【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题1

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因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变
形。在分式运算、解方程及各种 恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学
习的一项基本技能。

因式分解的方法 较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方
差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立 方和、立方差公式)、十字相乘法和
分组分解法等。

【知识梳理】

1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：

（1）平方差公式 ；
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

（2）完全平方公式 ．
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

（3）立方和公式 ；
(a?b)(a
2
?ab?b2
)?a
3
?b
3

（4）立方差公式 ；
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b< br>3

2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解
因式．

3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．

（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．

4．因式分解的思路：

（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

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（3）用分组分解 法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的
目的；

（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

（5）因式 分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）
不能再分解为止．
5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、
三检查（彻底分 解）．

【高效演练】

1．将下列各式因式分解：

（1）； （2）2x3﹣6x2+4x；
x
2
?6x?7

a4b?5
2
x
2
?2x?3

（3）； （4）；
a
2
?b
a
5
?xa01
（5）；
x
4
xa61?
3

（6） ；
a
2
b
2
?16ab?39

（7）；
1 5x
2n
?7x
n
y
n?1
?4y
2n?2

（8）；
?
x
2
?3x
?
?22
?< br>x
2
?3x
?
?72

2
1)7x?
【答案】(1) ； （2）2x（x﹣1）（x﹣2）；
(x()?

（3）；
(a?5b)(a?b)

2
（4）；
x
2
?x2 ??14??x1(??2)
2
??x1(2???1()x2?)?3(x()1)x

（5）；
ax
3
(x?2)(x?8)

（6）原式< br>?
?
ab
?
2
?16ab?39?
?
ab? 3
??
ab?13
?

（7）原式
?
?
3x
n
?y
n?1
??
5x
n
?4y
n? 1
?

（8）原式
?
?
x
2
?3x?4
??
x
2
?3x?18
?
?
?
x?4??
x?1
??
x?6
??
x?3
?

【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题

2.把分解因式 的结果是________________。
4x
4
y
2
?5x< br>2
y
2
?9y
2

【解析】：
4x
4
y
2
?5x
2
y
2
?9y
2

3.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为________________。
x
2
?y
2
?mx?5y?6

【解析】：x
2
?y
2
?mx?5y?6?
?
x?y
??
x?y
?
?mx?5y?6

-6可分解成或，因此，存在 两种情况：
?
?2
?
?3
?
?3
?
?2< br>
由（1）可得：，由（1）可得：
m?1m??1

【答案】
?1

【解题反思】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次 项能否分解成两个
一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

4.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。
?
a?c
?
2
? 4
?
b?a
??
c?b
?

求证：
a?b?b?c

5. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。
x< br>3
?5x
2
?7x?a
x?1

【解析】： 有一因式
?x
3
?5x
2
?7x?a
x?1

∴当，即时，
x?1?0x??1
x
3
?5x
2< br>?7x?a?0

【解题反思】由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式 有一个因
式是，
x??1x?1

分解时尽量出现，从而分解彻底。
x?1

6.已知：长方形的长、宽为x、 y，周长为16cm，且满足，
x?y?x
2
?2xy?y
2
?2? 0

求长方形的面积。

【分析】要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

【解析】：
?x?y?x
2
?2xy?y
2
?2?0

3 5
3 5

或[
?x?y?2?0x?y?1?0

又
?x?y?8

解得：或
?
.
?
x?5
?
x?35

?< br>?
y?3
?
y?4.5
63
2
cm

4
∴长方形的面积为15cm2或
7. 在多项式，哪些是多项式
x ?1，x?2，x?3，x
2
?2x?3，x
2
?2x?1，x
2< br>?2x?3

?
x
2
?2x
?
?10
?
x
2
?2x
?
?9
的因式？

42< br>【解析】：
?
?
x
2
?2
x
?
?1 0
?
x
2
?2
x
?
?9

42< br>∴其中是多项式
x?1，x?3，x
2
?2x?3，x
2
?2 x?1

?
x
2
?2x
?
?10
?
x
2
?2x
?
?9
的因式。

42
【解题反思】先正确分解，再判断。

8. 已知多项式有一个因式，求 k的值，并把原式分解因式。
2x
3
?x
2
?13x?k

【解析】：设
2x
3
?x
2
?13x?k?
?2x?1
?
?
x
2
?ax?b
?

则
2x
3
?x
2
?13x?k?2x
3
?
?
2a?1
?
x
2
?
?
a?2b
?
x?b

?
a??1
?
解得：
?
b??6

?
k??6
?
?k??6
且

【解题反思】待定系 数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次
式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二 次式，由多项式乘法法则可知其二
次项系数为1。

9. 分解因式：
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4

【解析】：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。

设
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4

【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题

?
m?3n?1
?
比较同类项系数，得：
?
2m?n?9

?
mn??4
?
解得：
?
?
m?4

?
n??1
10. 已知：， 求的值。
x?y?0.5，x?3y?12.
3x
2
?12xy?9y
2

【解析】：
3x
2
?12xy?9y
2

【解题反思】用因式分解可简化计算。

11.证明：若是7的倍数，其中x，y都是 整数，则是49的倍数。
4x?y
8x
2
?10xy?3y
2

【分析】：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的
形式。

【解析】： 证明一：
8x
2
?10xy?3y
2
?< br>?
2x?3y
??
4x?y
?

∵是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）
4x?y

∴是7的倍数
2
?
2x?3y
?

而2与7互质， 因此，是7的倍数，所以是49的倍数。
2x?3y
8x
2
?10xy?3y
2

5 5
5 5