初高中数学衔接教材(二次函数图像性质)教案

高一衔接教材——二次函数
一、 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

b4ac?b
2< br>,)
，对称轴为直线x＝－（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标 为
(?
2a4a
bbbb
；当x＜
?
时，y随着x的增大而 减小；当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，
2a2a 2a2a
4ac?b
2
函数取最小值y＝．
4a
b4ac?b2
2
,)
，对称轴为直线x＝－（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象 开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb
；当x＜
?
时 ，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时 ，
2a2a2a2a
4ac?b
2
函数取最大值y＝．
4a
2
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出 来．因此，在今后解决二次
函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．


2
y
b4ac?b
y
b

,)
A
(?
x＝－
2a4a

2a





O
x
O
x


b4ac?b
2
b

,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a

图2.2-4
图2.2-3

A(－1,4)
y
例1 求二次函数y＝< br>－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值（或 最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？
并画出该函数的图象．
解 ：∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
D(0,1)
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而
C O
B
x
减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
(
23?3
,0)
和
3
x＝－1
图2.2－5
2 3?3
C
(?,0)
，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5
3
所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以 直接选出关键点，减少了选
1 6 新会华侨中学2014级高一备课组

点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
练 习
1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，
函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小． 3．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大 值或最小值，并求当函
数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

二、二次函数的三种表示方式
1．一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，
2

抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个 数有关，而方程①的解的个数又与方程①的
根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可 知，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2< br>－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c( a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c (a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物
线y＝ax
2
＋bx ＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a ≠0)
与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx
＋c＝0的两根，所 以

= a[x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
bc
，x
1
x
2
＝，
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝a x
2
＋bx＋c＝a(
x?x?
)
aa
x
1
＋x
2
＝
?
2 6 新会华侨中学2014级高一备课组

由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系式可以表示 为y＝a(x
－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这
三 种表达形式中的某一形式来解题．
例2 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求
二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利 用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设
成顶点式，再由函数图象过定点来 求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后 设出二次函
数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用 条件简捷地
解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点 到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达
式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的 图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交
点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2
?x?
．
2222
所以，二次函数的表达式为y＝
分析二：由于二次函数的图象过点(－3， 0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴
的距离为2，可知顶点的纵坐标为2 ，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再
利用图象过点(－3，0)，或( 1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋ 2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
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所以，所求的二次函数为y＝
－
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式 和顶点式来
解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．



三、根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb

x
1
?x
2
?????
；
2a2a2aa
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b?4ac)4acc

x
1
x
2
????
2
?
．
2a2a4a
2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋ c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
bc
，x
1
·x
2
＝．这 一关系也被称为
aa
韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x< br>2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q ＝0
的两根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝ 0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例4 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但
由于我们学习了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数
和常数项，于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
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2

解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x
2
－7x－6＝0，解得x
1< br>＝2，x
2
＝－
所以，方程的另一个根为－
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3k
）＋2＝－，得 k＝－7．
55
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
例5 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数 分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化
出一元二次方程来求解．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
练 习
1．选择题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
（A）m＜
22
11
（B）m＞－
44
11
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
44
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
，则
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（2）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
作业：
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
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7
；
3

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0， 则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3 ．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个
相等的实数根？没有实数根？

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