初高中衔接(含答案)

初高中数学衔接教材
1．二次根式
6
1.将下列式子化为最简二次根式：（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4xy(x?0)
．
解：（1）
12b?23b
； （2）
ab?a
2.计算：
3?(3?3)
．
解：原式 =
2
b?ab(a?0)
；（3）
4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
3?1
33?3
3?(3?3)
=＝.
2
9?3
(3?3)(3?3)
3.化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
200 5
＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2 )

＝
?
(3?2)?(3?2)
?
??
2004
?(3?2)
＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
．
1
?2(0?x?1)
．
2
x
2
4.化简：（1）
9?45
； （2）
x?
解：（1）原式
?5?45?4
?
（2）原式=
(x?)
?x?
(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
1
x
2
1
1
1
，∵
0?x?1
，∴
?1?x
， 所以，原式＝
?x
．
x
x
x
2．因式分解
1. 十字相乘分解因式：（1）
x
－3
x
＋2； （2）
x
＋4
x
－12；
（3）
x?(a?b)xy?aby
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）x－3x＋2＝(x－1)(x－2); （2）x＋4x－12＝(x－2)(x＋6);
（3）
x?(a?b)xy?aby
＝
(x?ay)(x?by)
; （4）
xy?1?x?y
＝
xy
＋(
x
－
y
)－1＝(
x
－1) (
y+
1)．
22
2. 求根公式分解因式：（1）
x?2x?1
； （2）
x?4xy?4y
．
2
22
22
22
22
解：（1）令
x?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2< br>，
x
2
??1?2
∴
x?2x?1
=
?x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

22
????
=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2） 令
x?4xy?4y
=0，则
x
1
?(?2?22)y
，< br>x
1
?(?2?22)y
，
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606
电话：李老师


22

∴
x
2
?4xy?4 y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
3. 判断根个数
1.判定下列关于
x
的方程的根的情况，如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）
x
－3
x
＋3＝0； （2）
x
－
ax
－1＝0；
（3）
x
－
ax
＋(
a
－1)＝0； （4）
x
－2
x
＋
a
＝0．
解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别 式Δ＝
a
－4×1×(－1)＝
a
＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数 根
22
2
22
22
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为：Δ＝
a
－4×1×(
a－1)＝
a
－4
a
＋4＝(
a－
2)，
所以 ，①当
a
＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当
a
≠2时，Δ＞0， 所以方程有两 个不相等的实数根
x
1
＝1，
x
2
＝
a－
1．
（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝2－4×1×
a
＝4－4
a＝4(1
－a
)，
所以①当Δ＞0，即4(1
－a
) ＞0， 即
a
＜1时，方程有两个不相等的实数根
x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即
a
＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝1；
③当Δ＜0，即
a
＞1时，方程没有实数根．
2
222
4.根与系数的关系（韦达定理）
1. 已知方程
5x< br>2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及
k
的值．
2
解：∵2是方程的一个根，∴5×2＋
k
×2－6＝0，∴
k
＝ －7．
所以，方程就为5
x
－7
x
－6＝0，解得
x1
＝2，
x
2
＝－
22
2
33
．所以 ，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．
55
2.已知关于
x的方程
x
＋2(
m－
2)
x
＋
m
＋4 ＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求
m
的值．
解： 设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x< br>1
＋
x
2
＝－2(
m－
2)，
x
1
·
x
2
＝
m
＋4．∵
x
1
＋x
2
－
x
1
·
x
2
＝21，
∴(
x
1
＋
x
2
)－3
x
1
·
x
2
＝21，即 [－2(
m－
2)]－3(
m
＋4)＝21，化简，得
m
－16
m
－17＝0，解得
m
＝－1，或
m
＝17．
当
m
＝－1时，方程为
x
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当
m
＝ 17时，方程为
x
＋30
x
＋293＝0，Δ＝30－4×1×293＜0， 不合题意，舍去．综上，
m
＝17．
3.若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
＋5
x
－3＝0的两根．
（1）求|
x
1
－
x
2
|的值； （2）求
2
22
2
2222
222
11
33
?的值； （3）
x
1
＋
x
2
．
x
1
2
x
2
2

地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606
电话：李老师

解：∵
x
1
和
x
2
分别 是一元二次方程2
x
＋5
x
－3＝0的两根，∴
x
1
?x
2
??
2
2222
53
，
x
1x
2
??
．
22
25497
＋6＝， ∴|
x
1
－
x
2
|＝．
42
4
（1）∵|
x
1
－
x
2
|＝
x
1
+
x
2
－2
x
1
x
2
＝(
x
1< br>＋
x
2
)－4
x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)
＝
5
2
2
3
2
（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
33
2
1
2
1
2< br>5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x2
)?2x
1
x
2
37
22
?
4．
???
2
39
(x
1
x
2
)9< br>(?)
2
24
2
2 2
（3）
x
1
＋
x
2
＝(
x
1
＋
x
2
)( x
1
－
x
1
x
2
＋
x
2< br>)＝(
x
1
＋
x
2
)[ (
x
1
＋
x
2
)－3
x
1
x
2
] ＝(－
5.解一元二次不等式
1.解不等式：（1）
x
＋2
x
－3≤0； （2）
x－x
＋6＜0；
（3）4
x
＋4
x
＋1≥0； （4）
x
－6
x
＋9≤0；
（5）－4＋
x
－
x
＜0．
2
22
22
2
55
2
3215
)×[(－)－3×(
?
)]＝－． < br>2228
解：（1）∵Δ＞0，方程
x
＋2
x
－3＝0的解是 x
1
＝－3，x
2
＝1．∴不等式的解为：－3≤
x
≤1．
（2）整理，得
x
－
x－
6＞0． ∵Δ＞0，方程
x< br>－
x－
6=0的解为：
x
1
＝－2，
x
2< br>＝3．∴所以，解为
x
＜－2，或
x
＜3．
（3）(2< br>x
＋1)≥0.由于上式对任意实数
x
都成立，∴原不等式的解为一切实数．
（4）(
x
－3)≤0.由于当
x
＝3时，(
x
－ 3)＝0成立；对实数
x
，(
x
－3)＜0都不成立，∴原不等式的解为
x
＝3．
（5）整理，得
x
－
x
＋4＞0．Δ＜ 0，所以，原不等式的解为一切实数.
2
222
2
22
2
6.
二元二次方程组解法 ?
x
2
?4y
2
?4?0,
?
x?y?7,< br>1.解方程组(1)
?
; (2)
?
;
xy?12.
?
?
x?2y?2?0.
?< br>x
1
?2,
?
x
2
?0,
?
x1
?4,
?
x
2
?3,
解：(1)原方程组的解是
?

?
; (2)原方程的解是:
?

?
;
y?0，y??1.y?3，y?4.
?
1
?
2
?
1
?
2
7.函数
1.求二次函数
y
＝
－
3
x
－6
x
＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 、最大值（或最小值），并指出当
x
取何值时，
2
y
随
x< br>的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵
y
＝
－3
x
－6
x
＋1＝－3(
x
＋1)＋4，∴函数图象的 开口向下；对称轴是直线
x
＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当
x
＝－1时，函数
y
取最大值
y
＝4；
当
x
＜－1时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x< br>＞－1时，
y
随着
x
的增大而减小；
2.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-606
电话：李老师


2
22

?
?22?a?b?c,
?
2
解得
a
＝－ 2，
b
＝12，
c
＝－8．所以，所求的二次函数为
y
＝－ 2
x
＋12
x
－8．
?
?8?c,
?
8 ?4a?2b?c,
?
3.已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线
y
＝
x
＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析
式．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．
又顶 点在直线
y
＝
x
＋1上，所以，2＝
x
＋1，∴
x
＝1．∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得
a
＝－2．∴二次函数的解析式为
y??2( x?2)
2
?1
，即
y
＝－2
x
2
＋8< br>x
－7．
4.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
解：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1 ，0)，∴对称轴为直线
x
＝－1．又顶点到
x
轴的距离为2，
∴ 顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋1)＋2，或
y
＝
a
(
x
＋1)－2，
由于 函数图象过点(1，0)，∴0＝
a
(1＋1)＋2，或0＝
a
(1＋1)－ 2．∴
a
＝－
22
22
11
，或
a
＝．
22
所以，所求的二次函数为
y
＝
－
11
22(
x
＋1)＋2，或
y
＝(
x
＋1)－2．
22
5.某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价
x
（元）与产品的日 销售量
y
（件）之间关系如下表所示：
x
元
y
件
130
70
150
50
165
35
若 日销售量
y
是销售价
x
的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件 产品的销售价应定为多少元？此时
每天的销售利润是多少？
解：由于
y
是< br>x
的一次函数，于是，设
y
＝
kx
＋
（B）
,将
x
＝130，
y
＝70；
x
＝150，
y＝50代入方程，
有
?
?
70?130k?b,
解得
k
＝－1，
b
＝200．∴
y
＝－
x
＋200．
?
50?150k?b,
2 2
设每天的利润为
z
（元），则
z
＝(－
x
+20 0)(
x
－120)＝－
x
＋320
x
－24000 ＝－(
x
－160)＋1600，
∴当
x
＝160时，
z
取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
8.变换
1.求把 二次函数
y
＝
x
－4
x
＋3的图象经过下列平移变换后得到 的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
解：二次函数
y
＝2
x
－4
x
－3的解析式可变 为
y
＝2(
x
－1)－1，其顶点坐标为(1，－1)．
（1） 把函数
y
＝2(
x
－1)－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后 ，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽苑山水1-6 06
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2
22
2

所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式:
y
＝2(
x
－3)－ 2．
（2）把函数
y
＝2(
x
－1)－1的图象向上平移3个单 位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，
所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式:
y
＝2(
x
＋1)＋2．
9．对称变换
1. 求把二次 函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图象关于下列直线对称后所得到 图象对应的函数解析式：
（1）直线
x
＝－1； （2）直线
y
＝1．
解：（1）二次函数
y
＝2
x－4
x
＋1的图象关于直线
x
＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位 置，不改变其形状．
由于
y
＝2
x
－4
x
＋1 ＝2(
x
－1)－1，可知，函数
y
＝2
x
－4
x
＋1图象的顶点为
A
(1,－1)，所以，对称后所得到
2
222< br>2
2
2
2

2
图象的顶点为
A
1< br>(－3，1)，所以，二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1 的图象关于直线
x
＝－1对称后所得到图象的函数解析式
为
y
＝2(
x
＋3)－1，即
y
＝2
x
＋12
x
＋1 7．
（2）把二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图 象关于直线
x
＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，
不改变其形状 ．由于
y
＝2
x
－4
x
＋1＝2(
x
－1 )－1，可知，函数
y
＝2
x
－4
x
＋1图象的顶点为A
(1,－1)，所以，对
称后所得到图象的顶点为
B
(1，3)，且开 口向下，所以，二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图象关于直 线
y
＝1对称后所得
到图象的函数解析式为
y
＝－2(
x< br>－1)＋3，即
y
＝－2
x
＋4
x
＋1.
22
2
222
2
22
地址：莲湖区西稍门十字向北200米路西，丽 苑山水1-606
电话：李老师