2020年初升高数学衔接专题07 方程与不等式(原卷版)

初高中天衣无缝衔接教程（2020版）
专题07方程与不等式

本专题在初中、高中扮演的角色

一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式 或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规
划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许 多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次
不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础 性和工具性.
一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用 二次函数的图象
确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识 方程的解，不等
式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.
二次函数图象是连接三个 “二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，掌
握函数、方程及不等 式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：
①.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数；
②.令这个函数中的y=0，构建一 个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零
点；
③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图；
④观察草图，得出不等式所对应的解集.

高中必备知识点1：二元二次方程组的解法

方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其
中
x
,
2xy,
y
叫做这个方程的二次项,
x
,
y
叫做一次项,6叫 做常数项．
我们看下面的两个方程组：
2
2
22
?
x< br>2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
22
?
?
x?y?20,

?
22
?
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一 个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组
成的，像这样的方程组叫做二元二次方程 组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

典型考题

【典型例题】
已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.
【变式训练】
解方程组：
【能力提升】
解方程组：


高中必备知识点2：一元二次不等式的解法

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一 元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解 的情形按照△＞0，△=0，△＜0
分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数 解和没有实数解，相应地，抛物线y
＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个 公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们
可以分下列三种情况讨论对应的 一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（ a＞0）的解．

（1）当Δ＞0时，抛物线x轴有两个公共点(x
1
， 0)和(x
2
，0)，方程ax
2
＋bx
＋c＝0有两个不相等的实 数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2 .3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝ 0有
b
两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与

b
x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2
＋bx＋c＝0没有实数根
，
由图2.3－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二
次项系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面
的结论去解不等式．

典型考题

【典型例题】
解下列不等式：
(1)
－< br>3x
2
－
2x
＋
8≥0
；

(2) 0
＜
x
2
－
x
－
2≤4
；

【变式训练】
求不等式
x?4
?
2
?
?
x?6
?
?0
的解．

【能力提升】
解下列不等式：

（
1
）
?2x
2
?x?6?0
；

（
2
）
x
2
?x?1?0
；

（
3
）
(3x?1)(x?1)?4
．

专题验收测试题
1
．某蔬菜公司收购到某种蔬菜
140
吨，准备加 工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工
6
吨或
粗加工
16
吨
.
现计划用
15
天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工 ？设安排
x
天精加工，
y
天粗加工
.
为解决这个问题，所列 方程组正确的是（

）

?
x?y?140
?
x?y?140
A
．
?
B
．
?

16 x?6y?156x?16y?15
??
?
x?y?15
?
x?y? 15
C
．
?
D
．
?

16x?6y?1406x?16y?140
??

2
．点
P
（﹣
3
，
m+1
）在第二象限，则
m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A
．
C
．


B
．
D
．


3
．在正数范围 内定义一种运算☆，其规则为
a
☆
b
＝
3
11

?
，根据这个规则
x
☆（
x+1
）＝的解为（

）
ab
A
．
x
＝
2
＝
1 C
．
x
＝﹣
22
3
B
．
x
3
或
1 D
．
x
＝
3
或﹣
1
4
．若
x< br>＝﹣
1
是关于
x
的一元二次方程
x
2
+3x +m+1
＝
0
的一个解．则
m
的值是（ ）
A
．﹣
1 B
．﹣
2 C
．
1 D
．
2
5
．不等式组
?
?
3x?1?2
?
2?x?0

的解集在数轴上表示为（

）

A
．
B
．

C
．
D
．

?
x?1
6
．若不等式组
?
?3
?
x
2
?1
无解，则
m
的取值范围为（ ）

?
?
x?2m
A
．
m≤4 B
．
m
＜
4 C
．
m≥4 D
．
m
＞
4
7
．如果
?
?
x?a
?
y?b

是方程
x
﹣
3y=
﹣
3
的一组解，那么代数式
5< br>﹣
a+3b
的值是（ ）

A
．
8 B
．
5 C
．
2 D
．
0
8
．若方程< br>mx?2?2(m?x)
的解满足方程
x?
1
2
?1
，则
m
的值是（

）

A
．
10 B
．
22
5
C
．
10
或
2
5
D
．
?10
或
5

9
．已知
?
a
2
?b
2
??
a
2
?b
2
?1< br>?
?12
，那么
a
2
?b
2
的值是（

）

A
．
3 B
．
-4 C
．
3
或
-4 D
．
-3
或
4
10
．若关于
x
的方程
kx
2
-
（
k+1
）
x+1=0
的根是整数，则满足条件的整数
k
的个数为（
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个


2


）

11
．若不等式组
?< br>A
．
x?3?a

?
x?a
?
x?3?a< br>无解，则不等式组
?
的解集是（

）

?
x?b
?
x?3?b
B
．
x?3?b
C
．
3?a?x?3?b
D
．无解

12
．甲、乙两人同求方程
ax-by=7
的整数解，甲正确地求出一个解为
?
?
x?1
，乙把
ax-by=7
看成
ax-by =1
，
?
y??1
求得一个解为
?
?
x?1
，则
a
，
b
的值分别为
( )
y?2
?
B
．
?
A
．
?
?
a?2

b?5
?
?
a?5

b?2
?
?
a?3
C
．
?

b?5
?
?
a?5
D
．
?

b? 3
?
13
．已知
1?ax?b?3
的解集为
2?x?3，则
1?a
?
1?x
?
?b?3
的解集为（

）

A
．
2?x?3
B
．
2?x?3
C
．
?2?x??1
D
．
?2?x??1

14
．如果关于
x
的方程< br>(a?3)x
2
?4x?1?0
有两个实数根，且关于
x
的分 式方程
解，则符合条件的整数
a
的和为（

）

A
．
1 B
．
2 C
．
6 D
．
7
xa?2
??a
有整数
x?33?x
15
．关于
x
，
y
的方程组
?
?
2ax?3 y?18
?
x?3
ab
（其中，是常数）的解为
?
，则方程 组
?x?5by?17
y?4
?
?
?
2a(x?y)?3( x?y)?18
的解为（ ）

?
?
(x?y)?5b(x?y) ??17
A
．
?
?
x?3

?
y?4
B
．
?
?
x?7

?
y??1
C
．
?
?
x?3.5

?
y??0.5
D
．
?
?
x?3.5
< br>?
y?0.5
?
2y?y
mx23
?
??
1 6
．已知关于
x
的分式方程无解，关于
y
的不等式组
?的
1
(x?3)(x?6)x?3x?6
y?(4m?2)?4
?
4
?
整数解之和恰好为
10
，则符合条件的所有
m
的和为 （

）

5
73
C
．
D
．

22
2
x?1m
?
2
?1
的解是负数，则
m
的取值范围是
_____
．
17
．若关 于
x
的分式方程
x?1x?1
A
．
B
．

9

2

18
．
4x
a?2b?5< br>?2y
3a?b?3
?8
是二元一次方程，那么
a
﹣
b=
．

m5
?
=1
的解为负数，则
m
的取值范围是
______
．

t?22?t
3
20
．已知直线
y
＝
kx
＋
2
与
y轴交于点
A
，与双曲线
y
＝相交于
B
，
C两点，若
AB
＝
3AC
，则
k
的值为
___< br>x
19
．关于
t
的分式方程
___
．
21
．对于有理数
a,b
，定义
min{a,b}
的含义为：当
a?b
时，
mina,b
?
?b
；当
a?b
时，
mina,b
?
?a
.
若
min13,6m?4n? m?n
?
?
?
22
?
?13
，则
m
n
的值等于
____
．

?
x＞?1
22
．不等式组
?
有
2
个整数解，则
m
的取值范围是
___
x＜m
?
23
．如图，已知正方形
ABCD
的边长 为
24
厘米．甲、乙两动点同时从顶点
A
出发，甲以
2
厘米

秒的速度
沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以
4
厘米
秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲乙
的速度均增加
1
厘米< br>
秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是
______
厘 米．


24
．关于
x,y
的二元一次方程组
?< br>25
．解方程：

（
1
）
（
2
）
?
x?3y?2?a
的解满足
xy
?
3x?y??4a2
，则
a
的范围为
_____
．

x?33
?1?
；

x?22?x
4x?2
???1
．

2
x?11? x
?
10?2x?3x
?
26
．解不等式组：
?
．

x?1
1??0
?
3
?
27
．数学兴趣 小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱
40
元，厂家要求售价在
40
～
70
元之
间，若以每箱
70
元销售平均每天销售
30
箱，价格每降低
1
元平均每天可多销售
3
箱．现该商场要保证每 天
盈利
900
元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？

28
．对任意一个四位数
n
，如果千位与十位上的 数字之和为
7
，百位与个位上的数字之和也为
7
，那么称
n
为
“
上进数
”
．

(1)
写出最小和最大的
“
上进数
”
；

(2)
一个
“
上进数
”
abcd
，若
b?2a，且使一元二次方程
x
2
?4x?a?0
有两个不相等的实数根，求这个
“
上
进数
”
．

29
．九二班计划购买< br>A
、
B
两种相册共
42
册作为毕业礼品，已知
A种相册的单价比
B
种的多
10
元，买
4
册
A< br>种相册与买
5
册
B
种相册的费用相同．

（
1
）求
A
、
B
两种相册的单价分别是多少元？

（
2
）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的
A
种相册的数量要少 于
B
种相册数量的
不少于
B
种相册数量的
3
，但又
4
2
，如果设买
A
种相册
x
册．

5
①有多少种不同的购买方案？

②商店为了促销，决定对
A
种相册每册让利
a
元销售（
12≤a≤18
），
B
种相册 每册让利
b
元销售，最后班委会
同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无 关，当总费用最少时，求此时
a
的值．

30
．国家发改委、工业和 信息化部、财政部公布了
“
节能产品惠民工程
”
，公交公司积极响应将旧车换 成节能
环保公交车，计划购买
A
型和
B
型两种环保型公交车
10
辆，其中每台的价格、年载客量如表：


价格（万元

台）

年载客量

万人次

A
型

x
60
B
型

y
100
若购买
A
型环保公交车
1
辆，
B
型环保公交车
2
辆，共需
400
万元；若购买
A
型环保公交 车
2
辆，
B
型环保
公交车
1
辆，共需
35 0
万元．

（
1
）求
x
、
y
的值；

（2
）如果该公司购买
A
型和
B
型公交车的总费用不超过
1200
万元，且确保
10
辆公交车在该线路的年载客
量总和不少于
680
万人次，问有哪几种购买方案？

（
3
）在（
2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？