初中与高中数学衔接中的因式分解

初中与高中数学衔接中的因式分解
大连理工大学附属高级中学
金钟植 高中数学中，式子的恒等变形是非常重要的数学变换，其中因式分解尤为重要。根据需
要，在对一些 式子整体分解或局部分解是高中数学学习中作为学生必须具备的基本技能，但
由于初中阶段新的课程标准 中对因式分解，较以往的标准降低了要求，所以刚上高中的学生
来说，在学习数学中遇到或多或少的困难 。为此，本文根据高中阶段所需要的有关因式分解
的要求，将初中阶段所学的因式分解的基础上加以补充 和拓宽。
现行的初中教材中，因式分解只介绍两种方法，即“提取公因式法”和“运用公式法 ”。
实际因式分解还有两种方法需要掌握，即“十字相乘法”和“分组分解法”，而这两种方法
在高中数学中都有用途，所以本文对因式分解的本质介绍的前提下，重点介绍后两种方法。
一、因式分解的概念
在现行初中教材中的因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积形式。
由概念不难看 出，因式分解的本质就是经过恒等变形，将一个多项式化成几个整式的“乘
积”的形式。所以过程是恒等 变形，结果是化成“乘积”的形式，所以关键是如何进行恒等
变形的问题。“提取公因式法”需要的过程 是：将多项式每个项中所含的相同“结构”，即公
因式提出来；“运用公式法”是从多项式的特殊“结构 ”，即逆向运用乘法公式的形式，运用
公式分解因式。
这里还需要补充高中阶段能用到的适合分解因式的公式还有：
a
3
?b3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
a?b?(a? b)(a?ab?b)
二、十字相乘法

我们来观察
3322

x
2
?5x?6?x
2
?(2?3)x?2?3
2
?x?2x?3x?2?3
?x(x?2)?3(x?2)?(x?2)(x?3)

又有在我们学习乘法运算时有：
(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab

因此在分解因式中有
x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

注意观察上式的系数。
对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式
x2
?px?q
，它的常数项可看
作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，也就是
令p=a+b，q=ab时，
x
2
?px?q?x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
，用此方 法分解因
式关键在于a与b的值的确定。如何确定，看下面的“十字相乘”与分解因式之间的对应关系：

b
1?
1
1
?
a
?ab?x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

a?b

2
2
即二次项系数和常数项分解以后重新相乘再加得到一次项系数，进而可以分解因式 。这
样的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。
所以用“十字相乘法”分解因式的结构必须是“二次三项式”的形式。
例1：分解因式：
（1）
x?5x?6

（2）
x?4x?21

2
2

1

分析：用十字相乘法分解因式时，首先要 找准各项的系数和常数项，然后利用
来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项 ，交叉相乘后结果作和，
应与一次项系数同，这样就分解出来了。


< br>评注：十字相乘时，要注意二次项系数和常数项分解后的搭配问题，比如：（1）中十字相乘
?6
1?
1
2
1
?
?1
?6
也可以有其他的方 式，，但这种方式只适合于多项式
x?7x?6
，而不是
?6?1??7
2< br>x?5x?6
。所以对每个二次三项式的分解因式，利用十字项乘法时，需要选择恰当的搭
配才能成功。
同步练习：
（1）
x?5x?6

（2）
x?3x?2

（3）
x?3x?4

（4）
x?x?12

例2：分解因式
（1）
x?2x?8

（2）
(a?b)
2
?4(a?b)?3

分析：要想用十 字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关
于某个整体的二次三项式，也可以 照上例方法进行因式分解，如（1）可以看作关于
x
的二
次三项式（2）可以看作关于 （a+b）的二次三项式。


同步练习：
（1）
x?5x?4

（2）
xy?3xy?2

（3）
(x?y)?3(x?y)?4


例3：分解因式
（1）
x
2
?3xy?2y
2

（2）
3 a
2
x
2
?15a
2
xy?42a
2
y< br>2


分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字 母，如（1）
可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先进行公因式的提取，再分 解，
记住，提取公因式是分解因式的第一步。


同步练习：
（1）
x?5xy?6y

（2）
x?10xy?9y


例4：分解因式：
（1）
2x?7x?3

（2）
4xy?5xy?9y


2
42222
2
42
2
2
2
2
42
2
22
2< br>22
4224

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断 试一试几种可分的情况，同
时注意符号的合理匹配。



同步练习：
（1）
3x?x?2

（2）
4x
4
?17x
2
y
2
?4y
4


三、分组分解法
先看一个多项式的分解因式：
2
(a?b)c?(a?b)d?(a?b)(c?d)
。
这个题目结构非 常清楚，有公因式
(a?b)
，所以直接提取即可。但如果待分解因式的
多项式是ac?bc?da?bd
，就不能直接提取公因式了，原因是把待分解的多项式由
(a?b )c?(a?b)d
变形为比这个更原始的结构
ac?bc?da?bd
，但我们知道 两个式子是
恒等的。这种情况下，分解因式的过程自然就是：
ac?bc?da?bd

?(a?b)c?(a?b)d?(a?b)(c?d)< br>。这样分解因式的方法叫做分组分解法，即将多
项式适当分组后经过局部分解，化成可以整体分解 的结构，最终可以整体分解的方法。不难
看出，运用分组分解法分解因式时，关键是分组，如何分组是这 种方法运用当中的难点。如
何突破这个难点呢？分组的方式一般是多样的，其中首先要考虑能够局部分解 ，将多项式化
成可以整体分解的结构。
例5 分解因式：
（1）
a
2
x
2
?b
2
y
2
?a
2
y< br>2
?b
2
x
2

（2）
a?2ab?b?4c

（3）
x
2
?2xy?y
2
?3x?3y?2
< br>（1）分析：在多项式
a
2
x
2
?b
2
y< br>2
?a
2
y
2
?b
2
x
2
中，第一项和第三项有公因式
a
，而第二
项和第四项也有公因式
b
， 这样观察到局部有公因式可提取，即可完成分组这个关键步骤。


评注：这个多项 式分组的方式还有一种，即第一项与第四项组合，第二项与第三项组合。如
何分组关键就是能否局部分解 。由于整体分解时运用的是“提取公因式法”，所以这种分组
分解法可叫做“间接提取公因式法”。 < br>（2）分析：在多项式
a?2ab?b?4c
中，前三项是完全平方式，而第四项除了负 号也
是完全平方形式，这样前三项分成一组，最后一项分成另一组就可以构造平方差的结构。
（2）解：
222
222
2
2
a
2
?2 ab?b
2
?4c
2
?(a?b)
2
?(2c)
2
?(a?b?2c)(a?b?2c)
评注：这个多项式的分解因式中，其他分组的方式是不能 进行分解因式的，比如前两项组合
在一起，后两项组合在一起，虽然都能局部分解，但不能进行整体分解 ，所以这种分组的方
式是失败的。在对多项式的结构没有观察清楚的前提下，分组失败是经常出现的，但 只要注
意分组的方向，即恒等变形过程中，化成能够在局部分解的前提下，又能整体分解的结构，
就能达到分解因式的目的。由于整体分解时运用的是“运用公式法”，所以这种分组分解法
可叫做“间 接运用公式法”。

22
（3）分析：在多项式
x?2xy?y?3x?3 y?2
中，前三项是完全平方的结构，第四和第


3

五有公因式3，最后一项做为常数项，即可构造十字相乘法的结构。
（2）此 题是二元二次多项式的特殊结构（三个二次项构成完全平方式），实际只要是可分解
的二元二次多项式， 其他结构的分解因式也可以经过局部分解，最后整体分解时也可运用十
字相乘法分解，所以第一种方法是 有局限性的。由于整体分解时运用的是“十字相乘法”，
所以这种分组分解法可叫做“间接十字相乘法” 。

同步练习：
（1）
ab?bc?ad?cd

（2）
x
2
?y
2
?2yz?z
2

(3)
x
2
?4xy?4y
2
?3x?6y?2

*例6 分解因式：
x
2
?3xy?2y
2
?2x?3y?1
分析：根据多项式的结构特点，经过分组和局部分解将它化成关于
x
的二次三项的结构（或
广义的十字相乘的结构），然后运用十字相乘法。

评注：本题除了上述两种方法之 外，只要是经过分组和局部分解把多项式化成二次三项的形
式，都能利用十字相乘法分解因式。比如：经 过分组和局部分解化成关于
y
的二次三项式的
结构
(2y?3(x?1)y? (x?1))
，不难看出，把多项式可以看成关于
(x?1)
的二次三项式的
结构等。
同步练习：
（1）
x
2
?xy?6y
2
?3x?y?2

*例7 分解因式：
x?4

分析：这个多项式不能直接运用上面所介绍的四 种方法分解因式，原因是不属于三种方法的
任何一种结构形式。但由于将这个多项式可以看做关于
x
的二次式：即
x
4
?4?(x
2
)
2
?2
2
，
则容易想到配方成：
x
4
?4?(x
2< br>)
2
?2
2
?(x
2
?2)
2
?4 x
2
，这样就可以分解因式。

评注：另一个角度看，实际是将合并后的多项式还原成原来的结构：
即
x?4?x? 4x?4x?4
，这样的过程我们可以说成是“填项或拆项分组法”，是“间
接分组分解法”的 一种。初中阶段，我们更多的是“合并”同类项，但实际数学变形当中，
“拆同类项”也是非常重要的， 而且不同的是：“合并”的结果是唯一的，但“拆”的形式
是无穷多种（如：
x?
2< br>22
22
4
2
4422
1
2
1
2< br>x?x?2x
2
?x
2
?3x
2
?2x
2< br>?...
），所以“拆”的时候要根
22
据我们需要的结构“拆”得准才可以。
除了“填项或拆项分组法”这种“间接分组分解法”以外，有的多项式首先化简才能
分组，这种 分解因式的方法也属于“间接分组分解法”，这种方法就叫做“化简分组法”。比
如：多项式
( ax?by)?(ay?bx)
的分解因式问题。
同步练习:
22
a4
?a
2
b
2
?b
4

四、因式分解方法的系统归类
综上所述，整个高中阶段的分解因式需要我们掌握的方法可归类为：

4