初高中数学衔接教材：第9课 二次函数(2)及答案

沈进老师专用资料


一、应用题
解应用题的基本步骤：
1．设出自变量x与函数y；
2．列出y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
3．求出自变量x的取值范围；
4．由y＝ax
2
＋bx＋c和x的范围， 求出y的最值或y取得最值时对应的x的值；
5．答题．
例1 将长度为1米的铁丝做一个长方形，求这个长方形面积的最大值．
例2 某人将进货单价为8元的商品 按每件10元售出时，每天可销售100件，现他采用提
高销售价，减少销售量的办法增加每天的收入． 已知这种商品每件涨1元，其每天的销售量
就减少10件，问他将每件的销售价定为多少时，每天获得的 利润最大．
13
例3 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为x，x (万元)[其中
55
x为投入的资金]现有3万元资金投入甲、乙两种商品，为获得最大利润时 甲、乙两种商品的
资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？
二、给定区间的二次函数的最值问题
例4 已知y＝－2x
2
－4x＋7，根据下列x的范围求函数y的最值．
(1)－3≤x≤－2；
(2)－3≤x≤0；
(3)－3≤x≤3；
(4)0≤x≤3.
例5 (1)求函数y＝x
2
－2x＋k，－2≤x≤2的最小值；
(2)求函数y＝x
2
－kx＋2，－2≤x≤2的最小值；
(3)求函数y＝x
2
－kx＋2，－2≤x≤2的最大值．
例6 已知函数y＝ax
2
＋2x＋3(－1≤x≤1)，(a≠0)
求函数y的最小值．

- 1 -

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1．用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围
才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？






2．某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y( 件)之间
的关系如下表所示：
x元
y件
130
70
150
50
165
35
若日销售量y是销售价x的一次函数 ，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售
价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？









3 ．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加
盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场
平均每天可多售出2件：
(1)若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫要降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？






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4．已知：y＝(x－1)
2
＋k根据下列x的范围，求函数y的最值．
3
(1)0≤x≤1；(2)0≤x≤；(3)0≤x≤2；
2
(4)1≤x≤3.









5．(1)求函数y＝x
2
＋tx＋1，－1≤x≤1的最小值；







(2)求函数y＝x
2
＋tx＋1，－1≤x≤1的最大值．







6．已知：函数y＝x
2
－2x＋1,0≤x≤t(t>0)，求y的取值范围．
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答案精析
1
例1 解 设长方形的一边长为x(m)，则另一边长为－x(m)，长方形的面积为S(m
2
)，
2
11
则S＝x(－x)，x∈(0，)，
22
1111111< br>＝－x
2
＋x，对称轴为x＝－＝∈(0，)，∴当x＝时，S
max
＝－＋＝(m
2
)，
22416816
2×?－1?
4
1
答：这个长方形面积的最大值为m
2
.
16
例2 解 设他将销售价定为10＋x元件，则销量为100－10x件，每天获得的利润为y元．
则y＝(10 ＋x－8)(100－10x)＝10(2＋x)(10－x)＝10(－x
2
＋8x＋20) ，0∵a<0，∴当x＝4时，y
max
＝360元．
答：他将销售价定为14元件时，每天获得的利润最大．
例3 解 设对乙商品投资x万元，则甲商品投资3－x万元，获得的利润和为y万元．
31
则y＝x＋(3－x)(0≤x≤3)
55
133
＝－x
2
＋x＋.
555
133
令t＝x，则y＝－t
2
＋t＋，t∈[0，3]，
555
33213993
对称轴为t＝∈[0，3]，∴当t＝时，y
max
＝，∴x＝，x＝，则3－＝.
22202444
3921
答：对甲商品投 资万元，乙商品投资万元时，获得最大利润为万元．
4420
例4 解 对称轴为x＝－1，a＝－2<0，开口向下
(1)当－3≤x≤－2时，x越来越大时，y也越来越大，
∴当x＝－3时，y
min
＝1.
当x＝－2时，y
max
＝7.
(2)∵－1∈[－3,0]，∴当x＝－1时，y
max
＝9.
又0－(－1)<－1－(－3)，∴当x＝－3时，y
min
＝1.
1
2
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(3)－1∈[－3,3]，∴当x＝－1时，y
max
＝9.
∵3－(－1)>－1－(－3)，∴当x＝3时，y
min
＝－23.
(4)当0≤x≤3时，x越来越大，y越来越小．
∴当x＝0时，y
max
＝7.当x＝3时，y
min
＝－23.
例5 解 (1)对称轴x＝1∈[－2,2]，
∴当x＝1时，y
min
＝k－1.
6＋2k k≤－4
?
?
k
＝
?
－
4
＋2 －4?
?
6－2k k≥4
2
k
(2)对称轴x＝，∴y
min
2

.
?
?
6－2k k≤0
k
(3)对称轴x＝，y
max
＝
?
.
2
?
?
6＋2k k>0
21
例6 解 1°a>0，对称轴x＝－＝－
2aa
1
(1)－≤－1,0min
＝1＋a.
a
11
(2)－1<－，a>1时，－∈[－1,1]，
aa
11
∴当x＝－时，y
min
＝3－.
aa
111
2°a<0，－>0 ∴1－(－)<－＋1
aaa
∴当x＝－1时，y
min
＝a＋1

?
?
a＋1，a≤1且a≠0
∴y
min
＝
?
1
.
?
?
3－
a
，a>1
强化训练
32－5x
1．解 长方形的一边长为x m，另一边长为()m，总面积S＝x(32－5x )＝－5x
2
＋
4
3216256
32x,0max
＝(m
2
)．
555
16256
答：当长方形一边(垂直于旧墙)为m，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为 m
2
.
55
- 5 -

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2．解 x＋y＝200，y＝200－x，
每件的销售利润为x－120元件，每天的销售利润为S.则S＝(200－x)(x－120)，12 0∴当x＝160时，S
max
＝1 600元．
答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
3．解 每件衬衫降价x元，每天获利y元，则每件盈利40－x元，每天销量为20＋2x件．
∴y＝(40－x)(20＋2x)．
(1)(40－x)(20＋2x)＝1 200，x＝10或x＝20，
答：每件衬衫要降价10元或20元．
(2)对称轴x＝15，∴当x＝15时，y
max
＝1 250元，
答：每件衬衫降价15元时每天盈利最多．
4．解 (1)y
max
＝1＋k，y
min
＝k，
(2)y
max
＝1＋k，y
min
＝k，
(3)y
max
＝1＋k，y
min
＝k，
(4)y
max
＝4＋k，y
min
＝k.
2－t， t≥2
?
?
t
＝
?
1－
4
， －2?
?
2＋t， t≤－2
2
5．解 (1)y
min

.
?
?
2－t， t≤0
(2)y
max
＝
?
.
?
?
2＋t， t>0
6．解 (1)02
－2t＋1,1]，
(2)1(3)t>2时，y∈[0，t
2
－2t＋1]．


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