初高中数学衔接材料之二 乘法公式和因式分解的公式法

初高中数学衔接材料之二 乘法公式和因式分解的公式法

一.乘法公式
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
（3）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（4）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
；
（5）三数和平方公式
(a?b?c)
2
? a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（6）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（7）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．

二．因式分解的公式法
（1）平方差公式
a
2
?b
2
＝(a?b)(a?b)
；
（2）完全平方公式
a
2
?2ab?b
2
＝(a?b)
2
．
（3）立方和公式
a
3
?b
3
＝(a ?b)(a
2
?ab?b
2
)
；
（4）立方差公式
a
3
?b
3
＝(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
；
（5）三数和平方公式
a
2
?b< br>2
?c
2
?2(ab?bc?ac)＝(a?b?c)
2
；
（6）两数和立方公式
a
3
?3a
2
b?3a b
2
?b
3
＝(a?b)
3
；
（7）两数差立方公式
a
3
?3a
2
b?3a b
2
?b
3
＝(a?b)
3
．

三．典型例题
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x? 1)(x
2
?x?1)
．


222
例2 已 知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．


练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
a?b?(b?a)
（ ）；
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
（1）
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ） < br>2
1
2
1
2
1
2
2
（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

416
3
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值（ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
例3 分解因式：
（1）
a
5
b?ab
；

（2）
a4
(
m?n
)
?b
4
(
m?n
).
例4分解因式：
(1)
8?x
3
(2)
0.125?27b
3



例5分解因式：
(1)
3a
3
b?81b
4
(2)
a
7
?ab
6


例6. 若
x
3
?y
3
?27，x
2
?xy?y
2
?9
，求
x
2
?y
2
的值。


例7. 已知：
?
2
?
?
?1?0
，求
?
2001
的值。

四．练习题

1、代数式x
4
－81,x
2
－9,x
2
－6x＋9的公因式为（ ）
A、x+3 B、（x+3）
2
C、x－3 D、x
2
+9
2、若9x
2
－mxy＋16y
2
是一个完全平方式，则m=（ ）
A、12 B、24 C、±12 D、±24 3、若－
1
2
x
2
?ax?b
分解成
?
1
2
(x?4)(x?7)
，则a、b的值为（ ）
A、3或28 B、3和－28 C、－
33
2
和14 D、－
2
和－14
4、下列变形是因式分解的是（ ）
A、x
2
+x－1=（x+1）（x－1）+x, B、（3a
2< br>－b
2
）
2
=9a
4
－6a
2
b< br>2
＋b
4

C、x
4
－1=（x
2
+1）（x+1）（x－1）, D、3x
2
+3x=3x
2
（1+
1
x
）
5、若81－k x
4
=（9+ 4x
2
）（3+2x）（3－2x）,则k的值为（ ）
A、1 B、4 C、8 D、16
6、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、
1
a
2
+
2
9
ab＋b
2
B、a
2
－6a＋36 C、－4x
2
+12xy－9y
2
3
7、在有理数范围内把y
9
－y分解因式，设结果中因式的个数为n,则n =（
A、3， B、4 C、5 D、6

D、x
2
+x＋
1
4





），

8、下列多项式不含因式a+b的是（ ）
A、a
2
－2ab＋b
2
B、a
2
－b
2
C、a
2
+b
2
D、（a+b）
4
9、下列分解因式错误的是（ ）
A、4x
2
－12xy+9y2
=（2x+3y）
2
,B、3x
2
y+6xy
2+3y
3
=3y（x
2
+2xy+y
2
）=3y（x+ y）
2

C、5x
2
－125y
4
=5（x－y< br>2
）（x+y
2
） D、－81x
2
+y
2
=－（9x－y）（9x+y）
10、下列分解因式正确的是（ ）
A、（x－3）
2
－y< br>2
=x
2
－6x+9－y
2
, B、a
2
－9b
2
=（a+9b）（a－9b）
C、4x
6
－1=（2x
3
+1）（2x
3
－1）, D、2xy－x
2
－y
2
=（x－y）
2

11：分解因式：
⑴
(m?n)
2
?4(m?n)
2
；
⑵
(
m?n
)
2
?
12(
m?n
)
?
36

⑶
42xy?49x?
2
1
2
y

9⑷
24a
2
b
2
?6(a
2
?b
2< br>)
2

12.分解因式：
⑴
(m?2n)
2
?6(2n?m)(m?n)?9(m?n)
2
.
⑵
a?8ab?16b
；
⑶
(
m
2
?
2
m
)
2
?
2(
m
2
?
2
m
)
?
1
.
⑷
a?14ab?49b

⑸
9(2
a?b
)
?< br>6(2
a?b
)
?
1

2
4236
4224
13.已知
a?b?2
，求

1
2
1
a?ab?b
2
的值.
22
32 23
14.已知
x?y?1
，
xy?2
，求
xy?2xy? xy
的值.
15. 已知
x
和
y
满足方程组
?

16.分解因式：
（1）
a?1
；
（2）
4x?13x?9
；

（3）8a
3
－b
3
；
42
3
?
3x?2y?4
，求代数式
9x
2
?4y
2
的值。
?
6x?4y?3

17．因式分解下列各式：
(1)
(2)
(3)
x
3
?1

a
3
?8b
3

x
6
?y
6

18．把下列各式分解因式：
(1)
a?27

(2)
8?m

(3)
?27x?8

(4)
?
3
3
3








1
3
1
3
p?q

864
1
33
(5)
8xy?

125
1
33
1
3
xy?c
(6)
21627



19．把下列各式分解因式：
(1)
xy?x

(2)
x
n?3
34

?x
n
y
3

323
(3)
a(m?n)?ab

(4)
y(x?2x)?y

2232
2