初高中数学衔接教材 §3.2 三角形(含答案)

3.2 三角形

3．2．1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。

图3.2-1 图3.2-2
图3.2-3
如图3.2-1 ，在三角形
?ABC
中，有三条边
AB,BC,CA
，三个角
?A,?B,?C
，三
个顶点
A,B,C
，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角 形中的三种重要线
段。
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的 重心在三角形
的内部，恰好是每条中线的三等分点。
例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。
已知:D、E、F分别为
?ABC
三边BC、CA、AB的中点，
求证:AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。
证明连结DE，设AD、BE交于点G，
?
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE
1

AB
，
2
图3.2-4
??GDE
∽
?GAB
，且相似比为1：2，
?AG?2GD,BG?2GE
。
设AD、CF交于点
G'
，同理 可得，
AG'2G'D,CG'2G'F.

则
G
与
G'< br>重合，
?
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
。 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，
它到三角形的 三边的距离相等。（如图3.2-5）
例2已知
?ABC
的三边长分别为
B Ca,ACb,ABc
，I为
图3.2-5

?ABC的内心，且I在
?ABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
，求证：
AEAF
bca
。
2
证明:作
?ABC
的内切圆，
则
D、E、F
分别为内切圆在三边上的切点，
?AE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
?AE?AF
，
同理，BD=BF，CD=CE。
?c?b?a?AF?BF?AE?CE?BD?CD

?AF?AE?2AF?2AE

即
AEAF
bca
。
2
图3.2-6
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。
已知:O为
?ABC
的重心和内心。
求证:
?ABC
为等边三角形。
证明:如图，连AO并延长交BC于D。
O为三角形的内心，故AD平分
?BAC
，
?
ABBD
（角平分线性质定理）
?
ACDC
图3.2-7
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC。
AB
??1
，即
AB
AC
同理可得，AB=BC。
AC
。
??ABC
为等边三角形。
图3.2-8
三角 形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定

在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。
（如图3 .2-8）
例4求证：三角形的三条高交于一点。
已知:
?ABC
中，< br>AD?BC于D,BE?AC于E，
AD与BE交于H点。
求证:
CH?AB
。
证明:以CH为直径作圆，
?AD?BC于D,BE?AC于E,

??HDC??HEC?90?

?D、E
在以CH为直径的圆上，
??FCB??DEH
。
同理，E、D在以AB为直径的圆上，
可得
?BED??BAD
。
??BAD??BCF
，
又< br>?ABD
与
?BCF
有公共角
?DBF
，
?BFC? ?ADB?90?
，即
CH?AB
。
过不共线的三点A、B、C有且只有一 个圆，该圆是
?ABC
的外接圆，圆心O为三角形
的外心。三角形的外心到三个顶点的 距离相等，是各边的垂直平分线的交点。
练习1 1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。








2．（1）若
?
ABC的面积 为S，且三边长分别为
a、b、c
，则
?
的内切圆的半径
是 。并请说明理由。
（2）若
Rt?
三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则
?
的内切圆的半径
是 。 并请说明理由。

3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰?ABC
中，三角
形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上。
图3.2-10 图3.2-11 图3.2-12

图3.2-13
例 5在
?ABC
中，
AB?AC?3,BC?2.
求:（1）
?ABC
的面积及
AC
边上的高
BE
；
（2）
?ABC的内切圆的半径
r
；（3）
?ABC
的外接圆的半径
R
。
解:（1）如图，作
AD?BC
于
D
。
AB?AC,?D
为
BC
的中点，
?AD?AB
2
?BD
2
?22
,
?S
?ABC
?
又
S
?ABC
?
1
?2?22?22< br>
2
42
1
。
AC?BE
,解得
BE?< br>3
2
（2）如图，
I
为内心，则
I
到三边的距离均为
r
，连
IA,IB,IC
，
S
?ABC
?S?IAB
?S
?IBC
?S
?IAC
，
即
22?
111
AB?r?BC?r?CA?r
，
222
2
。
2
解得
r?
（3）
?ABC
是等腰三角形，
?
外心
O
在
AD
上，连
B O
，
则
Rt?OBD
中，
OD?AD?R,
OB?BD?OD,

222

?R
2
?(22?R)
2
?1
2
,
解得
R?
92
.

8
在
Rt?ABC
中，
?A
为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I
在三角形的内部，且内切圆的半径为
的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC
2
bca
（其中
a,b,c
分别为三角形的三边BC,CA,AB
2
AB
2
BC< br>2
。
22
例6如图，在
?ABC
中，AB=AC，P为BC 上任意一点。求证：
AP?AB?PB?PC
。
证明：过A作
AD?BC
于D。
在
Rt?ABD
中，AD
2
在
Rt?APD
中，
AP
2
AB
2
AD
2
BD
2
。
DP
2
。
?AP
2
?AB
2
?BD
2
?DP
2
? AB
2
?(BD?DP)?(BD?DP)

?AB?AC,AD?BC,?BD?DC
。
图3.2-14
?BD?DP?CD?DP?PC
。
?AP
2
?AB
2
?PB?PC
。
正三角形三条 边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点
称为正三角形的中心。






例7已知等边
?ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为
h
1
,h
2
,h
3
，
?ABC
的高为
h
，“若点P在一边BC上，此 时
h
3
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在
?AB C
内（如图b），（2）点在
?ABC
外(如图c)，这两种情况时，上述
0
，可得结论：
h
1
h
2
h
3
h
。 ”

结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，
h
1
,h
2
,h
3
与
h
之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）。
解:（1）当点P在
?ABC
内时，
法一
如图，过P作
B'C'
分别交
AB,AM,AC
于< br>B',M',C'
，
由题设知
AM'
而
AM'
故< br>PD
即
h
1
法二
如图，连结PA、PB、PC，
? S
?ABC
?S
?PAB
?S
?PAC
?S
?PB C
，
PDPE
，
图3.2-16
AM
PE
PF
，
PFAM
，
h
2
h
3
h
。
1111
?BC?AM?AB?PD?AC?PE?BC?PF
，
2222
又
AB
即
h
1
BC
h
2
h
3
AC
，
?AM?PD?PE?PF
，
h
。
h
2
h
3
h
不成立，
h
1
猜想：
h
2
h
3
h
。
h
1
（2）当点P在?ABC
外如图位置时，
注意：当点P在
?ABC
外的其它位置时，还有 可能得到其它的结论，
如
h
1
h
2
h
3
h
，
h
1
h
2
h
3
h
（如图3. 2-18，想一想为什么？）等。
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二 ”
中灵活地运用了面积的方法。

练习2
1.直角
?
的 三边长为3，4，
x
,则
x
________。
图3.2-18
2.等腰
?
有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是
_______ __。
3.满足下列条件的
?ABC
，不是直角三角形的是（ ）
A.
b
2
a
2
c
2
B.
?A??B??C

C.
?A:?B:?C:?3:4:5
D.
a:b:c12:13:5

4.已知直角三角形的周长为
3?3
，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积。












5.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。

习题3.2
A组
1.已知：在
?ABC
中，AB=AC，
?BAC?120, AD
为BC边上的高，则下列结论中，正确
的是（ ）
A.
AD?
o
32
1
AB
B.
AD?AB
C.
AD?BD
D.
AD?BD

22
2
2.三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________。
4.已知:
a,b,c
是
?ABC
的三条边，
a?7,b? 10
，那么
c
的取值范围是_________。
5.若三角形的三边长分 别为1、a、8，且
a
是整数，则
a
的值是_________。
B组
1.如图3.2-19，等边
?ABC
的周长为12，CD是边AB上 的中线，E是CB延长线上一点，
且BD=BE，则
?CDE
的周长为（ ）。
A．
6?43
B．
18?123
C．
6?23
D．
18?43







图3.2-19
图3.2-20
图3.2-21
图3.2-22
2.如图3.2-20，在
?ABC
中，
?C?? ABC?2?A
，BD是边AC上的高，求
?DBC
的度
数。

3.如图3.2-2 1，
Rt?ABC
，
?B?90?,
M是AC的中点，AM=AN，MNAB ，求证：MN=AB。








4.如图3.2-22，在
?ABC
中，AD平分
?BAC
，AB+ BD=AC。求
?B:?C
的值。








5.如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为 BC上一点，且
EC
求证：
?EFA?90
。









图3.2-23
?
1
BC
，
4

C组
1.已知
k?1,b?2k,a?c?2k,ac?k?1
，则以
a、b、c
为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
2.如图3.2-24，把
?ABC
纸片沿DE折叠，当点A落在 四边形BCDE内部时，则
?A
与
?1??2

之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）。
A．
?A??1??2

B．
2?A??1??2

C．
3?A??1??2

D．
3?A?2(?1??2)

图3.2-24
24
3.如图3.2-25，已知BD是等腰
?ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：
?C?90
。






4.如图3.2-26，在等腰
Rt?ABC
中?C?90
，D是斜边AB上任一点，
AE?CD
于E，
o
?< br>图3.2-25
BF?CD
交CD的延长线于F，
CH?AB
于H， 交AE于G。求证：BD=CG。










图3.2-26

答案：
练习1 1．证略 2.（1）
2Sa?b?c
；（2）。
a?b?c2
o
o
练习2 1．5或
7
2.
20
或
80
3.C 4．设两直角边长为
a,b< br>，斜边长为2，
22
则
a?b?1?3
，且
a?b?4
，解得
ab?3
，
?S?
11
5.可利用面积证。
ab?3
。
22
习题3.2 A组 1．B 2. D 3.
120
4.
3?c?17
5.8
B组 1．A 2.
18
3．连
BM
，证
?MAB??AMN
。
4.在AC上取点E，使A E=AB，则
?ABD??AED
，
?B??AED
。又BD=DE=EC，
o
o
??C??EDC,??B:?C?2:1.

5．可证
?ADF~?FCE
，因而
?AFD
与
?CFE
互余，得
?EFA?90
。
C组 1．C。不妨设
a?c
，可得
a?k ?1,c?k?1,a?b?c
，为直角三角形。
2．B 3。在AB上取E使BE=BC，则
?BCD??BED
，且AE=ED=DC，
2 2222
o
?C??BED?2?A??A??B?180
o
??C,??C ?90
o
.

4．先证明
?ACE??CBF
，得CE=B F，再证
?CGE??BDF
，得BD=CG。