?1x?2
xx
求
A?2B
的值.
2
4.已知
x?16x?1?0
,试求下列各式的值:
(1)
x?
5.正数
x,y
满足
x?y?2xy
,求
6.计算
7.试证:对任意的正整数n,有
22
2
11
3
(2)
x?
23
xx
x?y
的值.
x?y
1111
.
???...?
1?22?33?499?10
0
11
??
1?2?32?3?4
?
1
1
< .
n(n?1)(n?2)
4
第五课 二次根式的化简
一、知识点
1.分母(子)有理化;
9
?
a,a?0,
2
2.二次根式
a
2
的意义:
a?a?
?
?
?a,a?0.
二、例题
例1
把下列各式分母有理化:
⑴
例2
试比较下列各组数的大小:
(1)
12?11
和
11?10
;
⑵
例3
将下列式子化为最简二次根式:
⑴
3
5?7
⑵
3?2
3?2
2
,
22-6
6?4
12b
; ⑵
a
2
b(a?0)
;
⑶
4x
6
y(x?0)
(4)
(1?2x)
2
?x
2
?6x?9
例4 化简:
(1)
4?23
(2)
11?62
(3)
9?45
(4)
2?3
例5 化简:
(3?
10
2)
2004
?(3?2)
2005
.
例 6 当
x?
5
x?1?x?1x?1?x?1
2
时,求
x?1?x?1
?
x?1?x?1
的值.
例7 已知
x?
3?23?2
3?2
,
y?
3?2
,求
3x
2
?5xy?3y
2
的值.
三、练习
1.填空题:
(1)
1?3
1?3
=__ ___; <
br>(2)若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
,则
x
的取值范围是_ _ ___;
(3)比较大小:2-3
5-4(填“>”,或“<”).
(4)
(2?3)
18
(2?3)
19
=________;
(5)若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
,则
a
的取值范围是________;
(6)<
br>111
1?2
?
2?3
?
3?4
?
1
4?5
?
1
5?6
?
________.
2. 化简:
(1)
2?2
5?26
2?1
(2)
3?2
(3)
6?3
6?3
(4
x?y)
y
3
(<
br>x
2
?y
2
(x?y?0)
(5)
3?22
(6)
4?15
(7)
19?83
(8)
5?26
11
)
3.已知:
x?
4.当
x?
yy
11
的值. ?
,y?
,求
23
x?yx?y
3?2
时,求代数式<
br>x
3
?4x
2
?x?3
的值.
第六课
根的判别式与韦达定理
一、知识点
1.一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)根的判别式:
2.韦达
定理:如果一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两个根是
x
1<
br>,x
2
,
那么有:
x
1
?x
2
?
_________
x
1
x
2
?
_________
二、例题
例1 解关于
x
的方程:
(1)x
2
-3x+3=0
(2)x
2
-2x+a=0
(3)
mx
2
?2x?1?0
例2
已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例3 已知关于x的方程x
2
+2(m
-
2)x+m
2
+4=0有两个实数根,并且这两个实
数根的平方和比两个根
的积大21,求m的值.
12
2
例4 已知
x
1<
br>,x
2
是方程
x
2
?5x?2?0
两个实数根,求下
列式子的值:
①
11
233
;③
x
1
?x
2
;
④
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?<
br>;⑤
x
1
?x
2
?
;②
x
1
2
?x
2
x
1
x
2
例5
已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
例6
求作一个方程,使它的根是方程
x?7x?8?0
的两根的平方的负倒数.
2
例7 若关于x的一元二次方程x
2
-x+a-4=
0的一根大于零、另一根小于零,求
实数a的取值范围.
三、练习:
1.填空题:
(1)若关于x的方程mx
2
+
(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的
取值范围是 .
(2)方程kx
2
+4x-1=0的两根之和为-2,则k= .
(
3)已知关于x的方程x
2
-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根
是
.
(4)如果a,b是方程x
2
+x-1=0的两个实数根,那么代数式a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
的
值是
.
(5)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
-8x+7=0的两
根,则这个
直角三角形的斜边长等于 .
2.已知关于x的方程x
2
-kx-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
13
(2
)设方程的两根为x
1
和x
2
,如果2(x
1
+x
2
)>x
1
x
2
,求实数k的取值范围.
2
3.已知一元二次方程
2x
?4x?5?0
的两个根分别是
x
1
,x
2
,求下列式子的
值:
33
(1)
(x
1
?2)(x
2
?2)
(2)
x
1
?x
2
(3)
x
1
?x
2
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x
2
-7x-1=0各根的相反数.
2
5.若关于x的方程x+x+a=0的一个根大于1,另一根小于1,求实数a的取值范围.
第七课 分式方程高次方程与无理方程
一、知识点
解分式方程高次方程与无理方程的常用方法:
二、例题
例1 解方程:
715
??
x?44?x3
x
2
x
()?5()?6?0
x?1x?1
⑴、
⑵、
14
x
2
?23(2x
2
?1)
??2?0
(3)
22
2x?1x?2
例2
解方程:
32
(1)
2x?5x?3?0
(2)
(x?5x)?2(x?5x)?24?0
222
(3)
(x?2)(x?1)(x?3)(x?6)?16
(4)
x
4
?2x
3
?6x
2
?2x?1?0
例3
解方程:
(1)
x?7?x?1
(2)
3x?2?
(3)
3x
2
?15x?2x
2
?5x?1?2
15
x?3?3
三、练习: 解下列方程:
(1)
(
3
2
15
)??6?0
(2)
x?2x?2
2x
2
?3x?
5
2x
2?3x
?4
(3)
3
x
2
?2x?3
?2x
2
?4x?1
<
br>(5)
x
2
?23(2x
2
?1
2x
2?1
?
)
x
2
?2
??2
(7)
3x?1?x?4?1
2x
2
?4x?3x
2
?2x?6?15
(4)
x?1x?51
x
2
?x
?
3?3x
?
3x
6)
(6x
2
?7x)
2
?2(6x
2
?7x)?3?0
(8)
16
(
第七课 分式方程高次方程与无理方程
一、知识点
解分式方程高次方程与无理方程的常用方法:
二、例题
例1 解方程:
712
??
x?44?x3
x
2
x
()?5()?6?0
x?1x?1
⑴、
⑵、
x
2
?23(2x
2
?1)
??2?0
(3)
2x
2
?1x
2
?2
例2 解方程:
32
(1)
2x?5x?3?0
(2)
(x?5x)?2(x?5x)?24?0
222
(3)
(x?2)(x?1)(x?3)(x?6)?16
(4)
x
4
?2x
3
?6x
2
?2x?1?0
17
例3 解方程:
(1)
x?7?x?1
(2)
3x?2?x?3?3
(3)
3x
2
?15x?2x
2
?5x?1?2
三、练习:
解下列方程:
(1)
(
3
x?2
)
2
?
15
x?2
?6?0
2x
2
?3x?
5
2x
2
?3x
?4
(3)
3
2
x
2
?2x?3
?2x?4x?1
(2
4)
x?1
x?51
x
2
?x
?
3?3x
?
3x
)<
br>
18
(
2(x
2
?1)6(x?1)
?
2
?7
(6)
(6x
2
?7x)
2
?2(6x
2
?7x)
?3?0
(5)
x?1
x?1
(7)
3x?1?x?4?1
(8)
2x
2
?4x?3x
2
?2x?6?15
第八课 二元二次方程组与三元一次方程组
一、知识点
解方程组的方法:
二、例题
例
解下列方程组:
?
x?2y?1?0
?
x?y?11
(1)
?
2
(2)
?
2
xy?28
?
?
x?y?4x?y?1?0
19
222
??
?
x?y?5x?5y?0?
x?xy?12
(3)
?
(4)
?
?
?
x
2
?xy?y
2
?43
(5)
?
?
?
3x
2
?y
2
?8
?
?
x
2
?xy?y
2
?4
三、练习:解下列方程组
(1)
?
?
2x?y?34x
2
?y
2
?
?15
?
?
xy?y
2
?4
?
(6)
?
2x?y?3z?11
?
3x?2y?2z?11
?
?
4x?3y?2z?4
2)
?
?
?
2x2
?3xy?2y
2
?0
?
?
x
2
?
y
2
?5
20
(
?
x?y?3
(3)
?
xy??
10
?
2
?
?
(x?y)?4(x?y)?5
(4)
?
2
?
?
(x?y)?2(x?y)?3
22
(5)
?
?
?
x?2xy?y?25?0<
br>?
?12xy?4y?9?0
?
9x
22
第九课
一、知识点:
一元二次不等式的解集:
二、例题
例1 解下列不等式:
⑴
6?3x?0
x?x
2
?6?0
?
x?y?z?12
(6)
?
?
x?2y?z?6
?
?
3x?y?z?10
一元二次不等式
2)
x
2
?2x?3?0
(3
21
()
变式:
(1)
3x?5x?2?0
(2)
2
?2x
2
?x?1?0
(3)
x?4x?5?0
(4)
2
?x
2
?4x?4?0
例2 解下列不等式
(1)
例3 解关于
x
的不等式
x?x?a(1?a)?0
(
a
为常数).
例4
已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2
或
x?3<
br>,求不等式
2
2
12?x8x?1
(2)
(3)
?0?0?1
x?15x?3
x
2
?3x?4bx
2
?ax?c?0
的解.
22
三、练习:
1.解下列不等式
(1)
3x?x?4?0
2
(2)
x?x?12?0
2
(3)
x
2
?3x?4?0
(5)
3x
2
?2x?1?0
(7)
2x?x
2
??1
(9)
2x?1
1?x
?3
常数).
4)
16?8x?x
2
?0
6)
3x
2
?4?0
8)
(x?2)(5?3x)?0
10)
x
2
?(1?a)x?a?0
(
a
为
23
(
(
(
(
2
2.已知关于<
br>x
不等式
2x?bx?c?0
的解为
x??1
或
x?
3
。试解不等式
bx
2
?cx?4?0
.
第十课 二次函数的解析式
一、知识点:
二次函数的三种表示方式:
⑴ 一般式:____________________________________;
⑵ 顶点式:____________________________________;
⑶ 交点式:____________________________________.
二、例题
例1 已知二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线
y?x?1
上,并且图象经
过点
(2,1)
,求此二次函数的解析式.
例2 已知二次函数的图象过点
(?3,0)
、<
br>(1,0)
,且顶点到
x
轴的距离等于2,求
此二次函数的表达式.
例3 已知二次函数的图象的顶点为
(2,?18)
,它与
x
轴的两个交点之间的距离
为6,求该函数的解析式.
例4 已知二次函数的图像关于直
线
y?3
对称,最大值是0,在
y
轴上的截距
是
?1
,求这个二次函数的解析式.
24
变式 已知
y
是
x
的
二次函数,当
x?2
时,
y??4
,当
y?4
时,
x
恰为方程
2x
2
?x?8?0
的根,求这个函数的解析式.
例5 求把二次函数y=x
2
-4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应
的函数解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位; (2)向上平移3
个单位,向左平移2个单位.
例6 求把二次函数y=2x
2
-4x+1的图
象关于下列直线对称后所得到图象对应的
函数解析式:
(1)直线x=-1;
(2)直线y=1.
三、练习:
1.填空:
(1)已知二次函数的图象经过点
(1,?2)
,
(0,?3)
,
(?1,?6)
,则它的解析式是__________.
(2)已知二次函数当x?3
时,函数有最小值5,且经过点
(1,11)
,则它的解析式是
_
_________.
(3)已知二次函数的图像与
x
轴的两交点间的距离是8,且
顶点为
M(1,5)
,则它的解
析式是________.
(4)函数y??(x?1)?4
的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位后的图象的
解析式是_
______.
(5)函数
y??2(x?3)?3
的图象关于直线
x??
1
对称的图象对应的解析式为
______________.
25
2
2
2
2. 已知二次函数
y?ax?b
x?c
的图像经过点
(?1,?1)
,其对称轴为
x??2
,且在<
br>x
轴上截得的线段长为
22
,求函数的解析式.
3. 已知二次函数
y?a(x?)?
25
的最大值为25,且方程
a(x?)?25?0
两根的
立方和为19,求
函数表达式.
4.
已知二次函数
y?x?mx?m?2
。
⑴
试判断此函数的图像与
x
轴有无交点,并说明理由;
⑵
当函数图像的顶点到
x
轴的距离为
2
12
2
1
2
2
25
时,求此函数的解析式.
16
第十一课 二次函数的最值
一、知识点:
二次函数的最值
二、例题
例1
求二次函数
y??x?4x?3
的最大值以及取得最大值时
x
的值.
变式1:⑴
0?x?4
26
2
⑵
0?x?3
⑶
0?x?1
变题2:求函数
y??x?ax?3
(
0?x?4
)的最大值.
变题3:求函数
y?x?4x?3
(
0?x?a
)的最大值.
例2 已知
y?x?2x?3
(
0?x?a
)的最大值为3,最小值为2,求
a
的取值
范围.
2
例3 若
?
,
?
是二次方程
x?2
kx?k?6?0
的两个实数根,求
2
2
2
(
?
?
1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值.
三、练习:
1.函数y?x?px?q
的最小值是4,且当
x
=2时,
y
=5,则<
br>p
=______,
q
=_______.
2.试求关于
x
的函数
y??x?mx?2
在
0?x?2
上的最大值
k.
27
2
2
3.已知函数
y
??x?ax?
2
a1
?
当
0?x?1
时,取最大值为2,
求实数
a
的值.
42
、
22
22
4.已知
x
1
,x
2
是方程
2x?4mx?5m?12?
0
的两实根,求
x
1
?x
2
的最大值和最小
值.
第十二课 分数指数幂
一、知识点
1. 分数指数幂意义:
2.
指数幂的性质:
二、例题
例1
用根式的形式表示下列各式
(a?0)
28
(1)
a
= (2)
a
=
(3)
a
=
(4)
1
5
3
4
7
5
a
?
3
2
=
例2
用分数指数幂的形式表示下列各式
?
a?0
?
3
(1)
a
2
?a
(2)
a
3
?a
2
(3)
aa
(4)
p
6
q
3
?
p?0
?
例3
1
求值:(1)
100
2
?
1
?
?
16
?
(2)
8
(3)
??
(4)
??
?
4
?
?
81
?
2
3
3
?3
4
例4 化简下列各式
(1)
aaa
1
2
?
1
3
1
2
3
4
?
3
8
(a?0)<
br>
(2)
(xy)
6
(x?0,y?0)
(3)
(xy)?(xy)(x?0,y?0)
(4
)
3
2
2
2
3
4ab
2
3
?1
3
1
?
??
2
?
1
33
?
?
?
?ab
?
3
?
??
12
1
2
1
?
??
?
?
??
?
1
??
1
(5)
?
2a
4
b
3
??
?3a
2
b
3
??
?
?a
4
b
3
?
(6)
?????
4
?
??????
b
2
2
4b
3
b
2
3
(
2
)?(?
?7
)?()<
br>
2aaa
29
例5 化简下列各式
(a?0,b?0)
(1)
a
2
(a?0)
(2
)
(
3
6
a
9
)
4
?(
6
3
a
9
)
4
a?
3
a
2
例6 化简
2
1
3?
3
(1)<
br>8
3
?100
2
?
?
?
1
??16
?
4
?
4
?
?
?
?
?<
br>81
?
?
三、练习:
化简下列各式:
(1)
?
3
3
?
3
9
2
(1)
25
2
(3)
?
?
25
?
2
?
4
?
?
(6)
3
a
2
a
3
(7)
(
3
a)
2
?ab
3
?1
3
12
?
?
a
3
a
4
?<
br>?
?
?
?
2
9
(2
)
(8)
?
3
?(
3
10
2
)
2
?10
5
4)
3
a
4
a
(5)
aaa
2
3
5
8)(1)
a<
br>3
a
4
?a
6
(9)
30
(
(
2
1
15
1
1
15
1
5
?
2
1
?????
1
(10)
?
2a
3
b
2
??
?6a<
br>2
b
6
?
?
?
?3a
6
b
6
?
(11)
(a
3
b
2
)(
?3a
2
b
3
)?(a
6
b
6
)
??????
3
??????
2?2?2?3
22
5
(12)
(ab)?(ab)?(ab)
(13)
3
a?(a)
2
1
2
(14)(0.0064)
1
2
?
1
4
?
7
0
3
3
?()?[(2)]?16
?0.75
(15)
23?
3
1.5?
6
12
8
4
(16)
16?(
1
?0.25
1
)?(?)
0
812
配套作业大全:
第一讲 数与式的运算
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把
实数和代数式简称为数
与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们
具有实数的属性,可以进行运算.在多项
式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方
差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式
的运算简便.由于在高中学
习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,
补充三个
数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是
实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初
中却没有涉及,因
此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】
(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca
证明:
?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c
2222
2222
?a
2
?2ab?b
2
?2ac?2bc?c
2
a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ca
?
等式成立
31
【例1】计算:
(x?2x?)
解:原式=
[x?(?2x)?]
2
2
1
32
1
3
2
111
?(x
2
)
2
?(?2x)
2
?()
2
?2x
2
(?2)x?2x2
??2??(?2x)
333
8221
?x
4?22x
3
?x
2
?x?
339
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式2】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方和公式)
证明:
(a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b
说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算:
(a?b)(a?ab?b)
解:原式=
[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b
我们得到:
【公式3】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式.
【例3】计算:
(1)
(4?m)(16?4m?m)
42<
br>2
2233
223333
22
2232222333
2233
(2)
(m?
2
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)
225104
2222
(3)<
br>(a?2)(a?2)(a?4a?16)
(4)
(x?2xy?y)(x?xy?y)
解:(1)原式=
4?m?64?m
<
br>(2)原式=
(m)?(n)?
242
333
1
5
3
1
2
3
1
3
1
3
m?n
1258
22336
(3)原式=
(a?4)(a?4a?4)?(a)?4?a?
64
(4)原式=
(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]
2222222
?(x
3
?y
3
)
2
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6
说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法
32
公式的结构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住
1、2、3、4、…、20的平方数和1、
2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.
较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请
注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,
是明智之举.
【例5】已知
a?b?c?0
,求
1
的值.
x
3
1
2
解:
?x?3x?1?0
?x?0
?x??3
x
1
2
111
22
原式=
(x?)(x?1?
2
)?(x?)[(x?)?3]?
3(3?3)?18
xxx
x
2
说明:本题若先从方程
x
?3x?1?0
中解出
x
的值后,再代入代数式求值,则计算
【例4】已知<
br>x?3x?1?0
,求
x?
2
3
111111
a(?
)?b(?)?c(?)
的值.
bccaab
解:
?a?b?c?0,?a
?b??c,b?c??a,c?a??b
?
原式=
a?
b?ca?ca?b
?b??c?
bcacab
a(?a)b(?b)c(?c)a
2
?b
2
?c
2
?????
①
bcacababc
?a
3
?b
3
?
(a?b)[(a?b)
2
?3ab]??c(c
2
?3ab)??c
3
?3abc
?a
3
?b
3
?c
3
?3abc
②,把②代入①得原式=
?
3abc
??3
abc
说明:注意字母的整体代换技巧的应用.
引申:同学可以探求并证明:
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
333222
二、根式
式子
a(a?0)
叫做二次根式,其性质如下:
2
(1)
(a)?a(a?0)
(2)
(4)
a
2
?|a|
bb
?(a?0,b?0)
a
a
(3)
ab?a?b(a?0,b?0)
【例6】化简下列各式:
33
(1)
(3?2)
2
?(3?1)
2
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)
解:(1) 原式=
|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1
?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)
(2)
原式=
|x?1|?|x?2|?
?
(x?1)?(x?2)?1
(1?x?2)
?
说明:请注意性质
a
2
?|a|
的使
用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要
对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)
3
2?3
(2)
11
?
ab
?
(3)
2
x
?x
3
?8x
2
?6?33
解:(1) 原式=
3(2?3)
(2?3)(2?
3)
3(2?3)
2
2
?3
a?ba
2
b?ab
2
?
(2) 原式=
abab
(3) 原式=
2
2x
?x?x
2?2?2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx
2?2
说
明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;
②被开方数不含能开得
尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,
先将它
3
分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如)
2?3
或被开方数有分母(如
ax
xx
).这时可将其化为形式(如可化为
) ,转化为 “分
22
b2
母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有
理式,采取分子、分母同乘以
一个根式进行化简.(如
有理化因式).
【例8】计算:
(1)
(a?b?1)(1?a?b)?(a?b)
2
3
2
?3
化为
3(2?3)
(2?3)(2?3)
,其中
2?3
与
2?3
叫做互为
(2)
a
a?ab
?
a
a?ab
34
解:(1) 原式=
(1?b)
2
?(a)
2
?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1
(2) 原式=
a
a(a?b)
(a?
?
a
a(a?b)
?
1a?b
?
1
a?b
?
b)
2a
?
a?b
(a?b)(a?b)b)?(a?
说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9】设
x?
2?3
2?3
?
,y?
2?3
2?3
,求
x
3
?y
3
的
值.
解:
x?
2?3
2?3
(2?3)
2
2?3
2
?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1
原式=
(x?y)(x
2
?xy?y
2
)?(x?y)[(x?y)
2<
br>?3xy]?14(14
2
?3)?2702
说明:有关代数式的求
值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,
可根据结论的结构特点,倒推几步,再
代入条件,有时整体代入可简化计算量.
三、分式
AA
的分子、分母中
至少有一个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简
BB
常用以下两种方法:(1)
利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
当分式
【例10】化简
x
1?x
x?
1
x?
x
法一:原式解
=
x(
x?1)
x?1xxxx
???
2
??
2
1?x
(1?x)?xx
x
x?x?xx
x?
2
x?
x?
x?1
(x?1)(x?1)
x?1
x?1
x
x(x?1)
xxxx?1
???
2
?
解法一:原式=
(1?x)?xx(1?
x)x
x
x?x?x
x?
x?x?
2
1
x?1x?1
(x?)?x
x
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分
的方式逐步脱掉繁分式,
35
解法二则是利用分式的基本性质
方法.
AA?m
进行化简.一般根据题目特
点综合使用两种
?
BB?m
x
2
?3x?96xx?1
【例
11】化简
??
x
2
?279x?x
2
6?2x
解:原式
x
2
?3x?96xx?116x?1
?????
= (x?3)(x
2
?3x?9)x(9?x
2
)
2(3?x)x
?3(x?3)(x?3)2(x?3)
2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(
x?3)
2
3?x
???
2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)
说明:(1)
分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因
式分解再进行约分化简;(2)
分式的计算结果应是最简分式或整式.
A 组
1.二次根式
a
2
??a
成立的条件是(
A.
a?0
B.
a?0
实数
)
C.
a?0
)
C.-9
2
习
练
D.
a
是任意
2.若
x?3
,则
9?6x?x
2
?|x?6|
的值是(
A.-3
3.计算:
2
B.3
2
2
D.9
(1)
(x?3y?4z)
2
(2)
(2a?1?b)?(a?b)(a?2b)
(4)
(a?4b)(a?4b?ab)
(3)
(a?b)(a?ab?b)?(a?b)
1
4
22
4.化简(下列
a
的取值范围均使根式有意义):
(1)
(3)
?8a
3
4ab
ab?ba
(2)
a??
(4)
1
a
1
2
?
1
3?2
?
2
3?1
5.化简:
(1)
mm1
9m?10m?2m
2
325m
(2)
36
2x?2yx?y
? (x?y?0)
2
x
2xy
B 组
1.若
11
3x?xy?3y
??2
,则的值为( ):
xy
x?xy?y
A.
3
B.
?
3
C.
?
5
D.
5
553
2.计算:
(1)
(a?b?c)(a?b?c)
(2)
1?(
1
2
?
1
3
)
11x
2
?xy?y
2
3.设
x?
3?2
,y?<
br>3?2
,求代数式
x?y
的值.
a
2
?ab?2b
2
?0(a?0,b?0)
,求
aba
2
?b
2<
br>4.当
3
b
?
a
?
ab
的值.
5
.设
x
、
y
为实数,且
xy?3
,求
x
y
x
?y
x
y
的值.
6.已知
a?
120
x?20,b?
11
20
x?19,c?
20
x?
21
,求
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc
?ac
的值.
7.设
x?
5?1
2
,求
x
4
?x
2
?2x?1
的值.
8.展开
(x?2)
4
9.计算
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)
10.计算
(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)
11.化简或计算:
(1)
(18?4
1
2
?
1
2?3
)?
3
3
3
代数式
37
(2)
2
2
3
?2?(2?5)
2
?
1
5?2
(3)
xx?xyx?xy?y
xy?y
2
?
xx?yy
(4)
(a?
b?abba?b
a?b
)?(
a
ab?b
?
ab?a
?
ab
)
第一讲 习题答案
A组
1. C 2. A
3. (1)
x
2
?9y
2
?16z
2
?6xy?8xz?24yz
(2)
3a
2
?5ab?3b
2
?4a?2b?1
(3)
?3a
2
b?3ab
2
(4)
1
4
a
3
?16b
3
4.
?2a?2a
??a
2(a?b)2
a?b
?
2
?1
5.
mm 2xy
B组
1. D
2.
a?c?b?2ac,32?23
3.
?
13
6
3
4.
?3,2
5.
?23
6. 3 7.
3?5
8.
x<
br>4
?8x
3
?24x
2
?32x?16
9
.
x
4
?10x
3
?35x
2
?50x?24
10.
?x
4
?y
4
?z
4
?2x
2
y
2
?2x
2
z
2
?2y
2<
br>z
2
38
11.
?3,
43
x?y
,,b?a
3y
第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相
反方向的变形.在分
式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式
和完全平方公式)
外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
(立方和公式)
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得
到:
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2<
br>)
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(
差)乘以它们的平方和与它们
积的差(和).
运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1)
8?x
3
(2)
0.125?27b
333
3
3
分析:
(1)中,
8?2
,(2)中
0.125?0.5,27b?(3b)
.
解:(1)
8?x?2?x?(2?x)(4?2x?x)
3332
(2)
0.125?27b?0.5?(3b)?(0.5?3b)[0.
5?0.5?3b?(3b)]
39
33322
?(0.5?3b)(0.25?1.5b?9b
2
)
说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如
8a
3
b
3
?(2ab)
3
,这里逆用了法则
(ab)
n
?a
n
b
n
;(2)
在运用立方和(差)公式分解因式
时,一定要看准因式中各项的符号.
【例2】分解因式:
(1)
3ab?81b
34
(2)
a?ab
76
分析:(1)
中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现
a
6
?b6
,可看着是
(a
3
)
2
?(b
3
)
2
或
(a
2
)
3
?(b
2
)3
.
解:(1)
3ab?81b?3b(a?27b)?3b(a?3b)(a?3ab?9b)
.
(2)
a?ab?a(a?b)?a(a?b)(a?b)
76663333
343322
?a(a?b)(a
2
?ab?b
2
)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
?a(a?b)(a?b)(a?ab?b)(a?ab?b)
2222
二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式
.而
对于四项以上的多项式,如
ma?mb?na?nb
既没有公式可用,也没有公因
式可以提
取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解
法
.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式
【例3】把
2ax?10ay?5by?bx
分解因式.
分析:把多项式的
四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按
x
的降幂排列,
然后从两组分别提出
公因式
2a
与
?b
,这时另一个因式正好都是
x?5y
,这
样可以继
续提取公因式.
解:
2ax?10ay?5by?bx?2a(x?5y)
?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)
说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否
继续完成因式分解,由此合理选择分
组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不
妨一试.
【例4】把
ab(c?d)?(a?b)cd
分解因式.
分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分
40
2222
解因式.
解:
ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd
22222222
?(abc
2
?a
2
cd)?
(b
2
cd?abd
2
)
?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)
说明
:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运
用了加法交换律,分组后,
为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因
式分解中所起的作用.
2.分组后能直接运用公式
【例5】把
x?y?ax?ay
分解因式.
22
分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解
因式,其中一个因式是
x?y
;把第三、四项作为另一组,在提出公因式
a
后,另一个
因式也是
x?y
.
解:
x?y?ax?ay?(x?y
)(x?y)?a(x?y)?(x?y)(x?y?a)
【例6】把
2x?4xy?2y?8z
分解因式.
分析:先将系数2提出后
,得到
x?2xy?y?4z
,其中前三项作为一组,它是
222
22222
一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
解:
2x?4xy?2y?8z?2(x?2xy?y?4z)
222222
?2[(x?y)
2
?(2z)
2
]?2(x?y?2
z)(x?y?2z)
说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能
直接运用公
式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那
么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
三、十字相乘法
1.
x?(p?q)x?pq
型的因式分解
2
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1) 二次项系数是1;(2)
常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因
数之和.
x
2
?(p?q)x?pq?x
2
?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)
(x?q)
41
因此,
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
【例7】把下列各式因式分解:
(1)
x?7x?6
2
2
(2)
x?13x?36
2
解:(1)
6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7
2
?
x
(2)
?7x?6?[x?(?1)x][??(6)?]x(?x1
.
)?(
6)
36?4?9,4?9?13
2
?
x?13x?36?x(?4x)(?
9)
说明:此例可以看出,常数项为正数时,
应分解为两个同号因数,它们的符号与一
次项系数的符号相同.
【例8】把下列各式因式分解:
(1)
x?5x?24
2
(2)
x?2x?15
2
解:(1)
?24?(?3)?8,(?3)?8?5
2
? x
(2)
?5x?24?x[?(?3)x](?8?)x(?x3)(
?8)
?15?(?5)?3,(?5)?3??2
2
?
x?2x?15?x[?(?5)x](?3?)x(?x5)(
?3)
说明:此例
可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较
大的因数与一次项系数的符号相同
.
(1)x?6x?5
(2)x?4x?21
(3)
x
2
?11x?30
(4)
x
2
?x?12
练:
【例9】把下列各式因式分解:
(1)
x?xy?6y
22
22
22
(2)
(x?x)?8(x?x)?12
222
2
分析:(1) 把x?xy?6y
看成
x
的二次三项式,这时常数项是
?6y
,一
次项系
数是
y
,把
?6y
分解成
3y
与
?
2y
的积,而
3y?(?2y)?y
,正好是一次项系数.
2
(2) 由换元思想,只要把
x?x
整体看作一个字母
a,可不必写出,只当作
42
2
分解二次三项式
a?8a?12
.
解:(1)
x?xy?6y?x?yx?6?(x?3y)(x?2y)
(2)
(x?x)?8(x?x)?12?(x?x?6)(x?x?2)
22222
2222
2
?(x?3)(x?2)(x?2)(x?
1)
4263
练:(1)
x?7x?18
(2)
a?a?12
2.一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
2
大家知道,<
br>(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)?a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
.
2
反过来,就得到:
a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
2
我们发现,二次项系数
a
分解成
a
1
a<
br>2
,常数项
c
分解成
c
1
c
2
,把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
写成<
br>a
1
a
2
1
,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到
ac
?
c
c
2
12
?a
2
c
1<
br>,如果它正好等于
ax
2
?bx?c
的一次项系数
b
,那么
ax
2
?bx?c
就可以分解成
(a
1
x?
c
1
)(a
2
x?c
2
)
,
其中
a
1
,c
1
位于上一行,
a
2
,c
2位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相
乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才
能确定一个二次三
项式能否用十字相乘法分解.
【例10】把下列各式因式分解:
(1)
12x?5x?2
2
(2)
5x?6xy?8y
22
解:(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)
2
3
4
?
?2
1
(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
22
1
2y
5?4y
?
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数
不是1时较困难,具体
分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减
法”
43
凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先
”凑”绝对值,然后调整,添加正、
负号.
练:(1)
12x?5x?2
(2)
?4x?5x?1
(3)
3x?10x?3
(4)
222
?x
2
?3x?18
【例11】因式分解:
2
(1)
(x?2x)?7(x?2x)?8
(2)
x?2x?15?ax?5a
222
分析:用十字相乘法分解因式也
要注意分解彻底,有时可能会多次使用十字相乘法,
并且对于项数较多的多项式,应合理使用分组分解法
,找公因式,如五项可以三、二组
合.
解:(1)原式
?(x?2x?1)(x?2
x?8)?(x?1)(x?2)(x?4)
.
(2)原式
222
?(x
2
?2x?15)?(ax?5a)
?(x?3)(x?5)?a(x?5)?(x?
5)(x?3?a)
.
练:(1)
12m?7mn?n
(2)
2x?ax?a?2
42242
四、其它因式分解的方法
1.配方法
【例12】分解因式
x?6x?16
解:
x?6x?16?x?2?x?3?3?3?16?(x?3)?5
222222
2
?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)
说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两
个平方式,然
后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.
2.拆、添项法
【例13】分解因式
x?3x?4
32
分析:此多项式显然不能直接提取
公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中
无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法
运算时,必是把一次项系数合
并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.
解:
x?3x?4?(x?1)?(3x?3)
3232
?(x?1)(x
2
?x?1)?3(x?1)(x?1)?(x?1)[(x
2?x?1)?3(x?1)]
?(x?1)(x
2
?4x?4)?(x?1)(x?2)
2
说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比
44
2
例,造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将
?3x
拆成
x?4y
,将多
22
2
项式分成两组
(x?x)
和
?4x?4
.
32
一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行:
(1)
如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;
(2)
如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
(3)
如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来
分解;
(4)
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
45
A 组
1.把下列各式分解因式:
(1)
a?27
(4)
?
3
3
练
习
(2)
8?m
(5)
8xy?
33
(3)
?27x?8
(6)
3
1
3
1
3
p?q
864
34
1
125
1
33
1
3
xy?c
21627
2.把下列各式分解因式:
(1)
xy?x
23
23
(2)
x
n?3
?x
n
y
3
232
(3)
a(m?n)?ab
(4)
y(x?2x)?y
2
3.把下列各式分解因式:
(1)
x?3x?2
(4)
x?6x?27
2
2
(2)
x?37x?36
22
2
(3)
x?11x?26
(6)
(a?b)?11(a?b)?28
2
2
(5)
m?4mn?5n
4.把下列各式分解因式:
(1)
ax?10ax?16ax
(2)
a
(4)
x?7x?18
2
543n?2
?a
n?1
b?
6a
n
b
2
(3)
(x
2
?2x)
2
?9
2
42
(5)
6x?7x?3
2
(6)
8x?26xy?15y
2
22
(7)
7(a?b)?5(a?b)?2
(8)
(6x?7x)?25
5.把下列各式分解因式:
(1)
3ax?3ay?xy?y
2
(2)
8x?4x?2x?1
(3)
32
5x
2
?15x?2xy?6y
(4)
4a
2
?20ab?25b
2
?36
(5)
4xy?1?4x
2
?y
2
(6)
a
4b?a
3
b
2
?a
2
b
2
?ab4
(7)
x?y?2x?1
663
(8)
x(x?1)?y(xy?x)
B 组
2
1.把下列各式分解因式:
46
(1)
ab(c?d)?cd(a?b)
(3)
x?64
2.已知
a?b?
4
32
2222
(2)
x?4mx?8mn?4n
(5)
x?4xy?2xy?8y
3223
22
(4)
x?11x?31x?21
2<
br>,ab?2
,求代数式
a
2
b?2a
2
b
2
?ab
2
的值.
3
53
3.证明:当
n
为大于2的整数时,
n?5n?4n
能被120整除.
4.已知
a?b?c
?0
,求证:
a?ac?bc?abc?b?0
.
3223
第二讲
因式分解答案
A组
1.
(a?3)(a?3a?9),(2?m)(4
?2m?m),(2?3x)(4?6x?9x),
222
?
1
1211
(2p?q)(4p
2
?2pq?q
2
),(2xy?)(
4x
2
y
2
?xy?),(xy?2c)(x
2
y
2
?2xyc?4c
2
)
645525216
22n22
2
.
x(x?y)(y?xy?x),x(x?y)(x?xy?y),
a
2
(m?n?b)[(m?n)
2
?b(m?n)?b
2
]
,y
2
(x?1)
2
(x
4
?4x
3
?3
x
2
?2x?1)
3.
(x?2)(x?1),(x?36)(x
?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3)
4
(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)
.
ax
3
(x?2)(x?8),a
n
(a?3b)(a?
2b),(x?3)(x?1)(x
2
?2x?3),(x?3)(x?3)(x
2<
br>?2)
(2x?3)(x3?1)x,(?2y
2
x)?(4y1
5a?),(b7?7a?2b?)(x?1),(x?2
2
1)x(?3x?5)(6
5.
(x?y)(3a?y),(2x?1)(2x?1),(x?3)(5x?2y),(2a?5
b?6)(2a?5b?6)
(1?2x?y)(1?2x?y),ab(a?b)
2
(a?b),(x
3
?1?y
3
)(x
3
?1?
y
3
),x(x?y)(x?y?1)
.
B组
47
1.
(bc?ad)(ac?bd),(x?4m?2n)(x?2
n),(x?4x?8)(x?4x?8),
22
(?3)x(?
<
br>(x?1)x
2.
7)x,?(
2
y2x)?(
.
y
2)
28
3
53
3.
n?5n?4n
?(n?2)(n?1)n(n?1)(n?2)
4.
a?ac?bc?abc?b?(a?ab?b)(a?b?c)
322322
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生
掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二
次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中
的二次函数、不等式及解析几何
等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关
系进行阐述.
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
,用配方法将其变形为:
2
b
2
b
2
?4ac
(x?)?
2
2a
4a
(1)
当
b?4ac?0
时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
2
?b?b
2
?4ac
x?
2a
(2)
当
b?4ac?0
时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:
x
1,2
??
(3) 当
b?4ac?0
时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
由于可以用
b?4ac
的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把
2
2
2
b
2a
b
2
?4ac
叫
做一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的根的判别式,表示为:
??b
2
?4ac
48
【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:
(1)
2x?3x?1?0
2
(2)
4y?9?12y
2
(3)
5(x
2
?3)?6x?0
解:(1)
??(?3)
2
?4?2?1?1?0
,∴
原方程有两个不相等的实数根.
2
(2)
原方程可化为:
4y?12y?9?0
2
??(?12)?4?4?9?0
原方程有两个相等的实数根. ,∴
(3)
原方程可化为:
5x?6x?15?0
2
??(?6
2
)?4?5?15??264?0
,∴ 原方程没有实数根.
说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.
练:说出下列各方程的根的情况
(1)
x?x?3
(2)
4x?4x?1
(3)
x?x?2
【例2】已知关
于
x
的一元二次方程
3x?2x?k?0
,根据下列条件,分别求出
k
的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根;
(3)方程有实数根;
解:
??(?2)?4?3?k?4?12k
2
222
2
(2) 方程有两个相等的实数根
(4) 方程无实数根.
1
;
3
1
(3)
4?12k?0?k?
;
3
二、一元二次方程的根解法
(1)
4?12k?0?k?
2
1
;
3
1
(4)
4?12k?0?k?
.
3
(2)
4?12k?0?k?
进一步地,在一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
有实数根的前提下,该实数根
具体是多?这就涉及到一元二次方程的根的求法 解法一(因式分解法)若
ax?bx?c
可分解为
(px?q)(mx?n),
那么由
ax?bx?c?0
可得
(px?q)(mx?n)?0<
br>从而得到
x??
2
2
q
n
或
x??
p
m
49
【典例】解一元二次方程
x?x?2?0
解:原方程可化为
(x?1)(x?2)?0
故
x?1或?2
练:解一元二次方程(1)
x?4x?12?0
(2)
2x?x?6?0
(3)
22
2
?4x
2
?5x?1?0
解法二(配方法)一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
,用配方法将其变形为:
2
b
2
b
2
?4ac
(x?)?
两边开方即可得到方程的根
2a
4a
2
【典例】解一元二次方程
x?x?2?0
解:原方程可化为
(x?)?
2
919
?0
即
(x?)
2
?
424
1313
故
x???
从而
x???
即
x?1或?2
2222
2
22
1
2
练
:解一元二次方程(1)
x?4x?12?0
(2)
2x?x?6?0
(3)
?4x
2
?5x?1?0
解法三(公式法)对于一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
,
(1) 当
b?4ac?0
时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
2
2
?b?b
2
?4ac
x?
2a
(2) 当
b?4ac?0
时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数
根:
x
1,2
??
【典例】解一元二次方程
x?x?2?0
解:由
??b?4ac?9?0
所以原方程有两个不相等的实数根
2
2
2
b
2a
?b?b
2
?4
ac
?1?9?1?3
??
所以
x?
即
x?1或?2
2a
22
50
练:解一元二次方程(1)
x?4x?12?0
(2)
2x?x?6?0
(3)
22
?4x
2
?5x?1?0
三、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
的两个根为:
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x?,x?
2a2a
?b?b
2<
br>?4ac?b?b
2
?4acb
???
,
所以:
x
1
?x
2
?
2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac(?b)
2
?
(b
2
?4ac)
2
4acc
x
1
?x
2
????
2
?
2
2a2aa
(2a)4a
定理:如果一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
,那么:
2
bc
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?
aa
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六
世纪的法国数学家韦达发现,所以通常
把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是
??
0
.
【例3】若
x
1
,x
2
是方程
x?
2x?2007?0
的两个根,试求下列各式的值:
22
(1)
x
1
?x
2
;
2
(2)
11
?
;
x
1
x
2
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
; (4)
|x
1
?x
2
|
.
分析:本题若直接用求根公式
求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计
算.这里,可以利用韦达定理来解答.
解:
由题意,根据根与系数的关系得:
x
1
?x
2
??2,x
1
x
2
??2007
2222
(1)
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?2x
1x
2
?(?2)?2(?2007)?4018
(2)
x?x
2
11?22
??
1
??
x1
x
2
x
1
x
2
?20072007
51
(3)
(x
1
?5)(x
2<
br>?5)?x
1
x
2
?5(x
1
?x
2
)?25??2007?5(?2)?25??1972
(4)
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?(?2)
2
?4(?2007)?22008
说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
,
x?x
2
11
??
1
x
1
x
2
x
1
x
2
,
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
,
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
,
x
1
x
2
2?x
1
2
x
2
?x
1
x
2
(
x
1
?x
2
)
,
x
1
3
?x<
br>2
3
?(x
1
?x
2
)
3
?3x<
br>1
x
2
(x
1
?x
2
)
等等.韦达
定理体现了整体思想.
练:若
x
1
,x
2
是方程
2x?5x?3?0
的两个根,试求下列各式的值
22
(1)
x
1
?x
2
(2)
x
1
x
2
(3)
x
1
?x
2
;
2
(3)
11
?
; (4)
(x
1
?5)(x
2
?5)
;
x
1
x
2
(5)
|x
1
?x
2
|
A 组
2
习 练
1.一元二次方程
(1?k)x?2x?
1?0
有两个不相等的实数根,则
k
的取值范围是(
)
A.
k?2
2
B.
k?2,且k?1
C.
k?2
k?2,且k?1
D.
2.若
x
1
,x
2
是方程
2x?6x?3?0
的两个根,则
A.<
br>2
B.
?2
11
?
的值为( )
x
1
x
2
C.
1
2
D.
9
2
3.已知菱形ABCD的边长为5,两条
对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于
x
的方程
x?(2m?1)x?m?3
?0
的根,则
m
等于( )
52
22
A.
?3
B.
5
2
C.
5或?3
D.
?5或3
2
4.若
t
是一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的根,则判别式
??b?4ac
和完全
2
平方式
M?(2at?b
)
的关系是(
A.
??M
确定
)
C.
??M
2
B.
??M
2
D
.大小关系不能
5.若实数
a?b
,且
a,b
满足
a?8a
?5?0,b?8b?5?0
,则代数式
的值为( )
A.
?20
2
b?1a?1
?
a?1b?1
B.
2
C.
2或?20
D.
2或20
6.如果方程
(b?c
)x?(c?a)x?(a?b)?0
的两根相等,则
a,b,c
之间的关系是
______
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程
2x?8x?7
?0
的两个根,则这个
直角三角形的斜边长是 _______ .
8.若方程2x?(k?1)x?k?3?0
的两根之差为1,则
k
的值是 _____ .
2
9.设
x
1
,x
2
是方程
x?px?q
?0
的两实根,
x
1
?1,x
2
?1
是关于
x
的方程
2
2
x
2
?qx?p?0
的两实根,则
p
= _____ ,
q
= _____ .
c
=
_____ .10.已知实数
a,b,c
满足
a?6?b,c?ab?9
,
则
a
= _____ ,
b
= _____ ,
11.对于二次三
项式
x?10x?36
,小明得出如下结论:无论
x
取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?请您说明理由.
12.若
n?0
,关于
x
的方程
x?(m?2n)x?
2
2
2
1
mn?0
有两个相等的的正实数根,求
4
m
的值.
n
13
.已知关于
x
的一元二次方程
x?(4m?1)x?2m?1?0
.
2
(1)
求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两根为
x
1
,x
2
,且满足
111
???
,求
m
的
值.
x
1
x
2
2
53
14.已知关于
x
的方程
x?(k?1)x?
B 组
1.已知关于
x
的方程
(k?1)x?(2k?3)
x?k?1?0
有两个不相等的实数根
x
1
,x
2
.
(1) 求
k
的取值范围;
(2) 是否存在实数
k
,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出
k
的值;如果
不存在,请您说明理由.
2.已知关于
x
的方程
x?3x?m?0
的两个实数根的平方和等于
11.求证:关于
x
的
方程
(k?3)x?kmx?m?6m?4?0
有实数根.
3.若
x
1
,x
2
是关于
x
的方程
x?(2k?1)x?k?1?0
的两个实数根,且
x
1
,
x
2
都大于
1.
(1) 求实数
k
的取值范围;
(2) 若
22
22
2
2
1
2
k?1?0
的两根是一个矩形两边的长.
4
(1)
k
取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)
当矩形的对角线长是
5
时,求
k
的值.
2
x
1
1
?
,求
k
的值.
x
2
2
第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案
A组
54
1. B 2. A 3.A 4.A
5.A
6.
a?c?2b,且b?c
7. 3 8.
9或
?3
9.
p??1,q??3
11.正确 12.4
10.
a?3,b?3,c?0
2
13.
(1)??16m?5?0
(2)m??
14.
(1)k?
1
2
3
(2)k?2
2
B组
13
(2) 不存在
且k?1
12
2.
m?1
(1)当
k?3
时,方程为
3x?1?0
,有实根;(2)
当
k?3
时,
??0
也有
1.
(1)k?
实根.
3.(1)
k?
3
且k?1
; (2)
k?7
.
4
第四讲 不 等 式
初中阶段已经学习了一
元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一
步学习一元二次不等式和分式不等式等知识.
本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式
的必备知识.
一、一元二次不等式及其解法
1.形如
ax
2
?bx?c?0(或?0)
(其中a?0)
的不等式称为关于
x
的一元二次不
等式.
【例1】解不等式
x?x?6?0
.
分析:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 ---
正正(负负)得正、正负得
负”的原则,将其转化为一元一次不等式组.
解:原不等式可以化为:
(x?3)(x?2)?0
,
2
55
于是:
?
?
x?3?0
?
x?3
?0
?
x??3
?
x??3
或
?
?
?或
?
?x??3或x?2
x?2?0x?2?0x?2x?2
????
所以,原不等式的解是
x??3或x?2
.
说明:当把一元二次不
等式化为
ax?bx?c?0(或?0)
的形式后,只要左边可
以分解为两个一次因式
,即可运用本题的解法.
【例2】解下列不等式:
(1)
(x?2)(x?3)?6
2
2
(2)
(x?1)(x?2)?(x?2)(2x?1)
分析:要先将不等式化为
ax?bx?c?0(或?0)
的形式,通常使二次项系数为
正数.
解:(1)
原不等式可化为:
x?x?12?0
,即
(x?3)(x?4)?0
于是:
?
2
?
x?3?0
?
x?3?0
或
?
??3?x?4
?
x?4?0
?
x?4?0
2
所以原不等式的解是
?3?x?4
.
(2) 原不等式可化为:
?x?4x?0
,即
x
2
?4x
?0?x(x?4)?0
?
x?0
?
x?0
于
是:
?
或
?
?x?0或x?4
x?4?0x?4?0
??
所以原不等式的解是
x?0或x?4
.
2
2.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
与二次函数
y?ax
2
?bx?c (a?0)
及一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
的关系(简称:三个二次).
以二次函数
y?x?x?6
为例:
(1) 作出图象;
(2)
根据图象容易看到,图象与
x
轴的交点是
(?3,0),(2,0)
,即当
x??3或2
时,
y?0
.就是说对应的一元二次方程
x?x
?6?0
2
2
56
的两实根是
x??3或2
.
(3) 当
x??3或x?2
时,
y?0
,对应图像位于
x
轴的上方.就是说
x?x?6?0的解是
x??3或x?2
.
当
?3?x?2
时,
y
?0
,对应图像位于
x
轴的下方.就是说
x?x?6?0
的
解是
?3?x?2
.
一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:
(1)
将二次项系数先化为正数;
(2) 观测相应的二次函数图象.
①如果图象与
x<
br>轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
,此时对
应的一元二次方程有两个不相
等的实数根
x
1
,x
2
(也可
由根的判别式
??0
来判断) .
2
那么(图1):
ax?bx?c?0 (a?0) ? x?x
1
或x?x
2
2
ax?bx?c?0 (a?0) ?
x
1
?x?x
2
2
2
②如果图象与
x
轴只有一个交点
(?
的实数根
x
x
?x
2
??
b
,0)
,此时对应的一元二次方程有两个相等
2a
b
(也可由根的判别式
??0
来判断) .
2a
b
2
那么(图2):
ax?bx?c?0 (a?0)
? x??
2a
?c?0 (a?0) ?
ax?bx
无解
2
③如果图象与
x
轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根
(也可由根的判
别式
??0
来判断) .
57
?c?0 (a?0) ?
取一切实数
x
那么(图3):
ax?bx
2
?c?0 (a?0) ?
ax?bx
无解
2
如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理:
(1)
化二次项系数为正;
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根
x
1
,x
2
.那么“
?0
”型
的解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之外);“
?0
”型的解为
x<
br>1
?x?x
2
(俗称两根之间);
b
2
4ac?b
2
)?
(3) 否则,对二次三项式进行配
方,变成
ax?bx?c?a(x?
,
2a4a
2
结合完全平方式为
非负数的性质求解.
【例3】解下列不等式:
(1)
x?2x?8?0
2
(2)
x?4x?4?0
2
(3)
x?x?2?0
2
解:(1)
不等式可化为
(x?2)(x?4)?0
(2)
不等式可化为
(x?2)?0
(3)
不等式可化为
(x?)?
2
∴ 不等式的解是
?2?x?4
∴ 不等式的解是
x?2
1
2
2
7
?0
.
4
2
【例4】
已知对于任意实数
x
,
kx?2x?k
恒为正数,求实数
k
的取值范围.
解:显然
k?0
不合题意,于是:
?
k?0
?
k?0
?
k?0
???k?1
??
2
?
22
k??1或k?1
?
(?2)?4k
?0
?
k?1?0
?
22
【例5】已知关于
x
的不
等式
kx?(k?1)x?3?0
的解为
?1?k?3
,求
k
的值.
分析:对应的一元二次方程的根是
?1
和
3
,且对应的二
次函数的图象开口向上.根
据一元二次方程根与系数的关系可以求解.
?
?
k?0
?
k
2
?1
?
?k?1
解:由题意得:<
br>?
?1?3?
k
?
3
?
(?1)?3??
?
k
?
58
说明:本例也可以根据方程有两根<
br>?1
和
3
,用代入法得:
k(?1)
2
?(k
2
?1)(?1)?3?0
,
k?3
2
?3(k
2
?1)?3?0
,且注意
k?0
,从而
k?1
.
二、简单分式不等式的解法
【例6】解下列不等式:
(1)
2x?3
?0
x?1
(2)
x?3
?0
2
x?x?1
分析:(1) 类似于一元二次
不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一
次不等式组处理;或者因为两个数(式)相除异号
,那么这两个数(式)相乘也异号,可将
分式不等式直接转化为整式不等式求解.
(2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.
解:(1) 解法(一)
原不等式可化为:
33
??
?
2x?3?0
?
2x?3?0
?
x?
3
?
x?
或?或??1?x?
22
????
x?1?0x?1?0
2
??
?
?
x??1
?
?
x??1
解法(二)
原不等式可化为:
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
(2) ∵
x?x?1?(x?)?
2
3
.
2
1
2
3
?0
24
原不等式可化为:
x?3?0?x??3
1
【例7】解不等式
?3
x?2
解:原不等式可化为:
?
(3x?5)(x?2)?0
1?3x?53x?55
?3?0??0??
0?
?
?x??2或x??
x?2x?2x?23
?
x?2?0 说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
(2)
本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
?
x??2
?
x??2
?
x?2?0
?
x?2?0
15
??
?3?
?
或
?
?
?
或?x??或x??2
5
?
5
x?23
x??
?
3(x?2)?1
?
3(x?2)?1
?
x??
3
?
3
??
三、含有字母系数的一元二次
不等式
一元一次不等式最终可以化为
ax?b (a?0)
的形式.
59
b
;
a
b
(2)
当
a?0
时,不等式的解为:
x?
;
a
(3)
当
a?0
时,不等式化为:
0?x?b
;
①
若
b?0
,则不等式的解是全体实数;② 若
b?0
,则不等式无解.
(1) 当
a?0
时,不等式的解为:
x?
【例8】求关于
x
的不等式
mx?2?2mx?m
的解.
解:原不等式可化为:
m(m?2)x?m?2
(1) 当
m?2?0即m?2
时,
mx?
1
,不等式的解为
x?
(2)
当
m?2?0即m?2
时,
mx?1
.
①
0?m?2
时,不等式的解为
x?
②
m?0
时,不等式的解为
x?
2
1
;
m
1
;
m
1
;
m
③
m?0
时,不等式的解为全体实数.
(3)
当
m?2?0即m?2
时,不等式无解.
综上所述:当
m?0
或<
br>m?2
时,不等式的解为
x?
的解为
x?
1
;当0?m?2
时,不等式
m
1
;当
m?0
时,不等式的解
为全体实数;当
m?2
时,不等式无解.
m
222
练:解不等式(1)
x?2ax?a?1?0
(2)
ax?x?ax?1?0
【例9】已知关于
x
的不等式k?kx?x?2
的解为
x??
2
1
,求实数
k
的值.
2
b
a
分析:将不等式整理成
ax?b
的形式,
可以考虑只有当
a?0
时,才有形如
x?
的解,从而令
b1
??
.
a2
2
解:原不等式可化为:
(?k?1)x??k?2
.
?
?k?1?0
?
k??1
3
?
2?
所以依题意:
?
?k?2
.
??k??
?
3
1
2
k?1或?
??
??
?2
2
??k?1
60
练 习
A
组
1.解下列不等式:
(1)
2x?x?0
2
2
(2)
x?3x?18?0
(4)
x(x?9)?3(x?3)
2
(3)
?x?x?3x?1
2.解下列不等式:
(1)
x?1
?0
x?1
(2)
3x?1
?2
2x?1
2
(3)
??1
x
2x
2
?x?1
?0
(4)
2x?1
3.解下列不等式:
(1)
x?2x?2x?2
2
22
(2)
1
2
11
x?x??0
235
4.已知不等式<
br>x?ax?b?0
的解是
2?x?3
,求
a,b
的值.
5.解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m
.
6.已知
关于
x
的不等式
kx?2k?k?2x
的解是
x?1
,求<
br>k
的值.
2
7.已知不等式
2x?px?q?0
的解是?2?x?1
,求不等式
px?qx?2?0
的解.
2
B 组
1.已知关于
x
的不等式
mx?x?m?0
的解是一切实数,求
m
的取值范围.
2.若不等式
2
x?2x?
3
?1?
2
的解是
x?3
,求
k
的值.
k
k
22
3.解关于
x
的不等式
56x?ax?a
.
61
4.
a
取何值时,代数式
(
a?1)?2(a?2)?2
的值不小于0?
5.已知不等式
ax?bx?c?0<
br>的解是
?
?x?
?
,其中
?
?
?
?
0
,求不等式
2
2
cx
2
?bx?a?0
的解.
第四讲 不等式答案
A 组
1
?x?0 (2)?3?x?6 (3)x??1 (4)x??3
2
11
2.
(1)x??1或x?1 (2)x?或x?3
(3)x??2或x?0 (4)x??
22
1.
(1)?
3.(1) 无解 (2) 全体实数
4.
a?5,b?6
.
5.(1)当
m?2
时,
x?
体实数.
6.
k??1
7.
x?1
B 组
1.
m??
2.
k?5
3.(1)
a?0时,
?
1?m1?m
;(2)当
m?2
时,
x?
;(3) 当
m?2
时,
x
取全
m?2m?2
1
2
aaaa
?x?
;(2)
a?0
时,无解;(3)
a?0
时,
?x??
.
7887
4.
a??5或a?1
.
5.
x?
62
1
?
或x?
1
?
.
第五讲 二次函数的最值问题
二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
是初中函数的主要内容,也是高中学习的重
要
基础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量
x
取任意实数时的最值情况(当
2
4ac?b
2
b
,无最大值;当
a?0
时,函数
在
a?0
时,函数在
x??
处取得最小值
4a
2a
4ac?b
2
b
,无最小值.
x??
处取得最大值
4a<
br>2a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量
x
在某个范围内取值时,函数的
最值问
题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.
【例1】当
?2?x?2
时,求函数
y?x?2x?3
的最大值和最小值.
分析:作出
函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由
此得到函数的最大值、最小值及函
数取到最值时相应自变量
x
的值.
解:作出函数
的图象.当
x?
1
时,
y
min
??4
,当
x??2
时,
2
y
max
?5
.
【例2】当
1?x?2
时,求函数
y??x?x?1<
br>的最大值和最小值.
解:作出函数的图象.当
x?1
时,
y
min
??1
,当
x?2
时,
y
max
??5.
由上述两例可以看到,二次函数在自变量
x
的给定范围内,对应的图象是抛物
线上
的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.
根
据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量
x
的范围的图象形状各异.下面给
出一些
常见情况:
63
2
【例3】当
x?0
时,求函数
y??x(2?x)
的取值范围.
解:作出函数
y??x(2?x)?x?2x
在
x?0
内的图象.
可以看出:当
x?1
时,
y
min
??1
,无最大
值.
所以,当
x?0
时,函数的取值范围是
y??1
.
【例4】当
t?x?t?1
时,求函数
y?
2
1
2
5
x?x?
的最小值(其中
t
为常数).
22
分析:由于
x
所给的范围随着
t
的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相
对位置.
解:函数
y?
1
2
5
x?x?
的对称
轴为
x?1
.画出其草图.
22
1
2
5
t?t?
;
22
(1)
当对称轴在所给范围左侧.即
t?1
时:
当
x?t
时,
y
min
?
(2)
当对称轴在所给范围之间.即
t?1?t?1?0?t?1
时:
1
2
5
?1?1???3
;
22
(3)
当对称轴在所给范围右侧.即
t?1?1?t?0
时:
151
22
当
x?t?1
时,
y
min
?(t?1)?(t?1)??t?3<
br>.
222
当
x?1
时,
y
min
?
?
1
2
?
2
t?3,t?0
?
综上所述:
y?
?
?3,0?t?1
?
15
?<
br>t
2
?t?,t?1
2
?
2
在实际生活中,我们也会
遇到一些与二次函数有关的问题:
64
【例5】某商场以每件
30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销
售量
m
(件)与每件的销售
价
x
(元)满足一次函数
m?162?3x,30?x?54
.
(1)
写出商场卖这种商品每天的销售利润
y
与每件销售价
x
之间的函数关系式;
(2)
若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销
售利润为多少?
解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为
(x?30)
元,
那么
m
件的销售利润为
y?m(x?30)
,
又
m?162?3x
.
? y?(x?30)(162?3x)??3x
2
?252x?4860,30?x?54
(2)
由(1)知对称轴为
x?42
,位于
x
的范围内,另抛物线开口向下
?
当
x?42
时,
y
max
??3?42
2?252?42?4860?432
?
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432元.
A 组
2
习 练
1.抛物线
y?x?(m?4)x?2m?3
,当
m
= _____
时,图象的顶点在
y
轴上;当
m
=
_____
时,图象的顶点在
x
轴上;当
m
= _____ 时,图象过原点.
2.用一长度为
l
米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为
________ .
3.求下列二次函数的最值:
(1)
y?2x?4x?5
;
2
2
(2)
y?(1?x)(x?2)
.
4.求二次函数
y?2x?3x?5
在
?2?x?2
上的最大值和最小值,并求对应的
x
的
值.
5.对于函数
y?2x?4x?3
,当
x?0
时,求
y
的
取值范围.
6.求函数
y?3?5x?3x
2
?2
的最大值和最小值.
7.已知关于
x
的函数
y?x?(2t?1)x?t?1
,当
t<
br>取何值时,
y
的最小值为0?
B 组
65
22
2
1.已知关于
x
的函数
y
?x?2ax?2
在
?5?x?5
上.
(1)
当
a??1
时,求函数的最大值和最小值;
(2)
当
a
为实数时,求函数的最大值.
2
2
2.函数
y?x?
2x?3
在
m?x?0
上的最大值为3,最小值为2,求
m
的取值范
围.
3.设
a?0
,当
?1?x?1
时,函数
y??x?
ax?b?1
的最小值是
?4
,最大值是0,
2
求
a,b<
br>的值.
4.已知函数
y?x
2
?2ax?1
在
?1
?x?2
上的最大值为4,求
a
的值.
5.求关于
x
的二
次函数
y?x
2
?2tx?1
在
?1?x?1
上的最大值(
t
为常数).
第五讲 二次函数的最值问题答案
A 组
1.4
14或2,
3
2
l
2
2.
16
m
2
3.(1)
有最小值3,无最大值;(2) 有最大值
9
4
,无最小值.
4.当
x?
3
4
时,
y?
31
min
8
;当<
br>x??2
时,
y
max
?19
.
5.
y??5
6.当
x?
5
6
时,y3?
3
6
;当
x?
2
min
?
3<
br>或1时,
y
max
?3
.
7.当
t??
5
4
时,
y
min
?0
.
66
B 组
1.(1) 当
x?1
时,<
br>y
min
?1
;当
x??5
时,
y
max<
br>?37
.
(2) 当
a?0
时,
y
max<
br>?27?10a
;当
a?0
时,
y
max
?27?1
0a
.
2.
?2?m??1
.
3.
a?2,b??2
.
4.
a??
1
或
a??1
.
4
5.当<
br>t?0
时,
y
max
?2?2t
,此时
x?1
;当
t?0
时,
y
max
?2?2t
,此时
x?
?1
.
第六讲 简单的二元二次方程组
在初中我们已经学习了一元一次
方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌
握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中
学习圆锥曲线时,需要用到二元
二次方程组的解法.因此,本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法.
含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方
程.
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组
组成的方程组,叫做
二元二次方程组.
一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其
蕴含着转化思想:将二
元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.
?
2x?y?0
(1)
【例1】解方程组
?
2
2
x?y?3?0
(2)
?
分析:由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1),得
y?2x,代入方程(2)消去
67
y
.
解:由(1)得:
y?2x
(3)
将(3)代
入(2)得:
x?(2x)?3?0
,解得:
x
1
?1或x
2
??1
把
x?1
代入(3)得:
y
2
?2
;把
x??1
代入(3)得:
y
2
??2
.
22
?
x
1
?1
?
x
1
??1
∴原方程组的解是:
?
.
或
?
y?2y??2<
br>?
1
?
1
说明:(1)
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤:
①由二元一次方程变形为用
x
表示
y
的方程,或用
y
表示
x
的方程(3);
②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程;
③解消元后得到的一元二次方程;
④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知
数的 值;
⑤写出答案.
(2) 消
x
,还是消
y
,应由二
元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,
么最好消去系数绝对值较小的,如方程
x?2y?1?0
,可以消去
得
x?2y?1
,再代入消元.
那
x
,变形
(3) 消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的
值,
不能代入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根,
这一点 切记.
【例2】解方程组
?
?
x?y?11 (1)
?
xy?28 (2)
分析:本题可以用代入消元法解方程组,
但注意到方程组的特点,可以把
x
、
y
看
成是方程
z?11
z?28?0
的两根,则更容易求解.
解:根据一元二次方程的根与系数的关系,把
x
、
y
看成是方程
z?11z?28?0
的两根,解方程得:
z?4或z=7
.
2
2
?
x
1
?4
?
x
1
?7
或
?
∴ 原方程组的解是:
?
.
y?7y?4
?
1
?
1
说明:(1)
对于这种对称性的方程组
?
?
x?y?a
,利用一元二次方程的根
与系数的
?
xy?b
68
关系构造方程时,未知
数要换成异于
x
、
y
的字母,如
z
.
?
x?4
?
x?7
(2)
对称形方程组的解也应是对称的,即有解
?
,则必有解
?
.
y?7y?4
??
二、由两个二元二次方程组成的方程组
1.可因式分解型的方程组
方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程,则原方
程组可转化为两
个方程组,其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成.
22
?
?
x?y?5(x?y)
(1)
【例3】解方程组
?
2
2
?
?
x?xy?y?43 (2)
分析:注
意到方程
x?y?5(x?y)
,可分解成
(x?y)(x?y?5)?0
,
即得
22
x?y?0
或
x?y?5?0
,则可得到两个二元二次方程
组,且每个方程组中均有一个
方程为二元一次方程.
解:由(1)得:
x
2
?y
2
?5(x?y)?0?(x?y)(x?y)?5(x?y)?0?(x?y
)(x?y?5)?0
∴
x?y?0
或
x?y?5?0
∴
原方程组可化为两个方程组:
?
?
x?y?5?0
?
x?y?0或
?
2222
?
x?xy?y?43
?
x?
xy?y?43
用代入法解这两个方程组,得原方程组的解是:
?
x<
br>1
??1
?
x
2
?6
?
?
x
3
?43
?
?
x
4
??43
,
?
,
?
,
?
?
y??6y?1
?
1?
2
?
y
4
?43
?
y
3
?
?43
?
?
说明:由两个二元二次方程组成的方程组中,有一个方程可以通过因式分解
,化为
两个二元一次方程,则原方程组转化为解两个方程组,其中每一个方程组均有一个方程
是
二元一次方程.
2
?
?
x?xy?12
(1)
【例4】解方程组
?
2
?
?
xy?y?4
(2)
分析:本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数项,可得
到一个
二次三项式的方程.对其因式分解,就可以转化为例3的类型.
解:(1)
–(2)
?3
得:
x?xy?3(xy?y)?0
69
22
即
x?2xy?3y?0?(x?3y)(x?y)?0
∴
x?3y?0或x?y?0
22
∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组
:
?
?
x?3y?0
?
x?y?0
.
,
?
22
?
xy?y?4
?
xy?y?4
?
x
1
?3
?
x
2
??3
用代入
法解这两个方程组,得原方程组的解是:
?
.
,
?
y?1y??1
?
1
?
2
说明:若
方程组的两个方程均缺一次项,则消去常数项,得到一个二元二次方程.此
方程与原方程组中的任一个方
程联立,得到一个可因式分解型的二元二次方程组.
?
x
2
?y
2
?26
(1)
【例5】解方程组
?
?
xy?5
(2)
分析:(1) +(2)
?2
得:
(x?y)?36
(3)
,(1) -(2)
?2
得:
(x?y)?16
(4)
,
22
分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组.
解:(1) +(2)
?2
得:
x
2
?y
2
?2xy?36?(x?y)
2
?36?x?y?6或x?y??6
,
得:
x?y?2xy?16?(x?y)?16?x?y?4或x?y??4
.
解此四个方程组,得原方程组的解是:
222
(1) -(2)
?2
?
x
1
?5
?
x
2
?1
?
x
3
??1
?
x<
br>4
??5
,
?
,
?
,
?
.
?
?
y
1
?1
?
y
2
?5
?<
br>y
3
??5
?
y
4
??1
?x
2
?y
2
?a
?
x
2
?y
2
?a
说明:对称型方程组,如
?
、
?
都可以通过变形转化
为
?
x?y?b
?
xy?b
?
x?y?m
的形式,
通过构造一元二次方程求解.
?
?
xy?n
2.可消二次项型的方程组
【例6】解方程组
?
?
xy?x?3 (1)
3xy?y?8 (2)
?
分析:注意到两个方程都有
xy项,所以可用加减法消之,得到一个二元一次方程,
即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方
程组成的方程组.
70
解:(1)
?3?(2)
得:
3x?y?1?y?3x?1 (3)
2
代入(1)得:
x(3x?1)?x?3?3x?3?x
1?1或x
2
??1
.
分别代入(3)得:
y
1
?2或y
2
??4
.
∴ 原方程组的解是:
?
?
x
1
?1
?
x
2
??1
.
或
?
y?2y??4
?
1
?
2
说明:若
方程组的两个方程的二次项系数对应成比例,则可用加减法消去二次项,
得到一个二元一次方程,把它与
原方程组的任意一个方程联立,解此方程组,即得原方
程组的解.
二元二次方程组类型多样,消元与降次是两种基本方法,具体问题具体解决.
练 习
A 组
1.解下列方程组:
71
(1)
?
?
x?y
2
?6
y?x
?
(3)
?
?
x?y?1
?
2x
2<
br>?3xy?y
2
?5
2.解下列方程组:
(1)
?
?
x?y??3
?
xy?2
3.解下列方程组:
(1)
?
?
x(2x?3)?0
?
y?x
2
?1
(3)
?
?
(x?y?2)(x?y)?0
?
x
2
?y
2
?8
4.解下列方程组:
22
(1)
?
?
?
x?y?3
?
?
x
2
?y
2
?0
1.解下列方程组:
(1)
?
?
x?2y?3
x
2
?2y?3x?2?0
?
2.解下列方程组:
(1)
?
?
x?y?3
?
xy??2
3.解下列方程组:
(1)
?
?
22
?3x?y?8
?
?
x
2
?xy?y
2
?4
4.解下列方程组:
(1)
?
?
x
2
?y
2
?5
xy??2
?
(2)
?
?
x
2
?2y
2
?8
?y?2
?
x
(4)
?
?
x?2y?0
?
3x
2
?2xy?10
(2)
?
?
x?y?1
?
xy??6
(2)
?
?
(3x?4y?3)(3x?4y?3)?0
?
3x?2y?5
(4)
?
?
(x?y)(x?y?1)?0
?
(x
?y)(x?y?1)?0
(2)
?
?
xy?x?16
?
xy?x?8
B
组
(2)
?
?
2x?3y?1
?
2x
2?3xy?y
2
?4x?3y?3?0
(2)
?
?
x?2y?4
?
2xy??21
(2)
?
?
x
2
?y
2
?4
?
2xy?
?21
(2)
?
?
x?y?4
?
x
2
?y
2
?10
72
第六讲 简单的二元二次方程组答案
A 组
1.
?
8
?
x?
?
x
1
?
?
x
1
??3?
x
2
?2
?
x
1
?0
?
?
x?4
?
2
3
?
(1)
?
,
?<
br>,(2)
?
,
?
,(3)
?
,(4)
??
y??3
?
y
1
??3
?
y
2?2
?
y
1
?2
?
y??
2
?
y?
2
1
?
?
3
?
?
2.
(1)
?
3
10
?
10
?
x
2
??
2
,
?
2
?
10
?<
br>10
y??
2
4
?
?4
?
x
1??1
?
x
2
??2
?
x?3
?
x<
br>2
??2
,
?
,(2)
?
1
,<
br>?
?
y
1
??2
?
y
2
??1
?
y
1
??2
?
y
2
?3
.
3
?
7
?
13
x?
?
?
x
1
?3?1
?
?
x
2
??1?3
?
x<
br>3
??2
?
x
1
?0
?
?
2
2
?
x
1
?
?
x
2
?
?
,
?
,(2)
?
,
?
,
?
,
3
,
?
3
,(3)
??
y??15y?2
?
1
?
y
1
?3?1
?
?
y
2
?1
?3
?
3
?
y?
?
?
y
1
??1
?
y
2
??4
??
2
?
?4
1
?
1
?
x?x?
?
x
4?2
?
x
1
?0
?
?
2
2
?
?
3
2
?
x
4
?1
,(4)
?<
br>,
?
,
?
,
?
.
?
y??2y
?011y?0
?
4
?
1
?
y?
?
y??
?
4
23
?
?2
?
?2
?
?x
1
?
?
4.(1)
?
?
y?
1
?
?
6
?
6
?
6
?
6
x?x??
?
2
?
3
?
x
4
??
2
,
?
2
,
?
2
,
?
2
.(2)
???
6
?
6
?
6
?
6
y??y?y??
234
?
2
?
?2
?
?2?2
B 组
?
x?4
.
?
?
y?3
7
?
x??
?
?
x?
?5
?
x
2
?1
?
1
4
,
?x
2
?5
1.
(1)
?
1
,
?,(2)
??
3y
2
?3
?
y
1
?4
?
y
2
?1
?<
br>?
y??
1
?
?2
?
x
1
?7?
x
2
??3
?
x
1
?1
?
x
2
?2
??
2.
(1)
?
,
?
,(2)
?
3
,
?
7
y
1
??
?
y
2
?
?
y
1
??2
?
y
2
??1
?
?2?2
73
<
br>?
613
?
613
x?x
2
??
x
3
?2
?
?
x
1
?0
?
x
2?0
?
??
??
x
4
??2
1x??2
x?2
3.
?
?
?
13
?
1
3
3
4
(2),,,
????
(1)
?
,
?
,
?
,
?
y
1
?2
?
y
2
??2
?
y??2
?
?
y?2y??2
?y
4
?2
?
3
?
4
?
y?
2
13
?
y??
213
?
3
12
?
13?
13
??
?
x
1
?1
?
x
2
?3
x
1
?2
?
x
2
??1
?
x
3
?1
?
x
4
??2
4.
(1
)
?
,
(2),
?
,
?
,
?
,
?
?
?
y?3y?1
?
1
?
2
?
y
1
??1
?
y
2
?2
?
y
3
??2
?
y
4
?1
第七讲
分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法.本讲将要学习
可化为
一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超过三个分
式构成的分式方程的解法,会用”去分母”或”换元法”求方程的根,并会验根;(2)了解无
理方程
概念,掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法,会用”平方”或”换元法”求根,
并会验根.
一、可化为一元二次方程的分式方程
1.去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程
14x2
?
2
??1
.
x?2
x?4
x?2
分析:去分母,转化为整式方程.
解:原方程可化为:
14x2
???1
x?2(x?2)(x?2)x?2
方程两边各项都乘以
x?4
:
2
(x?2)?4x?2(x?2)?x
2
?4
即
3x?6?x?4
, 整理得:
x?3x?2?0
解得:
x?1
或
x?2
.
检验:把
x?1
代入
x?4
,不等于0,所以
x?1
是原方程的解;
把
x?2
代入
x?4
,等于0,所以
x?2
是增根.
74
2
2
22
所以,原方程的解是
x?1
.
说明:
(1) 去分母解分式方程的步骤:
①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母;
③去
括号,把所有项都移到左边,合并同类项; ④解一元二次方程; ⑤验根.
(2)
验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大.而分式方
程可能产生的增根,就是使
分式方程的分母为0的根.因此我们只要检验一元二次方程
的根,是否使分式方程两边同乘的各分式的最
简公分母为0.若为0,即为增根;若不
为0,即为原方程的解.
2.用换元法化分式方程为一元二次方程
x
2
2
3x
2
)??4?0
【例2】解方程 <
br>(
x?1x?1
分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难.但注意
到方程的
x
2
?y
,即得到一个关于
y
的一元二次方程.最
后在已知
y
的值的情结构特点,设
x?1
x
2
?y
. 况下,用去分母的方法解方程
x?1
x
2
?y
,则原方程可化为
:
y
2
?3y?4?0
解得
y?4
或
y??1
. 解:设
x?1
(1)当
y?4
时,
x
2
?4
x?1
,去分母,得
x2
?4(x?1)?x
2
?4x?4?0?x?2
;
(2)
当
y??1
时,
x
2
?1?5
??1?x
2
??x?1?x
2
?x?1?0?x?
.
x?12
检验:把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0.
所以,
x?2
,
x?
?1?5
都是原方程的解.
2
说明:用换元法解分式方程常见的错误是只求出
y
的值,而没有求到原方程的解,<
br> 75
即
x
的值.
8(x
2<
br>?2x)3(x
2
?1)
?
2
?11
.
【例3】解方程
2
x?1x?2x
x
2
?2xx
2
?1
分析:注意观察方程特点,可以看到分式
2
与
2
互为倒数.因
此,可
x?1x?2x
x
2
?2x
?y
,即可将原方程化为
一个较为简单的分式方程. 以设
2
x?1
x
2
?11
x<
br>2
?2x
?
?y
,则
2
解:设
2
x?2x
y
x?1
原方程可化为:
8y?
33
?
11?8y
2
?11y?3?0?y?1或y?
.
y8
x
2
?2x1
?1?x
2
?2x?x
2
?1?x??
; (1)当
y?1
时,
2
2
x?1
(2)当
y?
3
8
时,
3
x
2
?2x3
2
<
br>??8x
2
?x?x??1x?x???6x??或x??
2
.
3
2
5
x?1
8
检验:把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0.
所以,原方程的解是
x??11
,
x??3
,
x??
.
25
说明:解决
分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方
程,体现了化归思想.
二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程,叫做无理方程.
1.平方法解无理方程
【例4】解方程
x?7?x?1
分析:移项、平方,转化为有理方程求解.
解:移项得:
x?7?x?1
两边平方得:
x?7?x?2x?1
76
2
移项,合并同类项得:
x?x?6?0
2
解得:
x??3
或
x?2
检验:把
x??3
代入原方程,左边
?
右边,所以
x??3
是增根.
把
x?2
代入原方程,左边 =
右边,所以
x?2
是原方程的根.
所以,原方程的解是
x?2
.
说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤:
①移项,使方程的左边只保留含
未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;
②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;
④验根.
【例5】解方程
3x?2?x?3?3
分析:直接平方将很困
难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例
的模式,再用例4的方法解方程.
解:原方程可化为:
3x?2?3?
x?3
两边平方得:
3x?2?9?6x?3?x?3
整理得:
6x?3?14?2x?3x?3?7?x
两边平方得:
9(x?3)?49?14x?x
整理得:
x?23
x?22?0
,解得:
x?1
或
x?22
.
2
2
检验:把
x?1
代入原方程,左边=右边,所以
x?1
是原方程的根.
把
x?22
代入原方程,左边
?
右边,所以
x?2
2
是增根.
所以,原方程的解是
x?1
.
说明:含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤:
①移项,使方程的左边只保留一个含未知
数的二次根式;②两边平方,得到含未知
数的二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例4的说明.
2.换元法解无理方程
【例6】解方程
3x
2
?15x?2x
2
?5x?1?2
分析:
本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含
未知数的二次根式与其余有理
式的关系,可以发现:
3x?15x?3?3(x?5x?1)
.因
此,可以设
x
2
?5x?1?y
,这样就可将原方程先转化为关于
y
的一元二
次方程处理.
解:设
x
2
?5x?1?y
,则
x?5x
?1?y?3x?15x?3(y?1)
77
2222
22
原方程可化为:
3(y?1)?2y?2
,
即
3y?2
y?5?0
,解得:
y?1
或
y??
2
2
5
.
3
(1)当
y?1
时,
x
2
?5x?1?1
?x
2
?5x?0?x??1或x?0
;
(2)当
y??
5
时,因为
x
2
?5x?1?y?0
,所以方程无解.
3
检验:把
x??1,x?0
分别代入原方程,都适合.
所以,原方程的解是
x??1,x?0
.
说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,
体现了化归思想.
A 组
1.解下列方程:
(1)
练
习
2x?1x?5
?
(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)
(2)
xx?7
?
22
2x?11x?21x?12x?35
78
(3)
21
??1
2
y?4
y?2
2
(4)
152
??1
2
x?4
2?x
2.用换元法解方
程:
x?
3.解下列方程:
(1)
4
?4
x
2
(2)
x?2??x
x?5?x?7
(3)
x?3?2?x
4.解下列方程:
(1)
3x?1?x?4?1
(2)
2x?4?x?5?1
5.用换元法解下列方程:
(1)
x?12?x?0
(2)
x
2
?3x?x
2
?3x?6
B
组
1.解下列方程:
2x?541
??
x
2
?3x?2x
2
?4
x?2
x?41x?6
??
22
x?x?2
x?1
x?4
(1)
(3)
(2)
1x?11
??
2
x?7(2x?1)(x?7)
2x?3x?1
(4)
x?12x4x
??
2
?0
x?1x?1
x?1
2.用换元法解下列方程:
x
2
?5x24(x?1)
??14?0
(1)
x?1x(x?5)
2(x
2
?1)6(x?1)
?
2
?7
(2)
x?1
x?1
x
4
?2x
2
?1x<
br>2
?1
??2
(3)
2
x
x
3.若
x?1
是方程
4.解下列方程:
x1
??4
的解,试求
a
的值.
x?ax?a
3x6x
2
a?x
?
2
?
(2)
2
x?a
a?x
x?a
79
3
(1)
2
?2x
2
?4x?1
x?2x?3
5.解下列方程:
(1)
x
2
?x
2
?1?3
(2)
x?10?
6
x?10
?5
(3)
2x
2
?4x?3x
2
?2x?6?15
第七讲 分式方程和无理方程的解法答案
A 组
1.
(1)x??1
,(2)x??1,x??21,(3)y?0,y?1,(4)x?3,x??5
2.
x??2
3.
(1)x??1,(2)x?6,(3)x?
5?3
2
4.(1)
x?5
.(2)
x?20
.
5.
(1)x?9,(2)x?1,x??4
B 组
1.
(1)x??1?13,(2)x?3,(3)x?5,x??1,(4)x?
1
3
2.
(1)x?1,x?2,x??3,x??4,(2)x?1?2,x?
3?17
4
,(3)x??1
3.
?
2
2
4.
(1)x?0,x?2,x?
2?32
2
,(2)x??
1
2
a
5.
(1)x??2,(2)x?26,(3)x?3,x??1
80
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