初高中数学中函数的衔接问题

谈谈初高中数学中函数的衔接问题
摘要:函数是高中数学研究的重点,在研究高中函数 知识之前,把
初中学的函数,尤其是二次函数问题,进行补充性的学习,对高中知
识做好渗透工 作,为学生进一步学习函数打好基础。
关键词:数学;函数;衔接
函数思想是高中数学中的 一种重要思想,它具有很强的抽象性和
实用性。一直以来都是高中数学研究的重点。可是我们的学生在初
中阶段接触的函数思想很有限,到了高中以后,直接对函数进行研
究,这样一来学生觉得很费力 ,所以在研究高中知识之前,有必要把
初中学过的函数——一次函数、反比例函数、二次函数再进行一下
补充性的学习,对高中的知识做好渗透工作,这样一来对学生进一
步学习函数会有相当大的好处 。
一、 定义域的认识
在初中的教学中,已给出了函数的概念,对于定义域的认识学生还不是很清楚,我们都知道函数有三要素,就是定义域、值域、对应
法则。研究函数必须在定义域优 先的情况下去研究,所以对定义域
的认识就显得尤为重要了。为了让学生尽快明白函数的定义域是什么,不妨直白地告诉他们,就是自变量的取值范围。针对具体函
数:y=2x+3来说吧,就是这里 x的取值,这里的x取值没有特别要求,
所以可以取到全体实数,所以此函数的定义域就为r。而如果题 目交
待,在x大于零时,研究函数y=2x+3,此时的函数定义域就不是全体
实数,而是(0 ,+∞),这里需要说明的是,给出一个函数,如果没有特

别说明的话,就是自然定义域 (所谓自然定义域,就是能使函数有意
义的所有自变量的取值),如果有说明的,按照说明给出定义域。 再
比如函数y=2x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),这里的自变量的取
值就是自然取 值。所以,在对具体函数进行研究时,一定要注意题目
隐含的条件,不要把函数的定义域找错。
二、利用熟悉的函数图像渗透函数单调性
一次函数是学生接触的第一个函数,也是最简单的函 数。不妨就
先利用此类函数,说明一下函数的单调性问题。就还用函数y=2x+3
来说明吧。 此函数学生很容易能画出函数图像,就它的图像进行一
下说明,这里的函数图像从左到右是从低到高的, 也就是说,这里的
y的取值是随x的增大而增大的。这样的函数我们就称之为在定义
域内是单调 的函数,如果把函数改一下,改成y=-2x+3的话,y的取值
就随x的增大而变小了。前者我们称之 为是单调递增函数,后者我
们称之为单调递减函数。在这里我们再看一下函数y=2x的图像,
这里的y的取值,并不是在定义域内y随x的增大而变小的,而是在
(-∞,0)与(0,+∞)内分别 是y随着x的增大而变小的。此时就不能
说这个函数在定义域内是单调递减的,而只能说在(-∞,0) 与(0,+
∞)分别是单调递减的。或者说,函数y=2x的单调递减区间为(-
∞,0),( 0,+∞)。下面我们再看一下二次函数y=(x+1)2的图像,此
函数图像y=(x+1)2在对称 轴x=-1的左侧,y随x的增大而变小,在
对称轴x=-1的右侧,y随x的增大而增大。此时我们说 ,函数在(-
∞,-1)是单调递减的,在(-1,+∞)是单调递增的。通过二次函数

y=(x+1)2的图像说明,一个函数,在定义域内不一定就是单调递增
或是单调递减的。它 可以在某一范围内递增或递减,我们把这一范
围称之为区间。比如说上面的二次函数y=(x+1)2的 单调递减区间
为:(-∞,-1);单调递增区间为(-1,+∞),针对说明,可以再看一下
二次函数y=-2x2+4x+1的图像,此函数在对称轴x=1的左侧是单调
递增的,在对称轴x=1 的右侧是单调递减的。那么如果在函数
y=x2+2x-2中,对x的取值进行限制,函数的图像就不在 是原来图像
的全部,而是我们给定的范围内的部分图像。如函数y=x2+2x-2,x
∈(- 2,+∞),在此限定的范围内,函数y=x3+2x-2在(-2,-1)内是单
调递减的,在(-1 ,+∞)内是单调递增的。再如二次函数
y=-2x2+4x+1,x∈(-2,3),在此限定范围内 ,函数y=-2x2+4x+1的单
调递减区间为(1,3),单调递增区间为(-2,1)。通过以上 说明,让学
生明白,一个函数,在不同的定义域限制情况下,单调区间是不一样
的。再有,一个 函数在定义域内不一定是单调的,它可以有一个或多
个单调递增或递减区间。如函数y=12x3+2x 2+3x+1就有两个单调
递增区间(-∞,-3),(-1,+∞),一个单调递减区间(-3,-1 ),此类函
数将来会具体介绍。
三、函数值域
函数y=2x+3的定义域为r,那 么对应的y值也是r,此时我们称此
函数的值域为r。若对x取值进行一下限制,如x∈(0,+∞), 此时对
应的y的取值为(3,+∞),那么我们就称此时函数的值域为(3,+∞)。
所谓函数 的值域,就是一个函数在定义域范围内求出的函数值的范

围。要想研究函数的值域,必须 先研究函数的定义域。所以在研究
函数的问题上有一句话,定义域优先。其意思是说,只要研究函数,< br>就必须先研究定义域,只有在这个前提下,才能进行其他问题的研
究。(比如将来研究反函数问题 ,函数的奇偶性和函数的周期性问题
等)。我们把前面的函数在不同定义域下的值域分别求出来,以便提
高对前一句话的认识。二次函数y=x2+2x-2的值域为(-3,+∞)。而
y=x2+2 x-2,x∈(-2,+∞)的值域仍为(-3,+∞)。当x∈(2,+∞)时,
此函数的值域为(6 ,+∞);当x∈(-2,2)时,此函数的值域为(-3,6);
为了提高做题的速度和准确性,最好 把函数草图画出来,结合函数
定义域,找出相应的函数图像,从而易求出此时函数的值域。从中也
可以给学生一个直观的认识,研究函数问题时,当能画出函数草图
时,先画出草图再去研究,不仅方便 多了,也容易多了。再如二次函
数y=-2x2+4x+1,当x∈(-2,3)时,结合图像易知函数 值域为(-15,3);
当x∈(-2,0)时,结合图像易知函数值域为(-15,1)。可以根据需 要
再举具体例子,这里就不在列举了。
四、函数最值
函数的最值是指函数在给定的 定义域区间上能否取到最大(小)
值的问题。其实求函数最值问题,与求函数值域问题没太大区别,只< br>是注意一下交待结果就可以了。所以,在这里也需注意定义域,如不
注意,将会导致最值的错误。 下面结合函数的值域,把函数的最值问
题介绍一下。如二次函数y=x2+2x-2的值域为(-3,+ ∞),此函数的
最小值为-3,没有最大值。再如二次函数y=-2x2+4x+1,当x∈(-2,3 )

时,函数值域为(-15,3),此时函数有最大值3,没有最小值5;当x∈
(-2,0)时,函数值域为(-15,1),此时函数有最小值-15,没有最大值;
当x∈(-2 ,2)时,函数值域为(-15,3),此时函数的最大值为3,最小
值为-15。初做这类有条件的问 题时,往往会出现找不全最值的情况,
其实只要注意到已知条件的变化,再结合函数的值域,得出结论并
不难。利用二次函数求最值问题,在以后的学习中经常遇到,对二次
函数y=ax2+bx+c (a>0)定义域在r上求值域和最值问题往往问题不
大,下面就在指定的定义域区间(p,q)上,求 最值问题分情况说明一
下。
⑴ 当-b2a p时,y=f(x)在(p,q)上单调递减函数f(x)max=
f(p),f(x)min=f(q);
⑶ 当p≤-b2a≤q时,y=f(x)在(p,q)上最值情况是:
f(x)min=f(-b2a)=4ac-b22a, f(x)max =max[f(p),f(q)]。
即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。
以上 问题,说的是二次函数定义域在受到限制时,能结合具体条
件,求出不同条件情况下的最值问题。在做题 过程中若能注意定义
域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,这样
研究出的 问题才能全面,且能体现出学生思维的灵活性和严谨性。
其实二次函数在高中函数的学习中是很重要的 ,尤其在将来导数
的学习中,应用更是广泛。把二次函数的东西学懂,对我们将来进一
步的学习 有很大帮助。所以我们建议,在研究高中函数知识之前,把
初中学的函数,尤其是二次函数问题,再深挖 一下,让学生在已知的

情况下,去进行下一步的学习。