最新数学初升高暑假衔接班教案

易学教育个性化教案
学生姓名
学科
课题
教学
目标

数学
授课老师
年级
李长江
初升高
授课日期
授课时段
教材版本
2016-7

暑假衔接班专题学案
1、认识初高中数学学习的特点和差异
2、了解高中数学的考法
3、了解高中数学的学习策略和学习方法
4、掌握初中知识点、技巧在高中课程中的应用
1、初高中数学知识差异与学法差异
2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。
重点
难点
3、高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教 材那样贴
近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。
4、客观问题是初高中知识之间存在断层 ，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应
高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学 习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一
个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢是教学中的重 点和难点。
一、学生对于本次课的评价
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
二、老师对于本次课的评价
课后
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
评价
三、作业
完成老师课上要求的题目


家长

意见


家长签名：


教研组长（主任）签字：
该页请在下一次上课时带回

教学目录
一、初升高数学衔接班学法指导
二、集合与函数的概念
三、集合的基本关系与集合的表示
四、函数的表示与函数的概念
五、函数的单调性
六、函数的奇偶性
七、基本初等函数——指数函数
八、基本初等函数——对数函数
九、基本初等函数——幂函数
十、梳理与检测

集合
集合的概念
【知识提炼】
1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系 是包含的关系，二者符号表示不同.
求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元 素.
2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、
数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.
3.空集是不含任何元素的集合， 因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，
要考虑到空集的可能性，如
A?
B
,则有
A
=
?
或
A
≠
?
两种可能，此时应分类讨论.
【概念梳理】
1.集合与元素
（1）集合元素的三个特征：_________、_______、 ________.

（2）元素与集合的关系是_____或________关系， 用符号_
?
___或___
?
__表示.

(3)集合的表示法：______、_______、_______、 _______.


2.集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A ，都有x∈B，则
A?B
（或
B?A
）.
若A
?
B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x
?
A， 则____（或____）.
?
_
?
__A；A_
?
_ _A；A
?
B，B
?
C
?
A__
?
__C .

(2)集合相等
若A
?
B且B
?
A,则_______.

3.集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=___{x|x∈A且x∈B}____；

补集：=__
{x|x?U且x?A}
___. U为全
集，
(2)集合的运算性质
并集的性质:
A∪
?
=A；A∪A=A；
交集的性质：
A∩
?
=
?
；A∩A=A；
补集的性质：
【要点解读】

要点一集合的基本概念
表示A相对于全集U的补集.
【例1】已知集合M={y|y=x＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
2

A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}



要点二集合的关系
【例2】若A={2，4,
a
－2
a
－
a
＋7},B={1,
a
＋1,
a
－ 2
a
＋2,－
322
1
23
(
a
－3a
－8),
a
＋
2
a
2
＋3
a
＋7}，且A∩B={2，5}，则实数
a
的值是________．




【变式训练】已知集合
A?xx
2
?3x?2?0,
B?xx
2
?ax?a?1?0
，且
??
??
AB?B
则
a
的值为______．







集合的含义与表示课堂回顾与练习

三维目标： < br>（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择
自然语言、 图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的
意义和作用。
（2）了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号。
重点：集合的基本概念与表示方法；
难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
1、集合的有关概念
集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研 究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也
简称集。

例1：下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过1.80米的学生；
变式训练1：
（1）判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
1）大于3小于11的偶数；2）我国的小河流。
（2）在数集{2x,x-x}中，实数x的取值范围是____________






2、集合的表示方法：
（1）集合通常用大写 的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常
用小写的拉丁字母表示，如a, b,c, 等。
（2）如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a
?
A;如果a 不是集合A的元素，
就说a不属于A，记作a
?
A。
3、常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作： N；（注意：0是自然
．．．．
数）
．
所有正整数组成的集合称为正整数集 ，记作：N
+
或N
*
。

全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；

全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；
2

全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。



练习：用符号
?
或
?
填空：
1N ，0N, -3N, 0.5N,

1Z , 0Z, -3Z, 0.5Z,

1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q,

1 R , 0 R, -3R, 0.5 R,


4、集合的表示方法：
先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的三种表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。
例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。



（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集 合的方法。一
般先在大括号内写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右面写上这个集< br>合的元素的公共属性。
例如：所有的奇数表示为：{x|x=2k+1,k
?
Z}


（3）自然语言法
5、 集合的性质：
（1）确定性：集合中的元素，必 须是确定的，不是含糊不清的，任何一个对象，都能
明确判断它是或者不是某全集合的元素，二者必居其 一。
2
N
2
Z,
2
Q,
2
R.

（2）互异性：集合中任何两个元素都是不相同的，在同一个集合中，相同的对象只能
算作一个元素。
例如：集合{1，1，2}只能当作只有两个元素的集合。应用写为{1，2}才为正确的。
（3）无序性：在用列举法表示一个集合，写出它的各个元素时，与排列先后的顺序没
有关系。
例如，对于集合：{-1，1，2}，也可以写成{1，2，-1}或{1，-1，2}等。
但是对于 一些列举法中用省略号“……”表示的集合，仍应按它的一定次序排列，（根据它
的特征）不能任意书写 。

例如，对于自然数集，应写成：{1，2，3，……}，而不能写成：｛3 ，2，1，……｝；
对于正偶数集，应写成：{2，4，6，……}，不能写成：{4，2，6，……} ，但对于数集：{1，
2，3，4，5}，则可表成：{3，1，5，2，4}。

例题讲解：
例2用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x
2
=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1~20以内的所有素数组成的集合。


例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x
2
-2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合


例4：下面一组集合中各个集合的意义是否相同？为什么？
{1，5} ；{（1，5）}；{5，1}；{（5，1）}
分析：对于这个集合问题，只有明确集合中元素的具体意义才能作出正确解答。

变式训练4：
(1)下面一组集合各个集合的意义是否相同？为什么？
P?{y?x
2
}
，
Q?{y|y?x
2
}
，
R?{x|y?x
2< br>}
，
S?{(x,y)|y?x
2
}

(2)用列举法表示集合{(x,y)|x ∈{1,2},y∈{1,2,3}}



三、课堂小结，巩固反思：

集合的三性：确实性，互异性，无序性。



四、随堂作业：

1.已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成三角形的三边长，那么
?ABC一定不是（）。
（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三形

2.已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－6x＋5=0}，用∈或< br>?
填空：
4A，4B，5A，5B

3.已知集合A＝{x| -3示是。

2
2
?
abab
?
??
??
4. 用列举法表示集合
G?
?
xx?
?
．
abab
??
??

集合的运算
要点三集合的运算
【例3】集合A={x|x＋5x－6≤0},B={x|x＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
22


【变式训练】设全集U={x|0U
B={1，5，7}，C
U
A∩C
U
B ={9}，
*
则集合A、B是________．


要点四集合的应用
【例4】已知集合A={x|x＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A ∩
R
?
=
?
，则实数m的取值范围
2

是_．


【变式训练】设A={x|－21}，B={x| x＋
a
x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，
A∩B={x|1a
、b的值











2
集合间的基本关系
（一）复习回顾：
（1）元素与集合之间的关系
（2）集合的三性：确定性，互异性，无序性
（3）集合的常用表示方法：列举法，描述法
（4）常见的数集表示

(二)新课讲解：
问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）
A?{1,2,3},B?{1,2,3,4,5}
；
(2)设A为我班第一组男生的全体组成的集合，B为我班第一组的全体组成的集合；
(3)设
C?{x|x是两条边相等的三角形},D?{x|x是等腰三角形};

(4)
E?{2,4,6},F?{6,4,2}
.


归纳：
①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中 的元素，我
们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
A?B(或B?A)

读作：A包含于B(或B包含A).
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
为了直观地表 示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为Venn图。如图l和图2分别 是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.

A
B


A,B
图1 图2
问题2：与实数中的结论“若
a?b,且b?a,则a?b
”相类比，在 集合中，你能得出什
么结论?


问题3：已知集合：
A={x| x=2m+1，m
?
Z}，B={x|x=2n-1，n
?
Z}，请问A与B
相等吗？。


（1）集合与集合之间的“相等”关系；
A?B且B?A
，则
A?B
中的元素是一样的，因此
A?B

?
A?B
即
A?B?
?

B?A
?
任何一个集合是它本身的子集。即：
A?A

（2）真子集的概念

若集合
A?B
，存在元素
x? B且x?A
，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset）。
记作：A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
（3）空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?

规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（4）结论：由上述集合之间的基本关系，可以得到关于子集的下述性质：
（1）．
A?A.
（类比
a?a
）
（2）．若
A ?B,B?C,
则
A?C
（类比
a?b
，
b?c
则
a?c
）
（3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2个，其真子集数为 2-1个，特
别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。


练习：
(1)0，{0}与
?
三者之间有什么关系?


(2) 包含关系
{a}?A
与属于关系
a?A
有什么区别?试结合实例作出解释.

(3)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?


(4)能否说任何一人集合是它本身的子集，即
A?A
?

(5)对于集合A，B，C，如果A
?
B，B
?
C，那么集合A与C有什 么关系?

nn

例 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？



变式训练2：
分别写出集合
?
，{0}，{0，1}，{0，1，2}的子集及其个数.


（2）已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（ ）
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个


例 用适当的符号表示下列各题元素与集合、集合与集合之间的关系。
0与
?；（2）
?
与{0}；（3）
?
与{
?
}；（4）1与 {（0，1）}


例 已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3， m2}，若B
?
A，则实数m=_____


课堂练习：
1、下面五个关系式：
(1)0
?
{0}；(2)0
?
{ 0}；(3)
?
=0；(4)
?
?
{0}；(5)
?
?
{0}其中正确的是（
（A）(1)(3) （B）(1)(5) （C）(2)(4) （D）(2)(5)

。






）

2、已知集合P={1，2}，那么满足Q
?
P的集合Q的个数是（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

3、以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．
①0与{0}；②0与?；③ ?与{0}；④{0,1}与{(0,1)}；⑤{(b，a.)}与{(a.，b)}．


4、已知集合
A?{x|a?x?5}
，
B?{x|x
≥
2}
，且满足
A?B
，求实数
a
的取值
范围。


5、已知集合



6、 有三个元素的集合A，B，已 知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的
值。



7、已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+m<0}，若B
?
A，则m的取值范围是
_______________m]



8、已知B={3,x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3,1}，使B=C，求a,x的值。



M?xx
2
?1?0,T?
?
xa x?1?0
?
,
??
若 求
a
的值．

????
11
9、已知集合A＝< br>?
x|x＝k＋，k∈Z
?
，B＝
?
x|x＝k，k∈Z?
，则A____B.
22
????











函数的表示法

一、请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？
答：列表法、图像法、解析法
二、师生互动，新课讲解
这三种表示法各有什么优、缺点？


列表法 图像法 解析法
用表格的形式把两个变量用图像把两个变量间的一个函数的对应关系可以用
定
间的函数关系表示出来的函数关系表示出来的方自变量的解析式表示出来的
义
方法 法 方法
不必通过计算就能知道两可以直观地表示函数的能叫便利地通过计算等手段
优
个变量之间的对应关系，比局部变化规律，进而可研究函数性质
点
较直观 以预测它的整体趋势
缺 只能表示有限个元素的函有些函数的图像难以精一些实际问题难以找到它的
点 数关系 确作出 解析式

例1、某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元 ．试

用三种表示法表示函数y=f(x)



注 意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图
象，也可以是对应值 表．


注意：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线 、离散的点等等，
○
注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
2 解析法：必须注明函数的定义域；
○
3 图象法：是否连线；
○
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
○





例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数< br>学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均
88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
分






例3、画出函数y = | x |

变式训练3：作出下列函数图象：

（1）y=|x-1|；（2）y=|x|-1；（3）y=|x
2
-2x-4|














例4、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计
算）．
如果某条线路的总 里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函
数解析式，并画出函数的图象．
< br>?
2
0?x?5
?
3
?
5?x?10
y?< br>?

?
4
10?x?15
?
?
5
1 5?x?20
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
y
5
4
3
2
1
O
5
101519x

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；






4、写出如图的函数解析式：






A组第



5、作出下列函数的图象
（1）y=|x+2|；(2)y=|x
2
-4x -3|；(3)y=x
2
+2|x|+1












函数的表示法（2）
一、复习回顾，新课引入

1、函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A
中的任意一个
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f (x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的函数。

2、映射
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．
例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B， 对应关系
f
：
国家
a
对应它的首都
b
．
这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系
f
，在集合B中都有
唯一确定的首 都与之对应．我们将对应
f:A?B
称为映射．
一般地，我们有：
映射定 义：设
A
，
B
是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系
f，使对
于集合
A
中的任意一个元素
x
，在集合
B
中都有惟一确定的元素
y
与之对应，那
么就称对应
f:A?B
为从 集合
A
到集合
B
的一个映射(mapping),记作
f:A?B
．


练习 判断下列对应是不是从
A
到
B
的映射？


A< br>9
1
4
开平方
3
-3
1
-1
-2< br>2
B
A
3
-3
1
-1
2
-2
求平方
9
1
4
B




A< br>图甲
求绝对值
3
-3
1
-1
2
-2
3
-1
1
0
2
B
A
3
-3
1-1
2
-2
图乙
一种对应
p
q
r
B< br>图丙图丁

说明：
①函数是 建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”
弱化为“任意两个非空集合”，按照某 种法则可以建立起更为普通的元素之间的
对应关系，这种的对应就叫映射
②这两个集合有先后 顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其
中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．



例1、以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
（1） 集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所
代表的实数对应。 < br>（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x
?
R, y
?
R},对应关
系f：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。
（3）集 合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都
对应它的内切圆；
（4）集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应
关 系f：每一个班级都对应班里的学生。


变式训练1：
（1）
A?R
，
B?{y|y?0}
，
f:x?y?|x|
；

（2）
A?{x|x?2,x?N
*
}
，
B?
?< br>y|y?0,y?N
?
，
f:x?y?x
2
?2x?2
；

（3）
A?{x|x?0}
，
B?{y|y ?R}
，
f:x?y??x
．
上述三个对应（2） 是
A
到
B
的映射．



例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：

(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；
(2)A=N,B=
N
*
，f:x→|x-2|；
(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.


变式训练2：设 集合
M?{x0?x?2}
，
N?{y0?y?2}
，从
M
到
N
有四种对应
y
如图所示：
y
2
y
2
y
2
O 1
①
2
x
O 1
②
2
x
O 1
③
2
x
O 1
④
2
x







2
其中能表示为
M
到
N
的函数关系的有_____②③____．


1 (x
?
-1)
变式训练3：画出函数 y= x
2
(-11
(x+1) (x
?
1)
2

函数的基本概念及表示梳理与小结
【知识提炼】
1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.
2.函数有三种 表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数
解析式
比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题
化归为
函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时
函数解
析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.
3.求用解析式y=< br>f
?
x
?
表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若
f
?
x
?
是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若
f
?
x
?
是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数 集；
③若
f
?
x
?
是二次根式，则函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于0的实数集合；
④若
f
?
x
?
是由几 个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实

数集合； ⑤若
f
?
x
?
是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应 符合实际问题.
4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是 一个
函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.
【基础归纳梳理】
1.函数的基本概念
（1）函数定义
设A，B是非空的，如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B
中都有的数
f
?
x?
和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数，记作
y=
f
?
x
?
,x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y =
f
?
x
?
,x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数 的；与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{
f
?
x
?< br>|x∈A}叫做函数的.显然，值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素：、和.
(4)相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依
据.
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有：、、.
3.映射的概念
设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f， 使对于集合A中的任意一个元素
x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为 从集合A到集合B的一个
映射.
4.由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种 特殊的映射，要注意构成函数的
两个集合A, B必须是.

【要点解读】
要点五函数与映射的概念
【例5】设集合
M?{?1,0,1}
，
N?{?2,?1,0,1,2}
，如果从
M
到
N
的映射
f
满足条件：

对
M
中的每个元素
x
与它在N
中对应的元素
f(x)
的和都为奇数，则映射
f
的个数是（ ）
A.8个 B.12个 C.16个 D.18个
要点六求函数的定义域
【例6】函数y=
log
1
(x?1)
的定义域是( )
2
2
A.［-
2
,-1］∪(1,
2
) B.(-
3
,-1)∪(1,
2
) C.［-2,-1］∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)
【变式训练】已知函数
f
?
x
?
定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：


要点七求函数的解析式
【例7】（1）已知
f(x?)?x?


（2）已知
f(?1)?lgx
，求
f(x)
；



（5）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内 ，西红柿的
市场价与上市时间关系用图（甲）的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图< br>（乙）的一条抛物线段表示。
（1） 写出图甲表示的市场售价与时间
的函数关系式< br>P?f(t)
；写出图
乙表示的种植成本与时间的函数
关系式
Q?g( x)
。
1
x
3
1
，求
f(x)
；
x
3
2
x

（2） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：
元10kg
，时间单位：天）

【变式训练】（1）若
f(x?1)?x?2x
,求
f(x)
。（2）已知
f(x)
=ax+b,且a
f(x)
+b=ax+8 求
2
f(x)
（3）动点
P
从边长为1的正方形
ABCD
的顶点
A
出发顺次经过
B
、
C
、
D
再回到
A。设
x
表示
P
点的行程，
y
表示
PA
的长，求
y
关于
x
的函数。






要点八 段函数和抽象函数
?
x
2
?4x, x?0
2
【例8】2010天津理（8）已知函数
f(x)?
?
若< br>f(2?a)?f(a),
则
2
?
4x?x,x?0
实数a
的取值范围是
A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)


【例9】20XX年重庆理(15) 已 知函数
f(x)
满足：
f(1)?
1
，
4
4f(x )f(y)?f(x?y)?f(x?y),

(x,y?R)
，则
f(2010)?
_______．


【变式训练】四川文12、已知函数
f(x)
是定义在实数集R上的不恒为 零的偶函数，且对任
意实数
x
都有
xf(x?1)?(1?x)f(x)
，则
f()
的值是
A. 0 B.
5
2
15
C. 1 D.
22

函数的概念再讲再练
一、复习回顾
设在一个变化过程中有两个变量x和 y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的
值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变 量x取值的集合叫
做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做
函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.

观察对应：

A
9
4
1
开平方
B
3
-3
2
-2
1
-1
A
求正弦
B
30
450
60
0
90
0
(2)
A
1
2
3
(4)
乘以2
0
1
2
2
3
2
2
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
- 3
(3)
求平方
B
1
4
9
B
1
2
3
4
5
6



（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个< br>x
，
在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的
函数，记作
y?f(x)
， x
?
A
其中
x
叫自变量，
x
的取值范围A叫做函 数
y?f(x)
的定义域；与
x
的值相对应的
y
的值
叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x?A
?
（
?
B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B的
子集。
函数符号
y?f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数
f(x)
.

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f:A?B

这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域；
?
f(x)|x?A
?：值域，其中
?
f(x)|x?A
?
? B ；
f
：对应法则 ，
x
?A ，
y
?B
（3）函数符号：
y?f(x)
?
y
是
x
的函数，简记
f(x)


例1：判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？

（1）x
2
+y=1 （2）x+y
2
=1



（二）已学函数的定义域和值域

函数

对应关系
定义域




值域


一次函数
a>0


二次函数
a<0


反比函数
?
4ac?b
2
??
4ac?b
2
?
< br>?
y|y?
??
y|y?
?
4a4a
????

（三）函数的值：关于函数值
f(a)

题：
f(x)
=
x
2
+3x+1 则 f(2)=
2
+3×2+1=11
注意：1、在
y?f(x)
中< br>f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2、
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3、
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数。
（四）函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
2


例题讲解
例2： 求下列函数的定义域：
①
f(x)?
11
；②
f(x)?3x?2
；③
f(x)?x?1?
.
2?x
x?2

例3： 已知函数
f(x)
=3
x
2
-5x+2，求f(3), f(-
2
), f(a+1).







例4：下列函数中哪个与函数
y?x
是同一个函数？
⑴
y?
??
x
2
x
；⑵
y?x
；⑶
y?x
（4）y=
x
2
3
32





例5：求下列函数的值域：
（1）
y?3x
；（2）
y?









（五）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念．
设
a,b
是两个实数，而且
a?b
．我们规定：
（1）满 足不等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，表示为
[a,b]
；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫做开区 间，表示为
(a,b)
；
（3）满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，分别表示
为
[a,b )
，
(a,b]
．
8
2
；（3）
y??4x?5
；（4）
y?x?6x?7
．
x

这里的实数
a,b
都叫做相应区间的端点．
实数 集
R
可用区间表示为
(??,??)
，我们把满足
x?a
，
x?a
，
x?b
，
x?b
的实
数
x
的集合分别表示为
[a,??)
，
(a,??)
，
(??,b]< br>，
(??,b)
．
“?”读作“无穷大”，“??”读作“负无穷大”，“+?”读作“正无穷大”．

二、课堂小结，巩固反思：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的 数集；
y?f(x)
表示y
是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定 义域和对应法则一经确定，值域
随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同 一函数；
f(a)
表
示
f(x)
在x=a时的函数值，是常量；而< br>f(x)
是x的函数，通常是变量。














函数的表示法回顾总结
一、复习回顾
1、函数的定义
设A，B是非空的 数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A
中的任意一个
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从 集合A到集合B的函数。

3、映射
函数是“两个数集间的 一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意
的集合时，就可以得到映射的概念．
例如， 欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B，对应关系
f
：
国家
a< br>对应它的首都
b
．
这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系
f
，在集合B中都有
唯一确定的首都与之对应．我们将对应
f:A?B
称为 映射．
一般地，我们有：
映射定义：设
A
，
B
是两个非 空集合，如果按某一个确定的对应关系
f
，使对
于集合
A
中的任意一 个元素
x
，在集合
B
中都有惟一确定的元素
y
与之对应，那
么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个 映射(mapping),记作
f:A?B
．
练习 判断下列对应是不是从
A
到
B
的映射？


A< br>9
1
4
开平方
3
-3
1
-1
-2< br>2
B
A
3
-3
1
-1
2
-2
求平方
9
1
4
B




说明：
A
3
-3
1
-1
2
-2
图甲
求绝对值
3
-1
1
0
2
B
A
3
-3
1
-1
2
-2
图乙
一种对应
pq
r
B
图丙图丁
①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的 条件“非空数集”
弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的
对应关系，这种的对应就叫映射
②这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的 ．其
中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

例1、以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？

（1）集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所
代表的实数对应。
（2）集合 A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x
?
R,y
?R},对应关
系f：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。
（3）集合A={x|x是 三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都
对应它的内切圆；
（4） 集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应
关系f：每一个班 级都对应班里的学生。


变式训练1：
（1）
A?R
，
B?{y|y?0}
，
f:x?y?|x|
；
（2）
A ?{x|x?2,x?N
*
}
，
B?
?
y|y?0,y?N
?
，
f:x?y?x
2
?2x?2
；
（3）A?{x|x?0}
，
B?{y|y?R}
，
f:x?y??x
．
上述三个对应（2） 是
A
到
B
的映射．
例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：
(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；
(2)A=N,B=
N
*
，f:x→|x-2|；
(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.

变式训练2：设集合
M?{x0?x?2}
，
N?{y0?y?2}
，从
M
到
N
有四种对应
y
如图所示：
y
2
y
2
y
2
O 1
①
2
x
O 1
②
2
x
O 1
③
2
x
O 1
④
2
x






2

其中能表示为
M
到
N
的函数关系的有_____②③____．


1 (x
?
-1)
变式训练3：画出函数 y= x
2
(-11
(x+1) (x
?
1)
2














函数的性质
【知识提炼】
1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数
f(x)
在其区间上的单调性，其步骤是（1）
设x
1
、x
2
是该区间上的任 意两个值，且x
1
＜x
2
； （2）作差f（x
1
）-f（x
2
），然后变形； （3）
判定f（ x
1
）-f（x
2
）的符号；（4）根据定义作出结论.
2.求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集; 其次掌握一次函数、二
次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数 的性质，

还可以利用导数的性质.
3.复合函数的单调性
对于 复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间
(g(a),g(b))或者(g(b), g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增
或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.
简称为:同增异减.
4.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;
(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
5.奇偶函数的定义是 判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先
将函数进行化简,或应用定义的等 价形式:
f(?x)
=±
f(x)
?
f(?x)
±
f(x)
=0
?
f(?x)
=±1(
f(x)
≠0).
f(x)
6.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简
化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.
【基础梳理】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义

增函数 减函数
一般地，设函数
f(x)
的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量
定
x
1
，x
2

义
当x
1
2
时,都有 f（x
1
） 2
)，那么就说函
数
f(x)
在区间D上是增函数
当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2< br>) ，那么就说函
数
f(x)
在区间D上是减函数

图
象
描
述

自左向右看图象是___上升的________
(2)单调区间的定义



自左向右看图象是____下降的 ______
若函数
f
?
x
?
在区间D上是______或________，则称函数
f
?
x
?
在这一区间上具有（严格
的）单调性，_______叫做
f
?
x
?
的单调区间.
2.奇函数、偶函数的概念
一般地,如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个x，都有___，那么函数f(x)
就叫做偶
函数. 一般地,如果对于函数
f(x)
的定义域内任 意一个x，都有____，那么函数
f
?
x
?
就叫
做奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.
4.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____, 偶函数在关于原点对称的区间上的
单调性______(填“相同”、“相反”）.
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是_____,两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积是________；
② 个奇函数，一个偶函数的积是_________.



函数的单调性
一、函数的单调性
观察函数y=x与y=x的图象，当x逐渐增大时，y的变化情况如何？

可观察到的图象特征：
2

（1）函数
f(x)?x
的图象由左至右是上升的； （2）函数
f(x)?x
的图象在
y
轴左侧是下降的，在
y轴右侧是上升的；也就是图象
在区间
(??,0]
上，随着
x
的 增大，相应的
f(x)
随着减小，在区间
(0,??)
上，随着
x< br>的增
大，相应的
f(x)
也随着增大．
归纳：从上面的观察分析可以 看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在
不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种 变化规律就是函数性质的反映．
2
f(x)?x
1．如何用函数解析式描述“随着< br>x
的增大，相应的
f(x)
随着减小”，“随着
x
的
2
增大，相应的
f(x)
也随着增大”？
在区间
(0,??)上任取
x
1
,x
2
，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何 关系？如何
用数学符号语言来描述这种关系呢？
2
f(x)?x
对于函数， 经过师生讨论得出：在区间
(0,??)
上，任取两个
x
1
,x2
，当
x
1
?x
2
2
f(x)?x
f (x)?f(x)
12
时，有．这时，我们就说函数在区间
(0,??)
上是 增函数．
2
f(x)?x
请你仿照刚才的描述，说明函数在区间
(??,0 ]
上是减函数．


2．增函数和减函数的定义
设函数
f(x)
的定义域为
I
：
（1）如果对于定义域< br>I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x< br>2
，当
x
1
?x
2
时，
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是增函数，区间D叫做函数的增区

（2）请你仿照增函数的定义给出 函数
f(x)
在区间
D
上是减函数的定义．
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1< br>)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间
D< br>上是减函数．区间D叫做函数的减区间。

例题选讲：

例1：图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出 x=f(x)的单
调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．

解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间
[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．
证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)
=3(x1-x2)．
由x1＜x2，得x1-x2＜0，
于是 f(x1)-f(x2)＜0，
即 f(x1)＜f(x2)．
所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数．





※用定义证明函数的单调性：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论



变式训练2：
（1） 证明函数y=

（2）证明函数
y?x?



1
在(0,+
?
)上为减函数。
x
1
在（1，+∞）上为增函数．
x

课堂练习：
1、证明函数
y?x?



2、作出函数y =－x
2
+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。
1
在（0，1）上为减函数．
x

3、已知函数f(x)是区间(0,+
?
)上的减函数，那么
(1)f(3)与f(2)的大小关系是_____________；
(2)f(a
2
-a+1)与f(



4、设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
○1 求f(0)、f(1)的值；
○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．



二、函数的最大（小）值
1、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
○



2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
○
（1 ）
f(x)??2x?3
（2）
f(x)??2x?3
x?[?1,2]
（3）
f(x)?x?2x?1
（4）
f(x)?x?2x?1
x?[?2,2]





22
3
)的大小关系是____________
4

（一）函数最大（小）值定义
1．最大值




一般地，设函数y=f(x)的定义域为
I
，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈
I
，都有f(x)≤M；
（2）存在x
0
∈
I
，使得f(x
0
) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．
设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果 存在实数
M
满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存 在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
． < br>那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的最小值
(minimu m value)
．
注意：
1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x
0
∈
I
，使得f(x
0
) = M；
○
2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈
I
，都有f(x)≤M
○
（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
（2）利用图象求函数的最大（小）值


1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b， c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b)；
2）如果函数y=f(x )在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)
在x=b处有最小值 f(b)；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

变式训练1：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一 边长为x，面
积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积
最大？











例2：求函数
y?








变式训练2：求函数y=







25
2
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
x?1
1
在区间[2,6]上的最大值和最小值。
x?1

函数的奇偶性

一、复习回础，新课引入
1、函数的单调性

2、函数的最大（小）值。

3、从对称的角度，观察下列函数的图象：
（3）
f(x)?x
；（4）
f(x)?
(1)f(x)?x
2
?1；（2）f(x)?x
；













1

x

二、新课讲解
（一）函数的奇偶性定义
像上面的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一 个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶
函数．

2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇
函数．




注意：
（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果 一个函数的
定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于
y< br>轴对称，奇函数的图
象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于
y
轴 对称，那么，这个函数是偶函
数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的

< br>图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
（4）偶函数：
f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?0
,
奇函数：
f(?x)??f(x)?f(x)?f(?x)?0
；
（5）根 据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇
非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

（二）典型例题

例1：判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)=x4
；（2）f(x)=x
5
；（3）f(x)=
x?






归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2
确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3
作出相应结论： ○
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
1
1
；（4）f(x)=
2

x
x
例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0) 上也是增函数

解：任取
x
1
,x
2
?(??,0)
， 使得
x
1
?x
2
?0
，则
?x
1
??x
2
?0

由于f(x) 在(0，＋∞)上是增函数
所以
f(?x
1
)?f(?x
2
)

又由于f(x)是奇函数
所以
f(?x
1
)??f(x
1
)
和
f(?x
2
)??f(x
2
)
由上得
?f(x
1
)??f(x
2
)
即
f(x
1
)?f(x
2
)

所以，f(x)在(－∞，0)上也是增函数
结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．





三、课堂练习

1、根据定义判断下列函数的奇偶性：
2x
2< br>?2x
3
2
（1）
f(x)?
；（2）
f(x)?x ?2x
；（3）
f(x)?x
（
x?R
）；（4）f(x)=0 （
x?R
）
x?1

2、若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_______。





3、若函数y=f(x) (x
?
R) 为偶函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是（）。
（A）(a, -f(a)) (B) (-a, -f(-a)) (C) (-a, f(a)) (D) (-a, -f(a))




4、已 知函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴有四个不同的交点，则方程f(x)=0的所有
实根的和 为（）。
（A）4 （B）2（C）1 （D）0



5、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7,-3 ]上是（）。
（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5
（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-5


6 、定义在R上的奇函数
f(x)
在整个定义域上是减函数，若
f(1?a)?f(1? a)?0
，求
实数
a
的取值范围。








7、已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)；求当x <0时，函数f(x)的解析式











2

解：设x <0，则－x >0
有f(－x)= －x [1+(－x)]
由f(x)是偶函数，则f(－x)=f(x)
所以f(x) = －x [1+(－x)]= x(x－1)
?
x(1?x),x?0

f(x)?
?
x(x?1),x?0
?

要点十函数的单调性
【例10】定义在R上的函数
f
?
x
?
满足：对任意实数
m,n
，总有
f
?
m?n
?< br>?f
?
m
?
?f
?
n
?
，
且
当
x?0
时，
0?f
?
x
?
?1．（1）试求
f
?
0
?
的值；
要点十一函数的奇偶性
【例11】判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)
=x




【变式训练】判断下列函数的奇偶性.
（1）
f(x)?


（2）
f(x)?
?
?
2n
2n?1
(n∈N, x≠0)（2）
f(x)
=log
2
(x+
x
2
?1
), x∈R
1?x
2
?x
2
?1
；
?
x(1?x)
?
x(1?x)
x?0
x?0



要点十二函数的最值或值域
【例12】求下列函数的值域：
（1）
y?3x?x?2
； （2）
y??x
2
?6x?5
；

2

【变式训练】求下列函数的值域
①y=3x+2(-1
?
x
?
1) ②
f(x)?2?4?x


要点十三函数的周期性
【例13】设 函数
f(x)
是定义在R上的以3为周期的奇函数，若
f(1)?1
，
f(2)?
的取值范围是 （ ）
（A）
a?
3
< br>4
3a?4
，则
a
a?1
（B）
a?
333
且
a??1
（C）
a?
或
a??1
（D）
?1?a?

4
4
4
【变式训练】 函数
f (x)
对于任意实数
x
满足条件
f(x?2)?
1
，若f(1)??5
，则
f(x)
f(f(5))?

要点十四函数的图像
e
x
?e
?x
【例14】山东6. 函数
y?
x
的图像大致为( ). w
?x
e?e


1




A
B
C
O
1

x
1
O
1
x
y
y
y
y
1
O

1
x
D
1
O
1
x
【变式训练】 已知图1中的图像对应的函数为
y?f(x)
，则图2中的 图像对应的函数在
下列给出的四式中，只可能是（）
A．
y?f(|x|)
B．
y?|f(x)|

C．
y?f(?|x|)
D．
y??f(?|x|)

要点十五函数的对称性
【例15】对函数y
=
f
(
x
)定义域中任一个
x
的值均有f
(
x
+
a
)=
f
(
a
－< br>x
),
(1)求证
y
=
f
(
x
) 的图象关于直线
x
=
a
对称；

(2)若函数
f
(
x
)对一切实数
x
都有
f
(
x+2)=
f
(2－
x
),且方程
f
(
x
)=0恰好有四个不同实
根，求这些实根之和


【变式训练】 已知函 数
y?f(2x?1)
为偶函数，则函数
y?f(2x)
图像关于直线对称， 函
数
y?f(x)
图像关于直线对称.
【原创题探讨】
【精典例 题1】已知定义在R上的奇函数
f(x)
，满足
f(x?4)??f(x)
, 且在区间[0,2]上
是增函数,则( ).
A.
f(?25)?f(11)?f(80)
B.
f(80)?f(11)?f(?25)

C.
f(11)?f(80)?f(?25)
D.
f(?25)?f(80)?f(11)


?
?
m1 ?x
2
,x?(?1,1]
【精典例题2】重庆理10．已知以
T?4
为周期的函数
f(x)?
?
，其中
?
?
1?x?2,x? (1,3]
m?0
。若方程
3f(x)?x
恰有5个实数解，则
m< br>的取值范围为（ ）
A．
(

【变式训练1】定义在R上的函数
f(x)
满足
f(x)
=
?
158
,)

33
B．
(
15
,7)

3
C．
(,)

48
33
D．
(,7)

4
3
?
log
2
(1?x),x?0
，则
f(x?1)?f(x?2),x?0?
f(2009)
的值为
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【变式训练2】设
a
为实数，函数
的取 值范围；(2)求
f(x)?2x
2
?(x?a)|x?a|
.(1)若f(0)?1
，求
a
f(x)
的最小值；(3)设函数
h(x) ?f(x),x?(a,??)
，直接写出(不需
．．．．
给出演算步骤)不等式h(x)?1
的解集.

?< br>x
2
+2x-3,x?0
fx)=
?
【变式训练3】（201 0福建文数）7．函数
（
的零点个数为 ( )
-2+lnx,x>0
?
A．3 B．2 C．1 D．0

基本初等函数
指数与指数幂的运算


一、新课学习
当 生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为
原来的一半，这 个时间称为“半衰期”．
1
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量
P
与死亡年数
t
之间的关系
P?()
5730
．
2
当生物死亡了5730，2?5730，3?5730，…年后，它体内碳14的含量
P
分别为
t
1
1
2
，
()
，
2
2
11
1
1
()
3
，…．是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…．
24
8
2
1
当生物死亡6000年，10000年，100000年 后，它体内碳14的含量
P
分别为
()
5730
，
2
11
()
5730
，
()
22

1、问题引入：
（1）若
x
2
?a
，则
x
叫
a
的 .如：
?2
是4的平方根
一个正数的平方根有个，它们互为数；负数没有平方根；零的平方根是.
（2）若
x
3
?a
，则
x
叫
a
的.如：
2
是 8的立方根，－2是－8的立方根。
一个正数的立方根是一个数，一个负数的立方根是一个数，0的立方根是.
（3）类比平方根 、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于
a
，则这个数叫
a
的；
一个数的五次方等于
a
，则这个数叫
a
的；一个数的六次方等于
a
，则这个数叫
a
的；……；
一个数的n次方等于
a
，则这个 数叫
a
的；
n*
一般地，如果
x?a
，则
x叫
a
的n次方根，其中
n?1
且
n?N
.
6 000
1
5730
，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．

问：（1）16的四次方根是 .32的五次方根是.－32的五次方根是.
（2）一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？


得出结论：
（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。
（2）一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数。
（3）0的任何次方根都是0。
n
?
n为奇数，a的n次方根有一个为a
即
a
为正数：
?

n
?
n为偶数，a的n次方根有两 个为?a
n
?
n为奇数，a的n次方根只有一个为a
a
为负数：?

n为偶数，a的n次方根不存在
?
零的n次方根为零，记为
n
0?0

注意： 正数
a
的正的
n
次方根
n
a
叫做
a
的
n
次算术根
指出： 式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫根指数，
a
叫被开方数。
234
探究 1：（1）
(5)
＝；
(
3
?27)
＝；
(
4
16)
＝.
（2）从（1）你有何发现？
（3）
(
n
a)
n
＝
a
一定成立吗？为什么？
得出结论：
(
n
a)
n
＝
a


探究2：（1）
3
＝；
3
(?2)
3
＝；
5
2
5
＝；
5
(?3)
5
＝.
（2）由（1）你发现了什么结论？
（3）
2
2
＝；
3< br>＝；
4
2
4
＝；
3
＝.
2
44
3
3
(?2)
2
＝；
(?3)
2
＝ ；
4
(?2)
4
＝；
4
(?3)
4
＝.
（4）由（3）你发现了什么结论？

由此得出：当
n
是奇数时，
a
＝
a

当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?例1（求值或化简：
（1）
3
(?8)
3
； （2）
(?10)
2
； （3）
4
(3?
?
)
4
； （4）
2
(a?b)
2
（
a?b
）







变式训练1：化简：
2
(a?b)
2





例2：求值或化简：
（1）
a
（2）
(?2)?(
?
?2)?(2?
?
)
3
4
3
n
n?
a(a?0)

?
?a(a?0)
6
343
（3）
?
3
m?n
?
?
3
4
(m?n)< br>4





3
变式训练2：（1）
4
（2）
4
(?4)
4
；（3）
5?
5
(?2)
5
．（4）
(
3
27)
，
（a?b)< br>4
；
（5）
(
5
?32)
5
，（6）
3
(?2)
3
，（7）
4
3





4

例3：若5(a ?5)
2
?(a?8)
2
的值为__________________ (答：2a-13)

变式训练3：若
a?2a?1?a?1
，求
a
的取值范围。
（答：a
?
1）


三、课堂小结，巩固反思：
（1）根式：如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a的
n
次方根．
（2）根式性质：
(
n
a)
n
?a
(n?1,n?N*)
．
（3）
n
a
n?
?
2
?
an
为奇数
．
|a|n
为偶数
?
四、课后作业：
1、已知：
x?



2、
(1)
3? 22?3?22
=_____________________(答：2
2
)
(2)
5?26?5?26
=______________________ （答：2
3
）







1
1111
=3，求（1）
x?
；(2)
x
2?
2
；(3)
x
3
?
3
；（4）
x< br>3
?
3
的值。
xxxx
x

分数指数幂

一、新课讲解：

看下面的例子：
当
a?0
时，
（1）
5
a
10
10?
5
(a
2
)
5
?a
2
，又
2?
，所以
5
a
10
?a
5
；
5
12
?
4
(a)?a
，又
3?
，所以
4
a
12
?a
4
．
4
343
10
12（2）
a
4
12
从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被 根指数整除时，根式可以表示
为分数指数幂的形式．
那么，当根式的被开方数的指数不能被根 指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数
幂的形式呢？
根据
n
次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：
a
． < br>m,n?N*,n?1
）
m
n
?
n
a
m（
a?0
，
0
的正分数指数幂等于
0
,
0
的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当
a?0
时，应当遵循原来的运算顺
序，通常不写成分数指数幂形式．
例如：
3
?27??3
，而
6
(?27)
2
?3
．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用

rsr+s
(1)aa=a(a>0,r,s∈Q)
rsrs
(2)(a)=a(a>0,r,s∈Q)
rrr
(3)(ab)=ab(a>0,b>0, r,∈Q)
3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
（1） 规定正数的正分数指数幂的意义是：
a
m
n
?
n
a
m
（a>0，m,n
?
N
+
，且n>1）
（2） 规定正数的负分数指数幂的意义是： a
?
m
m
?
1
a
m
n
（a> 0，m,n
?
N
+
，且n>1）
（3） 特别指出分数指数幂的底数a、m、n的取值只需式子有意义即可。

例1：求值：

16
?
3
1
?5
8
；
25；
()
；
()
4

81
2
?
1
2
2
3


变式训练：求下列各式的值：
（1）
25
；（2）
27



1
2
2
?
3
；（3）
??< br>；（4）
?
?
1
?
?
6
?
?3?
81
?
?
?
10000
?
?
34
．