初升高暑假数学衔接教材含答案

2020年9月18日发(作者：冷世光)

初升高暑假数学衔接教材
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心 、旺盛的求知欲，都有把高中
课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么 简单易学，而
是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰< br>碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难
期”，数 学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，
动摇了学好数学的信心， 甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，
但最主要的根源还在于初、高中数学教学 上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原
因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训 ，搞好自己的数学学习。

一 高中数学与初中数学特点的变化

1 数学 语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活
很远，似乎很“玄”。 确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以
形象、通俗的语言方式进行表达。而高 一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语
言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。< br>
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再
看什么。即 使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的
思维套路。因此，初中学 习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维
形式上产生了很大的变化，数学语言的抽 象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发

展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力 要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导
致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论 型抽象思维过渡，最后还需初步
形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。高 中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代
数》第一章就有基本概念52个，数学符号2 8个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本
公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念 就达89个之多，并集中在高一第一学期
学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只 有七十多课时，辅助练习、
消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而 增加了教与
学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内
在联系，使 新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方
式进行的，当知识信息量过 大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，
形成板块结构，实行“整体集装”。如表 格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一
类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同 一知识方法。第四，要多做总结、
归类，建立主体的知识结构网络。

二 不良的学习状态

1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第 一，为提高分
数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第< br>二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用
的“模子 ”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，
有很强的依赖心理，跟随 老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等
上课，课前没有预习，对老师要上课的内 容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2 思想松懈。有些同学把初 中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并
没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了 一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还
是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一 、高二根本就用不着那么用功，
只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的 。存有这种思想
的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己
缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。

3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙 去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，
突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到 或听不全，笔记记了一大
本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶 做作业，
乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上
加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚
微。

4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的
学习 与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显
示自己的“水平”， 好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是
演算出错就是中途“卡壳”。

5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是
一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方
难度大、方法新 、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，
三角公式的变形与灵活运用、空 间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的
内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取 补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高
中学习的要求。

三 科学地进行学习

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高 学习效率，
才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。

1 培养良好的学习习 惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良
好的学习习惯包括制定计划、课前自 学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系
统小结和课外学习几个方面。

( 1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和
克服困难的内 在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程
中严格要求自己，磨炼学习意 志。

(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力， 而且
能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前
把 教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3 )上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课
前自学过的同学 上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该
记的地方才记下来，而不是全抄 全录，顾此失彼。

(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅 有关资料，强化对
基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比 效，
一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知
识的理解 和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知

识由“会 ”到“熟”。

(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于 思维受阻遗漏
解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错< br>的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经
常把易错 的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变
成自己的知识，使所学到 的知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和 发展认识能力的重要环节。
小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合 、类比、概
括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞 赛与讲座，走访高年级同学或老师交流
学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同 学们的文化科学知识，
加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作 的能力，
激发求知欲与学习热情。

2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小， 阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有
的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而 就；有的取得一点成绩便
洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、 发现新知
的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同
学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能
达到了自动化 或半自动化的熟练程度。

3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运 算能力、逻辑思维能力、

空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重 任。它的特点是具有高度
的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活 ”，只看
书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学
习过程就是 这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和
一个步骤（归纳总结）是少 不了的。

第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，
而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解
方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等
式常用的解题技巧。
4．初 中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重
要内容。配方、作简 图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究
闭区间上函数最值等等是高中数学必 须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达 定理）在初中不作要
求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次 不等
式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称 、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；

左、右平移 ，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作 要求，只作定量研究,而高中这部分内容视
为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题 。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，
相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

?
a(a ?0)
?
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
a?
?
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a? 0)?x??a
或
x?a

2 乘法公式：

⑴平方差公式 ：
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

⑵立方差 公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑶立方和公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑷ 完全平方公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
，

⑸完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3 a
2
b?3ab
2
?b
3

3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫 一元一次方
程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程
ax?b
解的讨论

b
；

a
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
②当
a?0
，< br>b?0
时，方程无解

③当
a?0
，
b?0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6 不等式与不等式组

（1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不
等式。（4）一 元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不 等式组。②一
元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7 一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b
2
?4ac?0

?
??0
?
②方程有两根同号
?

?


c
xx??0
12
?
a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?
bc
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?

aa
?b
2
?4ac
x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x< br>2
,
x
1
?x
2
?(x
1
? x
2
)?4x
1
x
2
??

aa
2
1
2
2
2
2
8 函数（1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方
向的数轴上的 点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个
变量
y
,
x
间的关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等于0）的形式，则称
y
是
x
的
一次函数。②当b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。（3）一次函数的图象及性 质

①把一个函数的自变量
x
与对应的因变量
y
的值分别作 为点的横坐标与纵坐标，在直角坐
标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。< br>
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直 线。

③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1 、2、4
象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。

④当
k
?
0时，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，
y
的值随
x
值的增大而减少。

（4）二次函数：

b
2
4ac?b
2
b
①一般式：
y?ax?bx?c?a(x?)?
(
a?0
)，对称轴是
x??,

2a4a
2a
2
b4ac?b
2
（－ ,)
；

顶点是
2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)2
?k
(
a?0
)，对称轴是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；

③交点式：y?a(x?x
1
)(x?x
2
)(
a?0
)，其中（x
1
,0），（x2
,0）是抛物线与x轴的交点

（5）二次函数的性质

b
对称。

2a
①函数
y?ax
2
?bx ?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时，在对称轴 （< br>x??
bb
）左侧，
y
值随
x
值的增大而减少；在对 称轴（
x??
）
2a2a
4ac?b
2
b
右侧；< br>y
的值随
x
值的增大而增大。当
x??
时，
y
取得最小值

4a
2a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb
）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴 （
x??
）
2a2a
4ac?b
2
b
右侧；
y
的值随
x
值的增大而减少。当
x??
时，
y
取 得最大值

4a
2a
9 图形的对称

（1）轴对称图形： ①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那
么这个图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两

点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互
相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上
的每一 对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10 平面直角坐标系

（1） 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做
x
轴或横轴 ，铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他 们的公共原点
O
称为
直角坐标系的原点。

（2）平面直角坐标系内 的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?< br>(x
2
,y
2
)
是直角坐标系内的两点，

?
x??x
2
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
1
。

?
y
1
?y2
?
x?x
2
②若
M
和
M'
关于x
轴对称，则有
?
1
。

y??y
?
12
?
x
1
??x
2
③若
M
和
M '
关于原点对称，则有
?
。

y??y
?
12?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'
关于直线
y?x
对称，则有
?
。

y?x
?
12
?
x?2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
⑤若
M
和
M'
关于直线
x?a
对称，则有?
1
或
?
。

?
y
1
?y< br>2
?
y
1
?y
2
11 统计与概率：（1）科学记数 法：一个大于10的数可以表示成
A?10
N
的形式，其中
A
大于等于1小于10，
N
是正整数。（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分 别

代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫 做
扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的
度数 与360度的比。（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具
体数目；②折线 统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各
部分在总体中所占的百分比。< br>
1
(
x
1
?x
2
?
N
（ 5）平均数：对于
N
个数
x
1
,x
2
,,x
N
，我们把
?x
N
)叫做这个
N
个数的算术
平均 数，记为
x
。（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在
计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众
数：①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均
数）叫做这 组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众
数。③优劣比较：平均数： 所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现
实生活中常用，但容易受极端值影响；中位 数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分
利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相 等时，众数往往没有特别的意
义。（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普 查，其中所要考
察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个
体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样
本。③ 抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，
人力，物力和财力，但 其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调
查结果，抽样时要主要样本的代表性和 广泛性。（9）频数与频率：①每个对象出现的次数
为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频 率。②当收集的数据连续取值时，我
们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。（10）数 据的波动：①极差是指一
组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的 平均数。
③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，

这组数据就越稳定。

（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定 会发生，这些事情称为必然事件；有
些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然 事件和不可能事件都
是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③ 一般
来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表< br>示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指
双方获胜 的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作
P
（必然事件）
?1
；不可 能事
件发生的概率为
0
，记作
P
（不可能事件）
?0
；如果A为不确定事件，那么
0?P(A)?1

第四部分 分章节突破

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值
仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的 绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间 的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x ?1?0
，得
x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，

即
?2x?4
＞4，解得
x
＜0，
又
x
＜1，
∴
x
＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的
x
；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得
x
＞4．
又
x
≥3，∴
x
＞4．
综上所述，原不等式的解为

x
＜0，或
x
＞4．
解法二：如图1．1－ 1，
x?1
表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到 坐
标为1的点
A
之间的距离|
PA
|，即|
PA
| ＝|
x
－1|；|
x
－3|表示
x
轴上点
P
到坐标为2的点
B
之间的距离|
PB
|，即|
PB
|＝|
x
－3|．
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|
PA
|＋|
PB
|＞4．

由|
AB
|＝2，可知
点
P
在点
C
(坐标为0)的左侧、或点
P
在点
D
(坐标为4)的右侧．
x
＜0，或
x
＞4．
练 习

1．填空：

（1）若
x?5
，则
x
=_____ ____；若
x??4
，则
x
=_________.

（ 2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝_______ _；若
1?c?2
，则
c
＝________.
2．选择题：

下列叙述正确的是 （
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b
（C）若
a?b
，则
a?b
若
a?b
，则
a??b

3．化简：|
x
－5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（D）

）

（1）立方和公式
(a?b )(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2< br>?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a< br>3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．

练 习

1．填空：

1111
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；

9423
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；

（3）
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．

2．选择题：

1
（1）若
x2
?mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）

2
1
11
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
m
2

4
316
（2）不论
a
，< br>b
为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （ ）

（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以
是正数也可以是负数

一般地，形如
a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽
方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是 无理式，而
2x
2
?
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
x?1
，
2
1．分母（子）有理化

把分 母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要
引入有理化因式的概 念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化 因式，例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等等 ． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?b y
，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的 方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而
分子有理化则是分母和分子都 乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可 参照多项式乘法进行，运算中要运用
公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次 根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通
过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减 法类似，应在化简的基础上去
括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．

解法一：
3?(3?3)
＝
3
3?3
解法二：
3?(3?3)
＝
3
3?3

＝
3?(3?3)

(3?3)(3?3)
＝
3

3(3?1)
33?3
＝
9?3
＝
1

3?1
＝
3(3?1)

6
＝
3?1

(3?1)(3?1)
＝
3?1
．
2
＝
3?1
．
2
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
2
和
22－6
.
6?4
解： （1）∵
12?11?
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
12?1112?11

11?10?
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
（2）∵
22－6?
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，
∴
2
＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
200 4
?(3?2)

＝
1
2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
2
x
解：（1）原式
?5?45?4

∵
0?x?1
，
?2?5
?5?2
．
∴
1
?1?x
，
x
1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
例 6 已知
x?
3?23?2< br>，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
解： ∵
x?y?
3?23?2
?? (3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2

xy?
3?23?
3?2
?
2
3?2
? 1
，
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3( x?y)
2
?11xy?3?10
2
?11?289
．
练 习

1．填空：

（1）
1?3
1?3
＝__ ___；

（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x< br>，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；

（4）若
x?
5
2
，则
x?1?x?1 x?1?x?1
x?1?x?1
?
x?1?x?1
?
______ __．
2．选择题：

等式
xx
x?2
?
x?2
成立的条件是 （
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3．若
b?
a?1
，求
a?b
的值 ．

4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义



）

形如
AAA
的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当
M
≠0时，分式具有下列性质：< br>
BBB
AA?M
；

?
BB?M
AA?M
．

?
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
例1 若
5x?4AB
??
，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
解： ∵
ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4
????
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

?
2A?4,
解得
A?2,B?3
．
例2 （1）试证：
111
??
（其中
n
是正整数）；
n(n?1)nn?1
（2）计算：
11
??
1?22?3
?
1
；
9?10
11
??
2?33?4
11
?
．
n(n?1)2
（3）证明：对任意大于1的正整数
n
， 有< br>?

11(n?1)?n1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
∴
111
??
（其中
n
是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知

?1?
9
1
＝．
10
10
11
??
2?33?4
1

n(n?1)
（3）证明：∵
?
1111
＝
(?)?(?)?
2334
11
＝
?
，
2n?1
11
?(?)

nn?1
又
n
≥2，且
n
是正整数，
∴
1
一定为正数，
n
＋1
∴
11
??
2?33?4
?
1
1
＜ ．
n(n?1)
2
例3 设
e?
c
22
，且
e
＞1，2
c
－5
ac
＋2
a
＝0，求
e
的值．
a
解：在2
c
2
－5
ac
＋2< br>a
2
＝0两边同除以
a
2
，得
2
e
2
－5
e
＋2＝0，
∴(2
e－
1)(
e
－2)＝0，

∴
e
＝
1
2
＜1，舍去；或
e
＝2．
∴
e
＝2．
练 习

1．填空题：

对任意的正整数
n
，
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
)；

2．选择题：

若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5

3．正数
x,y
满足x
2
?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．

4．计算
1
1?2
?
111
2?3?
3?4
?...?
99?100
．

习题1．1

A 组

1．解不等式：

(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
(3)
x?1?x?1?6
．

（
（D）
6
5


）

；

２．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3xy
的值．

3．填空：

（1）
(2? 3)
18
(2?3)
19
＝________；

（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；

（3）
1
1?2
?
1< br>2?3
?
111
3?4
?
4?5
?
5?6< br>?
________．

B 组
1．填空：

（1）
a?
1
3a
2
?ab
2
，
b?1
3
，则
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；

x
2
?3xy?y
2
（2）若
x
2
?xy?2y
2
?0
，则
x
2
?y
2
?
__ __；

2．已知：
x?< br>11
y
2
,y?
3
，求
x?y
?
y
x?y
的值．

C 组
1．选择题：

（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

（2）计算
a?
1
a
等于 （）
）

（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2(x
2
?
11
)?3(x?)?1?0
．

2
xx
1
．

9?11
3．计算：
111
???
1?32?43?5
?
11
??
4．试证：对任意的正整数
n
，有
1?2?32?3?4< br>1
1
?
＜ ．

n(n?1)(n?2)
4
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3
x
－18
11
11
1．（1）
a?b
（2）
,
（3）
4ab?2ac?4bc

24
32
2．（1）D （2）A
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1
99
1． 2．B 3．
2?1
4．
2
100
习题1．1
A组
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜
x
＜3 （3）
x
＜－3，或
x
＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组

1．（1）
1
35
（2），或－ 2．4．
5
72
C组
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?
36
1
,x
2
?2
3．
55
2
4．提示：
1111
?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积，再将常数项2分解成－1与－2
的乘 积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2
－3< br>x
＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．

说明：今后在分解与本 例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个
x
用1来表示（如
图1．2 －2所示）．

（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?a by
2
＝
(x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x ?y
＝
xy
＋(
x
－
y
)－1
＝(
x
－1) (
y+
1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．

或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y ?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6
=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于
x
的二次三项式< br>ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)的因 式分解．
若关于
x
的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0 )
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式ax
2
?bx?c(a?0)
就可分
解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，
x
2
??1?2
，
???
∴
x
2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(? 1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习

1．选择题：

多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）

（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：

（1）
x
2
＋6
x
＋8； （2）8
a
3
－
b
3
；

（3）
x
2
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．

习题1．2

1．分解因式：

（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；

（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．

2．在实数范围内因式分解：

（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?22x?3
；

（3）
3x
2
?4xy?y
2
； （4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)?1 2
．

3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?a b?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状．

4．分解因式：
x
2
＋
x
－(
a
2
－
a
)．< br>
1.2分解因式
1． B
2．（1）(
x
＋2)(
x
＋4) （2）
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．

习题1．2
1．（ 1）
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
（2）
?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
2．（1）
?
； （2）
x?2?5x?2?5
；
x?x?
???
????
2
??
2
??
????
?
2?7
??
2? 7
?
（3）
3
?
?
x?
3
y
? ?
??
x?
3
y
?
?
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
????
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)

2.1 一元二次方程

我们知道，对于一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），用配方法可以将其变形为

b
2
b
2
?4ac

(x?)?
． ①

2a4a
2
因 为
a
≠0，所以，4
a
2
＞0．于是

（1）当< br>b
2
－4
ac
＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个 不相等的实数根

?b?b
2
?4ac

x
1，2
＝；

2a
（2）当
b
2
－4
ac
＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根


x
1
＝
x
2
＝－
b
；

2a

（3）当
b
2
－4
ac
＜0时，方程① 的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
此，原方程没有实数根．

b2
)
一定大于或等于零，因
2a
由此可知，一元二次方程
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的根的情况可 以由
b
2
－4
ac
来判定，我们把
b
2
－ 4
ac
叫做一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋c＝0（
a
≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二 次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

?b?b
2
?4ac

x
1，2
＝；

2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根


x
1
＝
x
2
＝－
b
；

2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于
x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）
x
2
－3
x
＋3＝0； （2）
x
2
－
ax
－1＝0；

（3）
x
2
－
ax
＋(
a
－1)＝0； （4）
x
2
－2
x
＋
a
＝0．

解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝
a
2
－4×1×(－1)＝
a
2
＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．

x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为

< p>
Δ＝
a
2
－4×1×(
a
－1)＝
a
2
－4
a
＋4＝(
a－
2)
2
，

所以，

①当
a
＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根


x
1
＝
x
2
＝1；

②当
a
≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根


x
1
＝1，
x
2
＝
a－
1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝2
2
－4×1×
a
＝4－4
a
＝4(1
－a
)，

所以

①当Δ＞0，即4(1
－a
) ＞0，即
a
＜1时，方程有两个不相等的实数根


x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；

②当Δ＝0，即
a
＝1时，方程有两个相等的实数根


x
1
＝
x
2
＝1；

③当Δ＜0，即
a
＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方 程的根的判别式的符号随着
a
的取值的变化而变化，于是，在解题过程
中，需要对a
的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一
个 非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程
ax
2< br>＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）有两个实数根

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，

2a2a
则有


?b?b
2
?4ac?b?b< br>2
?4ac?2bb
????
；


x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac? b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．


x
1
x< br>2
?
2a2a4a
2
4aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：


b
c
如果
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0 ）的两根分别是
x
1
，
x
2
，那么
x
1< br>＋
x
2
＝
?
，
x
1
·
x< br>2
＝．这一关系也被
a
a
称为韦达定理．

特别地 ，对于二次项系数为1的一元二次方程
x
2
＋
px
＋
q＝0，若
x
1
，
x
2
是其两根，由韦达定理可
知


x
1
＋
x
2
＝－
p
，
x
1
·
x
2
＝
q
，

即
p
＝－(
x
1
＋
x
2
)，
q
＝
x
1
·
x
2
，

所以，方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0可化为
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0，由于
x
1
，
x
2
是一元二次方程
x
2
＋
px
＋q
＝0的两根，所以，
x
1
，
x
2
也是一元二 次方程
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)< br>x
＋
x
1
·
x
2
＝0．因此有

以两个数
x
1
，
x
2
为根的一元二次方程（二次 项系数为1）是

x
2
－(
x
1
＋
x2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0．

例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及< br>k
的值．

2

分析：由于已知了方程的一个根，可以直 接将这一根代入，求出
k
的值，再由方程解出另一个根．但
由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项
系数和常数项，于是可以利用两 根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出
k
的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×2
2
＋
k
×2－6＝0，

∴
k
＝－7．

3
所以，方程就为5
x
2
－7
x
－6＝0，解得
x
1
＝2，
x
2< br>＝－．

5
3
所以，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．

5
63
解法二：设方程的另一个根为
x
1
，则 2
x
1
＝－，∴
x
1
＝－．

55
3
k
由 （－）＋2＝－，得
k
＝－7．

5
5
3
所以，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．

5
例3 已知关于
x
的方程
x
2
＋2(
m－
2)
x
＋
m
2< br>＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两
个根的积大21，求
m
的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m
的方程，从而解得
m
的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两 个实数根，因此，其根的判别式应大于
零．

解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得


x
1
＋
x
2
＝－2(
m－
2)，
x
1·
x
2
＝
m
2
＋4．

∵
x
1
2
＋
x
2
2
－
x
1
·
x
2
＝21，

∴(
x
1
＋
x
2
)－3
x
1
·
x
2
＝21，

2
即 [－2(
m－
2)]
2
－3(
m
2
＋4)＝21，

化简，得
m
2
－16
m
－17＝0，

解得
m
＝－1，或
m
＝17．

当
m
＝－1时，方程为
x
2
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意 ；

当
m
＝17时，方程为
x
2
＋30
x
＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，
m
＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研 究满足方程有两个实数根所对应的
m
的范围，然后再由
“两个实数根的平方和比两个根 的积大21”求出
m
的值，取满足条件的
m
的值即可．

（ 1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于
零．因 为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为
x
，
y
，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转
化出一元二 次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是
x
，
y
，

则
x
＋
y
＝4， ①

xy
＝－12． ②

由①，得
y
＝4－
x
，

代入②，得

x
(4－
x
)＝－12，

即
x
2
－4
x
－12＝0，

∴
x
1
＝－2，
x
2
＝6．

?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程


x
2
－4
x
－12＝0

的两个根．

解这个方程，得


x
1
＝－2，
x
2
＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2< br>x
2
＋5
x
－3＝0的两根．

（1）求|
x
1
－
x
2
|的值；

（2）求
11
?
的值；

x
1
2
x
2
2
（3）
x
1
3
＋
x
23
．

解：∵
x
1
和
x2
分别是一元二次方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根，

3
5
∴
x
1
?x
2??
，
x
1
x
2
??
．

2
2
53
（1）∵|
x
1
－
x
2
|
2
＝
x
1
2
+
x
2
2
－2
x
1
x
2
＝(
x< br>1
＋
x
2
)
2
－4
x
1
x
2
＝
(?)
2
?4?(?)

22
25
497
＋6＝， ∴|
x
1
－
x
2
|＝．

42
4

＝
（2）
x?x
2
11< br>??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
2
1
2
1
2
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x< br>2
37
22
?
4
．

???
32
9
(x
1
x
2
)
2
9
(? )
24
2
（3）
x
1
3
＋
x
2
3
＝(
x
1
＋
x
2
)(
x1
2
－
x
1
x
2
＋
x
22
)＝(
x
1
＋
x
2
)[ (
x
1
＋
x
2
)
2
－3
x
1
x
2
]

＝(－
55
3
215
)×[(－)
2
－3×(
?< br>)]＝－．

228
2
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一 个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问
题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则< br>
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，

x
1
?
2a2a
? b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac??
∴|
x
1
－
x
2
|＝

2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．

?
|a||a|
于是有下面的结论：

若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）， 则|
x
1
－
x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－4
ac
）．

|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于
x
的一元二次方程
x
2
－
x
＋
a
－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数
a
的取值范围．

解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，则


x
1
x
2
＝
a
－4＜0， ①

且Δ＝(－1)
2
－4(
a
－4)＞0． ②

由①得
a
＜4，

17
由②得
a
＜ ．

4
∴
a
的取值范围是
a
＜4．

练 习

1．选择题：

（1）方程
x
2
?23kx? 3k
2
?0
的根的情况是 （ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于
x
的方程
mx
2
＋ (2
m
＋1)
x
＋
m
＝0有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值 范围是
（ ）

11
（A）
m
＜ （B）
m
＞－

44

11
（C）
m
＜，且
m
≠0 （D）
m
＞－，且
m
≠0

44
2．填空:

（1）若方程
x
2
－3
x
－1＝0的两根分别是
x
1
和
x
2
，则
11
?
＝ ．

x
1
x
2
（2）方程
mx
2
＋
x
－2
m
＝0（
m
≠0）的根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k
取何值时，方程
kx
2
＋
ax
＋
b
＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程
x
2
－3
x< br>－1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，求(
x1
－3)(
x
2
－3)的值．

习题2.1

A 组

1．选择题:

（1）已知关于
x
的方 程
x
2
＋
kx
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法：

①方程
x
2＋2
x
－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程
x
2
－2
x
＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

7
③方程3
x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
；

3

④方程3
x
2
＋2
x
＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）关于
x
的一元二次方程
ax
2
－5
x
＋
a
2＋
a
＝0的一个根是0，则
a
的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程
kx
2
＋4
x
－1＝0的两根之和为－2，则
k
＝ ．

（2）方程2
x
2
－
x
－4＝0的两根为α，β，则α2
＋β
2
＝ ．

（3）已知关于
x
的方程
x
2
－
ax
－3
a
＝0的一个根是 －2，则它的另一个根是

．

（4）方程2
x
2
＋2
x
－1＝0的两根为
x
1
和x
2
，则|
x
1
－
x
2
|＝ ．

3．试判定当
m
取何值时，关于
x
的一元二次方程m
2
x
2
－(2
m
＋1)
x
＋1＝0有两个不相等的实数根？有
两个相等的实数根？没有实数根？

4 ．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程
x
2
－7
x
－1＝0 各根的相反数．

B 组

1．选择题:

若关于
x
的方程
x
2
＋(
k
2
－1)
x
＋
k
＋1＝0的两根互为相反数，则
k
的值为
（ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

2．填空:

（1）若
m，
n
是方程
x
2
＋2005
x
－1＝0的两个 实数根，则
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
的值等于 ．

（2）如果
a
，
b
是方程
x
2
＋
x
－1＝0的两个实数根，那么代数式
a3
＋
a
2
b
＋
ab
2
＋
b< br>3
的值是 ．

3．已知关于
x
的方 程
x
2
－
kx
－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为
x
1
和
x
2
，如果2(
x
1
＋
x
2
)＞
x
1
x
2
，求实数
k
的取值范围．

4．一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c< br>＝0（
a
≠0）的两根为
x
1
和
x
2
．求：

（1）|
x
1
－
x
2
|和< br>x
1
?x
2
；

2
（2）
x
1
3
＋
x
2
3
．

5．关于
x
的方程
x
2
＋4
x
＋
m
＝0的两根为x
1
，
x
2
满足|
x
1
－
x
2
|＝2，求实数
m
的值．

C 组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边 长恰好是方程2
x
2
－8
x
＋7＝0的两根，则这个直角三角形的< br>斜边长等于 （ ）

（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9

（2）若
x
1
，
x
2
是方程2
x
2
－4
x
＋1＝0的两个根，则< br>x
1
x
2
?
的值为 （ ）

x
2
x
1

（A）6 （B）4 （C）3 （D）
3

2（3）如果关于
x
的方程
x
2
－2(1－
m
)
x
＋
m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ）

（A）α＋β≥
11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1

22
（4）已知
a，
b
，
c
是Δ
ABC
的三边长，那么方程
cx
2
＋(
a
＋
b
)
x
＋
（ ）

c
＝0的根的情况是
4
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根

2．填空：

若方程
x
2
－8
x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x2
，且3
x
1
＋2
x
2
＝18，则
m
＝ ．

3． 已知
x
1
，
x
2< br>是关于
x
的一元二次方程4
kx
2
－4
kx
＋
k
＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数
k
，使 (2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－
理由；

3
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，说明
2
（2）求使
x1
x
2
?
－2的值为整数的实数
k
的整数值；

x
2
x
1
（3）若
k
＝－2，
?
?
x
1
，试求
?
的值．

x
2
m
2
?0
．

4．已知关于
x
的方程
x?(m?2)x?
4
2

（1）求证：无论
m
取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个 实数根
x
1
，
x
2
满足|
x
2
| ＝|
x
1
|＋2，求
m
的值及相应的
x
1
，
x
2
．

5．若关于
x
的方程
x
2
＋
x
＋
a
＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数
a
的取值范围．

2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）
x
2
＋2
x
－3＝0
3．
k
＜4，且
k
≠0
4．－1 提示：(
x
1
－3)(
x
2
－3)＝
x
1
x
2
－3(
x
1
＋
x
2
)＋9

习题2．1
A 组
1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于 ②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没
有实数根；对于④，其两根之和应为－
2
．
3
（3）C 提示：当
a
＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
2． （1）2 （2）
17
（3）6 （3）
3

4
113．当
m
＞－，且
m
≠0时，方程有两个不相等的实数根；当
m
＝－时，方程有两个相等的实数根；
44
当
m
＜－
1
时，方程没有实数根．
4

4．设已知方程的两根分别是
x
1
和
x
2
，则所求的方程的两根分别是－
x
1
和－
x
2
，∵
x
1
＋
x
2
＝7，x
1
x
2
＝－
1，∴(－
x
1
)＋( －
x
2
)＝－7，(－
x
1
)×(－
x
2
)＝
x
1
x
2
＝－1，∴所求的方程为
y
2
＋7
y
－1＝0．
B组

1．C 提示：由于
k
=1时，方程为
x
2
＋2＝0，没有实数根，所以
k
＝ －1．
2．（1）2006 提示：∵
m
＋
n
＝－2005，< br>mn
＝－1，∴
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
＝
mn
(
m
＋
n
－1)＝－1×(－ 2005－1)
＝2006．

（2）－3 提示；∵
a
＋
b
＝－1，
ab
＝－1，∴
a
3
＋
a2
b
＋
ab
2
＋
b
3
＝
a< br>2
(
a
＋
b
)＋
b
2
(
a
＋
b
)＝(
a
＋
b
)(
a
2< br>＋
b
2
)＝(
a
＋
b
)[(
a
＋
b
)
2
－2
ab
]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－
k
)
2
－4×1×(－2)＝
k2
＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵
x
1< br>＋
x
2
＝
k
，
x
1
x
2< br>＝－2，∴2
k
＞－2，即
k
＞－1．
3abc?b
3
x
1
?x
2
b
b
2
?4ac
33
4．（1）|
x
1
－
x
2
|＝，＝
?
；（2）
x
1
＋
x
2
＝．

3
a
2a
2
|a|
5．∵|
x
1
－
x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴
m
＝ 3．把
m
＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴
m
＝3．

C组

1．（1）B （2）A
（3）C 提示：由Δ≥0，得
m
≤
1
，∴α＋β＝2(1－
m
)≥1．
2
（4）B 提示：∵
a
，
b
，
c
是Δ
ABC
的三边长，∴
a
＋
b
＞
c
， ∴Δ＝(
a
＋
b
)
2
－
c
2
＞0 ．
2．（1）12 提示：∵
x
1
＋
x
2
＝ 8，∴3
x
1
＋2
x
2
＝2(
x
1
＋
x
2
)＋
x
1
＝2×8＋
x
1
＝18，∴
x
1
＝2，∴
x
2
＝6，∴
m
＝
x
1
x
2
＝12．

3．（1）假设存 在实数
k
，使(2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－
3
成立．
< br>2
∵一元二次方程4
kx
2
－4
kx
＋
k< br>＋1＝0有两个实数根，

∴
k
≠0，且Δ＝16
k
2
－16
k
(
k
+1)=－16
k
≥0，∴
k
＜0．

∵
x
1
＋
x
2
＝1 ，
x
1
x
2
＝
k?1
，

4k
∴ (2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝2
x
1
2
－5
1
x
2
＋2
x
2
2

＝2(
x
1
＋
x
2
)
2
－9
x
1
x
2
＝2－
3
9(k?1)
＝－，

2
4k
即
9
3
9(k?1)
7
＝，解得< br>k
＝，与
k
＜0相矛盾，所以，不存在实数
k
，使(2
x
1
－
x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－成
5
22
4k
立．

x
1
x
2
x
1
2
?x
2
2
(x< br>1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
（2）∵
?
－2＝< br>?2??2??4

x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
＝
4k4k?4(k?1)4
，

?4???
k?1k?1k?1< br>∴要使
x
1
x
2
?
－2的值为整数，只须
k
＋1能整除4．而
k
为整数，

x
2
x
1
∴
k
＋1只能取±1，±2，±4．又∵
k
＜0，∴
k＋1＜1， ∴
k
＋1只能取－1，－2，－4，∴
k
＝－2，
－3，－5．

∴能使
x
1
x
2
?
－2的 值为整数的实数
k
的整数值为－2，－3和－5．

x
2
x
1
1
（3）当
k
＝－2时，
x
1
＋
x
2
＝1，①
x
1
x
2
＝， ②

8

①
2
÷②，得
x
1
x
2
1
?
＋2＝8，即
?
??6
，∴?
2
?6
?
?1?0
，

x
2
x
1
?
∴
?
?3?22
．

4．（1）Δ＝
2(m?1)
2
?2?0
；

m
2
（2）∵
x
1
x
2
＝－≤0，∴
x
1
≤0，
x
2
≥0，或
x
1
≥ 0，
x
2
≤0．

4
①若
x
1
≤0，
x
2
≥0，则
x
2
＝－
x
1
＋2，∴
x
1
＋
x
2
＝2，∴
m－2＝2，∴
m
＝4．此时，方程为
x
2
－2
x
－4＝0，∴
x
1
?1?5
，
x
2
?1?5．

②若
x
1
≥0，
x
2
≤0，则－
x
2
＝
x
1
＋2，∴
x
1< br>＋
x
2
＝－2，∴
m
－2＝－2，

∴m
＝0．此时，方程为
x
2
＋2＝0，∴
x
1
＝0，
x
2
＝－2．

5．设方程的两根为
x
1< br>，
x
2
，则
x
1
＋
x
2
＝ －1，
x
1
x
2
＝
a
，

由一根大于1、另一根小于1，得

(
x
1
－1)(
x
2
－1)＜0， 即
x1
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)+ 1＜0，

∴
a
－(－1)＋1＜0，∴
a
＜－2．

此时，Δ＝1
2
－4×(－2) ＞0，

∴实数
a
的取值范围是
a
＜－2．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

问题1 函数
y
＝
ax
2
与
y
＝
x
2
的图象之间存在怎 样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出
y
＝2x
2
，
y
＝
22
1
2
x
，< br>y
＝－2
x
2
的图象，通过这些函数图象与函数
y
2
2
＝
x
的图象之间的关系，推导出函数
y
＝
ax< br>与
y
＝
x
的图象之间所存在的关系．

先画出函数< br>y
＝
x
2
，
y
＝2
x
2
的 图象．

先列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

x
2

…

9

4

1

0

1

4

9

…

2
x
2

…

18

8

2

0

2

8

18


从表中不难看出，要得到2
x
2
的值，只 要把相应的
x
2
的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得 到了函数
y
＝
x
2
，
y
＝2
x
2
的图象（如图2－1所示），
从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数
y
＝2
x
2
的图象可
以由函数
y
＝
x< br>2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方 法画出函数
y
＝
1
2
x
，
y
＝－2
x
2
的图象，并
2
研究这两个函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)的图象可以由
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍得到．在二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)中，二次项系数
a
决定了图象的开口方向 和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
与
y
＝
ax
2
的图象之间存在怎样的关系？

同样地， 我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数
y
＝ 2(
x
＋1)
2
＋1与
y
＝2
x
2
的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们
不难发现，只要把函数
y
＝2
x
2
的图象向左平移一个单位，再向上平移一
个单位，就可以得到函数
y< br>＝2(
x
＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间
具有“形 状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数
y
＝－3
x
2
，
y
＝－3(
x
－1)
2
＋1的图象 ，研究
它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠0)中，
a
决定了二次函数图象的开口大小及方向；
h
决定了二 次函数图
象的左右平移，而且“
h
正左移，
h
负右移”；
k
决定了二次函数图象的上下平移，而且“
k
正上移，
k
负下移”．< br>
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象的方法：
b
2
b
2
bb
2
由于
y
＝
a x
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
＋
x
)＋
c
＝
a
(
x
＋
x
＋2
)＋
c
－

4a
4a
aa
22b
2
b
2
?4ac

?a(x?)?
，

2a4a
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象可以 看作是将函数
y
＝
ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)具有下列性质：

2
b4ac?b
2
)
，对称轴为直线
x
（1）当
a
＞0时，函数
y
＝< br>ax
＋
bx
＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
(?,< br>2a4a
2
＝－
bbbb
；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＝
?
2 a2a2a2a
4ac?b
2
时，函数取最小值
y
＝．
< br>4a

b4ac?b
2
)
，对称轴为直线
x（2）当
a
＜0时，函数
y
＝
ax
＋
bx＋
c
图象开口向下；顶点坐标为
(?,
2a4a
2
＝－
bbbb
；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝
?
2a2a2a2a
4ac?b2
时，函数取最大值
y
＝．

4a
上述二次函数的 性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决
二次函数问题时，可 以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数
y< br>＝
－
3
x
2
－6
x
＋1图象的开口方向、对 称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指
出当
x
取何值时，
y
随
x
的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵
y＝
－
3
x
2
－6
x
＋1＝－3(
x< br>＋1)
2
＋4，

∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线
x
＝－1；

顶点坐标为(－1，4)；

当
x
＝－1时，函数
y
取最大值
y
＝4；

当
x
＜－1时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞－1时，
y
随着
x
的增大而减小；

采用描 点法画图，选顶点
A
(－1，4))，与
x
轴交于点
B
(< br>为
D
(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

23?3 23?3
,0)
和
C
(?,0)
，与
y
轴的交点< br>33
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减 少了选
点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120 元件，试销阶段每件产品的售价
x
（元）与产品的日销售量
y
（件）之

间关系如下表所示：

x
元

130

150

165

y
件

70

50

35

若日销售量
y
是销售价
x< br>的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每天的销 售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量
y
×(销售价
x
－120)，日销售量
y
又是销售价
x
的一次函数，所以，
欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价
x
之间的函数关系，然后，再 由它
们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于
y
是x
的一次函数，于是，设
y
＝
kx
＋
（B）

将
x
＝130，
y
＝70；
x
＝150，
y
＝50代入方程，有

解得
k
＝－1，
b
＝200．

∴
y
＝－
x
＋200．

设每天的利润为
z
（元），则

z
＝(－
x
+200)(
x
－120)＝－
x
2
＋320
x
－24000

＝－(
x
－160)
2
＋1600，

∴当
x
＝160时，
z
取最大值1600．

答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上 平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数
y
＝
x
2
的

图像，求
b
，
c
的值．

b
2b
2
解法一：
y
＝
x
＋
bx
＋
c
＝(
x
+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移 4个单位，得到
4
2
2
bb
2
2
2
y?( x??4)?c??2
的图像，也就是函数
y
＝
x
的图像，所以，< br>
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得
b
＝－8，
c
＝14．

2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数
y
＝
x
2
的图像，等价于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移2个单 位，再向右平移4个单位，得到函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像．

由于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数
y
＝(
x－4)
2
＋2
的图像，即为
y
＝
x
2
－8
x
＋14的图像，∴函数
y
＝
x
2
－8
x
＋14与函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋c
表示同一个函数，
∴
b
＝－8，
c
＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件 进行正向的思维来解决的，其运算
量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成 与之等价的问题来解，具有计
算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当 的方法来解决问题．

例4 已知函数
y
＝
x
2
，－2≤
x
≤
a
，其中
a
≥－2，求该函数的最大值与最小 值，并求出函数取最大值
和最小值时所对应的自变量
x
的值．

分 析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对
a
的取值进行讨论．

解：（1）当
a
＝－2时，函数
y
＝
x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最

小值都是4，此时< br>x
＝－2；

（2）当－2＜
a
＜0时，由图2．2－6①可 知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝
a
时，函数
取最小值
y
＝
a
2
；

（3）当0≤
a
＜2时，由图2．2－6②可知，当
x
＝－2时，函数取最 大值
y
＝4；当
x
＝0时，函数取
最小值
y
＝0；

（4）当
a
≥2时，由图2．2－6③可知，当
x
＝a
时，函数取最大值
y
＝
a
2
；当
x
＝0时，函数取最小
值
y
＝0．


y

4
4

y

a
2

4

y

说明：在本例中，利用了分
类讨论的方法，对
a
的所有
a
2

－2

a

a
x

－2

2

O

①
O

a

2

x

－2

O

③

a

x

可能情形进行讨论．此外，
本例中所研究的二次函数的
自变量的取值不是取任意的
图2.2－6

实数， 而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练 习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）

（A）
y
＝2
x
2
（B）
y
＝2
x
2
－4
x
＋2

（C）
y
＝2
x
2
－1 （D）
y
＝2
x
2
－4
x


（ 2）函数
y
＝2(
x
－1)
2
＋2是将函数
y＝2
x
2
（ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数
y
＝2
x
2
－
mx
＋
n
图象的顶点坐标为(1，－2)，则
m
＝ ，
n
＝ ．

（2）已知二次函数
y
＝
x
2
+(
m
－2)
x
－2
m
，当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
y
轴上；当
m
＝ 时，
函数图象的顶点在
x
轴上；当
m
＝ 时，函数图象经过原点．

（3）函数
y
＝－3(
x
＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
当
x
＝ 时，函数取最 值
y
＝ ；当
x
时，
y
随着
x
的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方 向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x
的变化情况，并画出其图象．

（1）
y
＝
x
2
－2
x
－3； （2）
y
＝1＋6
x
－
x
2
．

4．已知函数
y
＝－
x
2
－2
x
＋3，当自变量
x
在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并
求当函数取最大（小）值时 所对应的自变量
x
的值：

（1）
x
≤－2；（2）
x
≤2；（3）－2≤
x
≤1；（4）0≤
x
≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)；

2．顶点式：
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a≠0)，其中顶点坐标是(－
h
，
k
)．

除了上述两 种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a< br>≠0)的图象与
x
轴交点个数．

当抛物线
y
＝ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与x
轴相交时，其函数值为零，于是有

ax
2
＋
bx
＋
c
＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点的横坐标（纵坐标为零）， 于是，不
难发现，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与方程①的解的个数有 关，而方程①的解的个
数又与方程①的根的判别式Δ＝
b
2
－4
ac
有关，由此可知，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点
个数与根的判别式Δ ＝
b
2
－4
ac
存在下列关系：

（1）当Δ＞0 时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点；反过来，若抛物线
y
＝< br>ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与< br>x
轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线
y< br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛
物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点；反过来，若抛物线
y
＝
ax
2< br>＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有 交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个 交点
A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)，则
x
1
，
x
2
是方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0的两根，所以

b
a
c
a
x
1
＋
x
2
＝
?
，
x
1
x
2
＝，

即
bc
＝－(
x
1
＋
x
2
)， ＝
x
1
x
2
．

aa

所 以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
＝< br>a
(
x
2
?
bc
x?
)

aa
=
a
[
x
2
－(< br>x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1< br>x
2
]

＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交于
A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)两点，则其函数关系式可以表示
为
y
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)，其中< br>x
1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横 坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点 式、交点式这
三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大 值为2，图像的顶点在直线
y
＝
x
＋1上，并且图象经过点（3，－1），< br>求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值 、顶点位置，从而可以将二次函数设
成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数
a
．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线
y
＝
x
＋1上，

所以，2＝
x
＋1，∴
x
＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为
y?a (x?2)
2
?1(a?0)
，

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得
a
＝－2．

∴二次函数的解析式为
y ??2(x?2)
2
?1
，即
y
＝－2
x
2
＋8
x
－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶 点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函
数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题 目所给的条件，并巧妙地利用条件简
捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过 点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的距离等于2，求此二次函数的表
达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与< br>x
轴的交
点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋3) (
x
－1) (
a
≠0)，

展开，得
y
＝
ax
2
＋2
ax
－3
a
，

?12a
2
?4a
2
??4a
，

顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2，

1
∴|－4
a
|＝2，即
a
＝
?
．

2< br>1313
所以，二次函数的表达式为
y
＝
x
2
?x?
，或
y
＝－
x
2
?x?
．

2222

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以 ，对称轴为直线
x
＝－1，又由顶点到
x
轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为 2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，
然后再利用图象过点(－3，0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线
x
＝－1．

又顶点到
x
轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋1)
2
＋2，或
y
＝
a
(
x
＋1)
2
－2，

由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝
a
(1＋1)
2< br>＋2，或0＝
a
(1＋1)
2
－2．

∴
a
＝－
11
，或
a
＝．

22
11
(
x
＋1)
2
＋2，或
y
＝(
x
＋1)
2
－2．

22
所以，所求的二次函数为
y
＝
－
说明：上述两种解法 分别从与
x
轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点
式来解题， 在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
< br>解：设该二次函数为
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
(
a
≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

解得
a
＝－2，
b
＝12，
c
＝－8．

所以，所求的二次函数为
y
＝－2
x
2
＋12x
－8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函 数的一般式、顶点式、交点式
来求二次函数的表达式？

练 习

1．选择题:

（1）函数
y
＝－
x
2
＋
x
－1图象与
x
轴的交点个数是 （ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

1
（2）函数
y
＝－ (
x
＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）

2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

2．填空：

（1）已 知二次函数的图象经过与
x
轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为
y
＝
a

(
a
≠0) ．
< br>（2）二次函数
y
＝－
x
2
+23
x
＋1的 函数图象与
x
轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当
x
＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（ 3）函数图象与
x
轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与
y
轴交 于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二 次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函
数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、
不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶
点 的位置即可．

例1 求把二次函数
y
＝
x
2
－ 4
x
＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位 置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只
改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常 数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为
顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点 位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

解：二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
－3的解析式可变为


y
＝2(
x
－1)
2
－1，

其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数
y
＝2(
x
－1)
2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象
的顶点坐 标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为


y
＝2(
x
－3)
2
－2．

（2） 把函数
y
＝2(
x
－1)
2
－1的图象向上平移3个单位， 向左平移2个单位后，其函数图象

的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为


y
＝2(
x
＋1)＋2．

2
2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有 什么特点？依据这一
特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现： 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点
——只改变函数图象的位 置或开口方向、不改变其形状，因此，
在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

例2 求把二次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于下列直线
对称后所得到图象对应 的函数解析式：

（1）直线
x
＝－1；

（2）直线
y
＝1．

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于直线
x＝－1作对称变换后，只改
变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于
y
＝2
x
2
－4
x
＋1＝2(
x
－1)
2
－1，可知，函数
y
＝2
x
2
－4
x< br>＋1图象的顶点为
A
(1,－1)，所
以，对称后所得到图象的顶点为
A
1
(－3，1)，所以，二次函数
y
＝2
x
2
－ 4
x
＋1的图象关于直线
x
＝－1
对称后所得到图象的函数解析式为
y
＝2(
x
＋3)
2
－1，即
y
＝2x
2
＋12
x
＋17．

（2）如图2．2－8，把二 次函数
y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于直线x
＝－1作对称变换后，只改变图象
的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

由于
y
＝2
x
2
－4
x< br>＋1＝2(
x
－1)
2
－1，可知，函数
y
＝2x
2
－4
x
＋1图象
的顶点为
A
(1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为
B
(1，3)，且开
口向下，所以，二次函数y
＝2
x
2
－4
x
＋1的图象关于直线
y＝1对称后所
得到图象的函数解析式为
y
＝－2(
x
－1)2
＋3，即
y
＝－2
x
2
＋4
x
＋1 ．

二、分段函数



一般地，如果自变量在不同取值范 围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
例3 在国内投递外埠平信，每封 信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160
分，超过40g不超过60g付邮 资240分，依此类推，每封
x
g(0＜
x
≤100)的信应付多少邮资（单 位：
分）？写出函数表达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量
x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函
数给出其对应的函数解析式 ．在解题时，需要注意的是，当
x
在各个小范围内（如20＜
x
≤40）变化
时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资 为
y
（单位：分），则
y
是
x
的函数．这个函数的解析式为

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．


例4如图9－2所示，在边长为2的正方形
ABCD
的边上有一个动点
P
， 从点
A
出发沿折线
ABCD
移动一周后，回到
A
点．设点< br>A
移动的路程为
x
，Δ
PAC
的
面积为
y< br>．

图2.2－
（1）求函数
y
的解析式；

（2）画出函数
y
的图像；

（3）求函数
y
的取值范围．

分析：要对点
P
所在的位置进行分类讨论．

解： （1）①当点
P
在线段
AB
上移动（如图2．2－10①），即0＜
x
≤2时，

y
＝
AP?BC
＝
x
；

1
2
②当点
P
在线段
BC
上移动（如图2．2－ 10②），即2＜
x
＜4时，

y
＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－
x
；

1
2
1
2
③当点
P
在线段
CD
上移动（如图2．2－10③），即4＜
x
≤6时，

y
＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝
x
－4；

1
2
1
2
④当点
P
在线段
DA
上移动（如图2．2－10④），即6＜
x
＜8时，

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

方程
x
2
?2xy?y
2
?x?y?6?0

是一个含 有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次
方程．其中< br>x
2
,
2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次项 ,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的，第二个方程组是由两个二元二次方
程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

例1 解方程组

①
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方 程组时，可以将其转化为我们熟悉的
形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消 去一个元，再代入到方程①，得
到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的 问题．

解：由②,得


x
＝2
y
＋2， ③

把③代入①,整理,得

8
y
2
＋8
y
＝0，

即
y
(
y
＋1)＝0．

解得
y
1
＝0，
y
2
＝－1．

把
y
1
＝0代入③, 得
x
1
＝2；

把
y
2
＝－1代入③, 得
x
2
＝0．

所以原方程组的解是

说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

例2 解方程组
①

解法一：由①，得

把③代入②，整理，得


x?7?y.
③

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．

方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求
x,y
．

把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；

这个方程组的
x,y
是一元二次方程

把
y
2?4
代入③，得
x
2
?3
．

的两个根，解这个方程，得

所以原方程的解是


z?3
，或
z?4
．

解法二：对这个方程组，也可以根据 一元二次方
程的根与系数的关系，把
x,y
看作一个一元二次
练 习

所以原方程组的解是
1．下列各组中的值是不是方程组

的解?

?
x?2,
?
x?3,
?
x? 1,
?
x??2,
（1）
?
（2）
?
（3）
?
（4）
?


?
y?3;
?
y?2;
?
y?4;
?
y??3;
2．解下列方程组:

?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）

?
2
?
xy??10;
?
x?y?625;
?
x
2< br>y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?
2.3.2 一元二次不等式解法

二次 函数
y
＝
x
2
－
x
－6的对应值表与图象如下：
x
－3 －2 －1 0 1 2 3 4

y
6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当
x
＝－2，或
x
＝3时，
y
＝0，即
x
2
－
x
＝6＝0；
当
x
＜－2，或
x
＞3时，< br>y
＞0，即
x
2
－
x
－6＞0；
当－2＜
x
＜3时，
y
＜0，即
x
2
－
x
－6＜0．
这就是说，如果抛物线
y
=
x
－
x
－6与
x
轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
2
一元二次方程
x
2
－
x
－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，
x
2
＝3；
同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＞0
的解是

x
＜－2，或
x
＞3；
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＜0
的解是

－2＜
x
＜3．
上例表明：由抛物线与
x
轴的交点可以确定对应的 一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解
集．
那么，怎样解一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象来解一元 二次
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0(a
≠0)．

为了方便起见，我们先来研究二次项系数
a
＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝ 0(
a
＞0)，设△＝
b
2
－4
ac
，它的解的情 形按照△＞0，△
=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和 没有实数解，相
应地，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx< br>＋
c
（
a
＞0）与
x
轴分别有两个公共点、一个公共 点和没有公共点(如图2.3
－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式< br>ax
2
＋
bx
＋
c
＞0（
a
＞0） 与
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0（
a
＞ 0）的解．

（1）当Δ＞0时，抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴有两个 公共点(
x
1
，0)和(
x
2
，0)，方程
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝0有两个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(
x
1
＜
x
2
)，由图2.3－2①可知

不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0的解为


x
＜
x
1
，或
x
＞
x
2
；

不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0的解为


x
1
＜
x
＜
x
2
．

（2）当Δ＝0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
（
a
＞0）与
x
轴有且仅有一个公共点，方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－
b
，由图2.3－2②可知
2
a

不等式
ax
2
＋
bx
＋< br>c
＞0的解为


x
≠－ ；

2
a
b
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx< br>＋
c
（
a
＞0）与
x
轴没有公共点，方程
a x
2
＋
bx
＋
c
＝0没有实
数根
，
由图2.3－2③可知

不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解为一切实数；

2
不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0无解．

今后，我们在解一元二次不等式时，如果 二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如
果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘 以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，
再利用上面的结论去解不等式．

例3 解不等式：

（1）
x
2
＋2
x
－3≤0； （2）
x－x
2
＋6＜0；

（3）4
x
2
＋4
x
＋1≥0； （4）
x
2
－6
x
＋9≤0；

（5）－ 4＋
x
－
x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程
x
2
＋2
x
－3＝0的解是

（2）整理，得


x
1
＝－3，
x
2
＝1．


x
2
－
x－
6＞0．

∴不等式的解为

∵Δ＞0，方程
x
2
－
x－
6=0的解为

－3≤
x
≤1．

x
1
＝－2，
x
2
＝3．

∴所以，原不等式的解为

x
＜－2，或
x
＜3．
（3）整理，得
(2
x
＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数
x
都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(
x
－3)
2
≤0.
由于当
x
＝3时，(
x
－3)
2
＝0成立；而对任意的
实数
x
，(
x
－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为

x
＝3．
（5）整理，得

x
2
－
x
＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

例4 已知不等式
ax< br>2
?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx
2
?ax?c?0
的解．

解：由不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
< br>a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，

b
?5,
a
c
?6
，

a
b
??5,
a
c
?6
．

a
∴
?
即
由于
a?0
，所以不等式
bx
2
?ax?c?0
可变为

bc

x
2
?x??0
，

aa
即 －
5x
2
?x?6?0,

整理，得

所以，不等式
bx
2
?ax?c?0
的解是

6

x
＜－1，或
x
＞ ．

5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例5 解关于
x
的一元二次不等式
x
2
?ax?1?0(a
为实数 ).

分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本 题已满足这一要
求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知系数的代数式,
?
的符号取决于未知系数的取值范围，因此, 再根据解题的需要,对
?
的符号进行分类讨论.

解:
?
?a
2
?4
,

①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x
2
?ax?1?0的解是

?a?a
2
?4 ?a?a
2
?4
所以,原不等式的解集为
x?
；

,
或
x?
22
②当Δ＝0，即
a
＝±2时，原不等式的解为


x
≠－ ；

2
a
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .

综上,当
a
≤－2，或
a
≥2时，原不等式的解是

?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；

,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．

例6 已知函数
y
＝
x
2
－2
ax＋1(
a
为常数)在－2≤
x
≤1上的最小值为
n
，试 将
n
用
a
表示出来．

分析：由该函数的图象可知，该函 数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴
的位置进行分类讨论．

解：∵
y
＝(
x－a
)
2
＋1－
a
2，

∴抛物线
y
＝
x
2
－2
ax
＋1的对称轴方程是
x
＝
a
．

（1 ）若－2≤
a
≤1，由图2.3-3①可知,当
x
＝
a
时， 该函数取最小值


n
＝1－
a
2
；

(2)若
a
＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当
x
＝
-
2时，该函数取最小值


n
＝4
a
+5；

(2)若
a
＞1时, 由图2.3-3③可知, 当
x
＝1时，该函数取最小值


n
＝-2
a
+2.

综上,函数的最小值为

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

练 习

1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．

?
x
1
?15,
2．（1）
?
?
y
1?20,
?
x
2
??20,
?
x
1
? 5,
（2）
??
y??15;
?
2
?
y1
??2,
?
x
2
??2,

?
?< br>y
2
?5;
5
?
x?,
?
?
x1
?2,
?
x
2
?2,
?
3
（3）
?
（4）
?

?
?
y
1
?2,
?
y
2
??2.
?y??
4
.
?
3
?
2.3.2 一元二次不等式解法

练 习

4
1．（1）
x
＜－1，或
x
＞ ； （2）－3≤
x
≤4； （3）
x
＜－4，或
x
＞1；

3
（4）
x
＝4．

2．不等式可以变为(
x
＋1＋
a
)(
x
＋1－
a
)≤0，

（1）当－1－
a
＜ －1＋
a
，即
a
＞0时，∴－1－
a
≤
x
≤－1＋
a
；

（2）当－1－
a
＝－1＋
a
，即
a
＝0时，不等式即为 (
x
＋1)
2
≤0，∴
x
＝－1；

（3）当－1－
a
＞－1＋
a
，即
a
＜0时，∴－1＋
a
≤
x
≤－1－
a
．

综上，当
a
＞0时，原不等式的解为－1－
a
≤
x< br>≤－1＋
a
；

当
a
＝0时，原不等式的解为
x
＝－1；

当
a
＜0时，原不等式的解为－1＋
a
≤
x
≤－1－
a
．

习题2．3

A 组

1024
??
x?,x?,
22
??
x?0,
?
x
1?2,
?
??
35
1
1．（1）
?

?
（2）
?

?

?
y
1
?0,
?
y
1
?0,
?
y?
4
.
?
y??
12
.
22
??
35??
?
?
x
1
?3?2,
?
?
x2
?3?2,
（3）
?


?
?
?
y
1
?3?2,
?
?
y
2
?3?2;
?
?
x
1
?3,
?
?
x
2
?3,
?
?
x
3
??3,
?
?
x
4
??3,
（4）
?

???
??
?
y
1
?1,
?
?
y
2
??1,
?
?
y
4
??1.
?
y
3
?1,
2．（1）无 解 （2）
?
2323
?x?

33
（3）1－2≤
x
≤1＋2 （4）
x
≤－2，或
x
≥2
B 组

1．消去
y
，得
4x
2
?4(m?1)x?m
2
?0
．

当
??16(m?1)
2
?16m
2
?0
,即
m?
1
时，方程有一个实数解．

2

1
?
1
?
x?,
将
m?
代入原方程组，得方程组的解为
?
4

2
?
?
y?1.
2．不等式可变形为(
x
－1)(
x
－
a
)＜0．

∴当
a
＞1时，原不等式的解为1＜
x
＜
a
；

当
a
＝1时，原不等式的无实数解；

当
a
＜1时，原不等式的解为
a
＜
x
＜1．

C 组

1．由题意，得 －1和3是方程2
x
2
＋bx
－
c
＝0的两根，

∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即
b
＝－4，
c
＝6．

22
bc
∴等式
bx
＋
cx
＋4≥0就为－4
x
＋6
x
＋4≥0，即2
x
－3
x
－2≤0，

222
1
∴－ ≤
x
≤2．

2
2．∵
y
＝－
x
＋
mx
＋2＝－(
x
－ )＋2＋ ，

24
2
m
2
m
2
∴当0≤ ≤2，即0≤
m
≤4时，
k
＝2＋ ；

24
mm
2
当 ＜0，即
m
＜0时，
k
＝2；

2
m
当 ＞2，即
m
＞4时，
k
＝2
m
－2．

2
m

m?0,
?
2,
?
2
?m
∴
k?
?
?2,0?m?4,

?
4
m?4.
?
?
2m?2,

3．1 相似形

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究 中，我们发现
平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线
l
1
,l
2
,l
3
（如图3.1-1），直线
a交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A,B,C
，
AB?2,BC?3
，
另作直线
b
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A',B',C'
，不难发现
A'B'AB2
??.

B'C'BC3
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
图
如图3.1-2，
l< br>1
l
2
l
3
，有
AB
BC
DEAB DE
?
.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，
EFACDF
我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB2,BC3,DF4,
求
DE,EF
.
解 l
1
l
2
l
3
,
AB
BC
D E
EF
2
,

3
DE?
28312
DF?,EF?DF?.

2?352?35
图
例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
ADAEDE
??
.
ABACBC
求证：
证明（1）
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE
??.

ABACBC
?ADE
∽
ABC
，
?
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，

?
ADAE
.
?
ABAC
过
E< br>作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

图
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例.
例3 已知
ABC
，
D
在
AC
上，
AD :DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设
EC< br>交
BD
于
F
，则
F
为
EC
的中点， 作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
?EG
1< br>AD,BEG
2
BAD
，且
BEEG1
??,

BAAD2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
图
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
AB
AC
BD
.
DC
例4 在
ABC
中，
AD
为
BAC
的平分线，求证：
证明 过
C
作
CE

AD
，交
BA
延长线于
E
，

AD
平分
BAC,BADDAC,

由
ADCE
知
BADE,DACACE,

EACE,即AEAC,

AB
AC
BD
.
DC
图
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比 ）.
练习1
1．如图3.1-6，l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
AD
DF
CE
DF
CEAD
B．
BCBE
ADAF
D.
BCDF
BC

AF
BE

CE
A．
C．

图
2 ．如图3.1-7，
DEBC,EFAB,AD5cm,DB3cm,FC2cm,
求
BF
.

图
3．如图，在
ABC
中，
AD
是角
BAC
的平分线，
AB
=5cm,
AC
=4cm,< br>BC
=7cm,求
BD
的长.

图
ABBD
4．如图，在
ABC
中，
BAC
的外角平分线
AD
交BC
的延长线于点
D
，求证：.
ACDC

图
5．如图，在
ABC
的边
AB
、
AC
上分别取
D
、
E
两点，使
BD
=
CE
，
DE

延长线交
BC
的延长线于
F
.求证：
DF
E F
AC
.
AB

图
3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判
定 两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形
ABCD
的对角线相交 于点
O
，
BACCDB
，求证：
DACCBD
.
证明 在
OAB
与
ODC
中，
OAB
∽
ODC
，
OA
OD
OA
OB< br>，即
OB
OC
OD
.
OC
又
OAD
与
OBC
中，
AODBOC
，
图
OAD
∽
OBC
，
DACCBD
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形
ABC
中，
BAC
为直 角，
ADBC于D
.
求证：（1）
AB
2
BDBC
，
AC
2
CDCB
；
（2）
AD
2
BDCD

图
证明 （1）在RtBAC
与
RtBDA
中，
B
BA
BD
BC
,即AB
2
BA
B
，
BAC
∽
BDA
，
BDBC.

同理可证得
AC
2
CDCB
.
（2）在< br>RtABD
与
RtCAD
中，
C
AD
BD
9 0
o
CADBAD
，
RtABD
∽
RtCAD
，
DC
,即AD
2
AD
BDDC.

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在< br>ABC
中，
ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F
，求证：
AE ABAFAC
.
证明
ADBC
，
ADB
为直角三角形，又
DEAB
，
由射影定理，知
AD
2
AEAB
.
同理可得
AD
2
AFAC
.
AEABAFAC
.
图
例8 如图3.1-14，在
ABC
中，
D
为边
BC
的中点，
E
为边
AC
上的任意一点，
BE
交
AD
于点
O
.
某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1） 当
AE
AC
1
2
1
图
AO
时，有
11AD
2
3
2
21
.（如图3.1-14a）
（2） 当
AE
AC
1
3
1
12
时，有< br>AO
AD
2
4
2
22
.（如图3.1-14b）
（3） 当
AE
AC
1
4
1
13
时，有< br>AO
AD
2
5
2
23
.（如图3.1-14c） < br>在图3.1-14d中，当
AE
AC
1
1n
时，参照上述研究 结论，请你猜想用
n
表示
AO
的一般结论，并给出
AD

证明（其中
n
为正整数）.
解：依题意可以猜想：当
AE
AC
1
1n
时，有
AO
AD
2
2n
成立 .
证明 过点
D
作
DF

BE
交
AC< br>于点
F
，
D
是
BC
的中点，
F
是
EC
的中点， < br>AE
AC
1
1n
由可知
AE
EC
1
，
n
AO
AD
AE
EF
2AE
,
nAF< br>2
2n
.
.
想一想，图3.1-14d中，若
1AE
，则
nAC
?
< br>本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性
的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3 .1-15，
D
是
ABC
的边
AB
上的一点，过
D
点作
DE

BC
交
AC
于
E
.已知
AD
：
DB
=2：3，则
S
ADE
:S
四 边形BCDE
等于（ ）
图
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21

2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是
3: 2
，则梯形
的上、下底长分别是__________.
3．已知：
ABC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
A'B'C'
的最大边长是15，求
A'B'C'
的面
积
S
A'B'C'
.
4．已知：如图3.1-16，在四边形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
DA
的中点.
（1） 请判断四边形
EFGH
是什么四边形，试说明理由；

（2） 若四边 形
ABCD
是平行四边形，对角线
AC
、
BD
满足什么条件 时，
EFGH
是菱形？是正方形？

图
5．如图3.1-17,点
C
、
D
在线段
AB
上，
PCD
是等边三角 形，
（1） 当
AC
、
CD
、
DB
满足怎样的关 系时，
ACP
∽
PDB
？
（2） 当
ACP
∽
PDB
时，求
APB
的度数.

图
习题3.1
A组
1．如图3.1-18，
ABC
中，
AD
=
DF
=
FB
，
AE
=
EG
=
GC
，
FG
=4，则（ ）
A．
DE
=1，
BC
=7 B．
DE
=2，
BC
=6
C．
DE
=3，
BC
=5 D．
DE
=2，
BC
=8

图
2．如图3.1 -19，
BD
、
CE
是
ABC
的中线，
P
、
Q
分别是
BD
、
CE
的中点，则
PQ:BC等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6

图
3．如图3.1-20，
ABCD
中，
E
是
A
B延长线上一点，
DE
交
BC
于点
F
，已知
BE
：
AB
=2：3，
S
求
SCDF
BEF
4
，
.

图
4 ．如图3.1-21，在矩形
ABCD
中，
E
是
CD
的中点 ，
BE
作
FG

AB
交
AE
于
G< br>，求证：
AG
2
AFFC
.
AC
交
AC
于
F
，过
F

图
B组
EF
FC
AF
的值
FD
1．如图 3.1-22，已知
ABC
中，
AE
：
EB
=1：3，BD
：
DC
=2：1，
AD
与
CE
相交于F
，则
为（ ）
13
B．1 C． D．2
22
A．
图
2．如图3.1-23，已知
ABC
周长为1，连结
ABC
三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对
角线三边中点构 成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）
11
11
B． C．
2002
D．
2003

22
20022003
A．
图
3．如图3.1-24，已知
M
为
图中阴影部分的面积与
ABCD
的边
AB
的中点，
CM
交
BD
于点
E
，则
图
ABCD
面积的比是（ ）
11
15
A． B． C． D．
36
412
4．如图3.1-25，梯形
ABCD
中，
AD

B C
，
EF
经过梯形对角线的交点
O
，且
EF

AD
.
（1） 求证：
OE
=
OF
；
图
（2） 求
OE
AD
OE
的值；
BC
1
AD
1
BC
2
.
EF
（3） 求证：

C组
1．如图3.1-26，
ABC
中，
P
是边
AB
上一点，连结
CP
.
（1） 要使
ACP
∽
ABC
，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若
ACP
∽
ABC
，且
AP:PB2:1
，则
BC:PC
=_____.
图
2．如图3.1-27，点E是四边形< br>ABCD
的对角线
BD
上一点，且
BACBDCDAE
.
（1） 求证：
BEADCDAE
；
BC
可能等于那两条线段的比 （只须写出图中已有线段的一组比即可）？
DE
（2） 根据图形的特点，猜想
并证明你的猜想.
图
3．如图3.1-28，在
Rt ABC
中，
AB
=
AC
，
A90
o
，点< br>D
为
BC
上任一点，
DFAB
于
F
，
DEAC
于
E
，
M
为
BC
的中点，试判断
MEF
是什么形状的三角形，并证明你的结论.
图
于
F
，我们可
BD
4．如图3.1-29a，
AB
以证明
1
AB
1
CD
BD,CDBD,
垂足分别为
B
、
D
，AD
和
BC
相交于
E
，
EF
1
成立.
EF

若将图3.1-29
a
中的垂直改为斜交，如图3.1-29
b
，
ABCD,AD、BC
相交于
E
，EFAB交
BD
于
F
，
则：
1
AB
1
CD
ABD
（1）
1
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
图
EF
,S
BCD
（2） 请找出
S
和
S
EBD
之间的关系，并给出证明.
3.1 相似形
练习1

1．D

2．设
BF?x,< br>DE
BC
?
AD
AB
,?
x
x?2
?
5
8
,x?
10
10
3
，即
BF?3
.

3．
AB
AC
?
BD
DC?
5
4
,?BD?
35
9
cm.

4 ．作
CFAB
交
AD
于
F
，则
ABBD
C F
?
DC
，又
?AFC??FAE??FAC
得
AC?CF ,
?
ABBD
AC
?
DC
.

5．作EGAB
交
BC
于
G
，
CEGCAB,?
EG
AB
?
CE
AC
,
即
ACCEDBDFAC
AB
?
EG
?
EG
,?
EF
?
AB.

练习2
1．
C

2．12，18
3．
S
ABC
?
1
2
?3?4?6,?S
A' B'C'
?(
15
5
)
2
?6?54.

4．（1）因为
EH
1
2
BDFG,
所以
EFGH
是平行四边形；（2）当
AC?BD
时，
EFGH
为菱形；当
AC? BD,AC?BD
时，
EFGH
为正方形.

5．（1）当
CD
2
?AC?BD
时，
ACPPDB
；（2）
?APB? 120
o
.

习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
S
CDF
?9

4．
BF
为直角三角形
ABC
斜边上的高，
BF
2
?AF?FC
，又可证
AG? BF,
?AG
2
?AF?FC
.

B组
1．C 2.C 3.A

4．（1）
ADBC,?
EOAEDEOFOEOEAEBE
???,EO?OF
.（2）
????1.
（3）由（2）知
BCABDCBCADBCABAB
1112
???.

ADBCOEEF
C组
1.(1)
AC
2
?AP?AB< br>或
?ACP??B
.(2)
BC:PC?3:2
.

BEAE
；（2）
?
CDAD
2．（1）先证
AEBADC
，可得
ADEACB,?
BCABAD
.

??
DEAEA C
3．连
AD
交
EF
于
O
，连
OM
，
的中线，
OM?
ABC
为等腰直角三角形，且
AEDF
为矩形，
?OM
为
RtAMD
斜边
11
AD?EF,
?MEF
为直角三角形.又可证
BMF?AME
，得
MF?ME
， 故
MEF
22
为等腰直角三角形.

4．（1）成立，
11 1
EFEFFDBF111
??
，证略.

????1,???.< br>（2）
S
ABD
S
BCD
S
EBD
ABCD BDBDABCDEF
3.2 三角形

3．2．1 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1

图3.2-2

图3.2-3

如图3.2-1 ，在三角形
ABC
中，有三条边
AB,BC,CA
，三个角
A,B,C
，三个顶点
A,B,C
，在
三角形中，角平分线 、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于 一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是

每条中线的三 等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知
D
、
E
、
F
分别为
ABC三边
BC
、
CA
、
AB
的中点，
求证
AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结
DE
，设
AD
、
BE
交于点
G
，
1
AB
，
2
D
、
E
分别为
BC
、
AE
的中点，则
DE

AB
，且
DEGDE
∽
GAB
，且相似比为1：2，
AG2GD,BG2GE
.
图3.2-4

设
AD
、
CF
交于点
G'
，同理可得，
AG'2G'D,CG'2G'F .

则
G
与
G'
重合，

AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成
2:1
.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的
三边的距离相等.（如图3.2-5）
图3.2-5

例2 已知
ABC
的三边长分别为
BC a,ACb,ABc
，I为
ABC
的内心，且I在
ABC
的边
AF
bca
.
2
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、 E、F
，求证：
AE
证明 作
ABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三边上的切点，
AE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
AEAF
，
图3.2-6

同理，
BD
=
BF
，
CD
=
CE
.

即
AEAF
bca
.
2
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知
O
为三角形
ABC
的重心和内心.
求证 三角形
ABC
为等边三角形.
证明 如图，连
AO
并延长交
BC
于
D
.
O
为三角形的内心，故
AD
平分
BAC
，
AB
AC
BD
（角平分线性质定理）
DC
图3.2-7

O
为三角形的重心，
D
为BC
的中点，即
BD
=
DC
.
AB
AC
1
，即
ABAC
.
同理可得，
AB
=
BC
.
ABC
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

图3.2-8
例4 求证：三角形的三条高交于一点.


图3.2-9

已知
ABC
中，
ADBC于D,BEA C于E，
AD
与
BE
交于
H
点.

求证
CHAB
.
证明 以
CH
为直径作圆，
D、E
在以
CH
为直径的圆上，
FCBDEH
.
同理，
E
、
D
在以
AB
为直径的圆上，可得
BEDBAD
.
BCHBAD
，
又
ABD
与
CBF
有公共角
B
，
CFBADB90< br>o
，即
CHAB
.
过不共线的三点
A
、
B
、
C
有且只有一个圆，该圆是三角形
ABC
的外接圆，圆心
O
为三角形的外心.三
角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2．（1） 若三角形
ABC
的面积为
S
，且三边长分别为
a、b、c
，则三角形的内切圆的半径是___________;
（2）若直角三角形的 三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-
___________. 并请说明理由.
3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形
ABC
中， 三角形的内心
I
、
重心
G
、垂心
H
必然在一条直线 上.
例5 在
ABC
中，
AB?AC?3,BC?2.
求

（1）
ABC
的面积
S
ABC
及
AC< br>边上的高
BE
；
（2）
ABC
的内切圆的半径
r
；
（3）
ABC
的外接圆的半径
R
.
解 （1）如图，作
AD?BC
于
D
.
AB?AC,?D
为
BC
的中点，
又
S
1
ABC
?
2
AC?BE,
解得
BE?
42
3.
（2）如图，
I
为内心，则
I
到三边的距离均为
r
，
连
IA,IB,IC
，
S
ABC
?SIAB
?S
IBC
?S
IAC
，
即
22?< br>1
2
AB?r?
1
2
BC?r?
1
2
CA?r
，
解得
r?
2
2
.
（3）
ABC
是等腰三角形，
?
外心
O
在
AD
上，连
BO
，
则
RtOBD
中，
OD?AD?R,
OB
2
?BD
2
?OD
2
,

?R
2
?(22?R)
2
?1
2
,
解得
R?
92
8
.
< br>在直角三角形
ABC
中，
A
为直角，垂心为直角顶点A，
图< br>图
外心
O
为斜边
BC
的中点，
图

内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为
为什么？
bca
（其中
a,b,c
分别为三角形的三边
BC
,
CA
,
AB
的长），
2
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC
2< br>AB
2
BC
2
.
例6 如图，在
AP
2
AB
2
ABC
中，
AB
=
AC
，
P
为
BC
上任意一点.求证：
PBPC
.
证明：过
A
作
ADBC
于
D
.
在
RtABD
中，
AD
2
AB
2
BD
2
.
在
RtAPD
中，
AP
2
AD
2
DP2
.
图
ABAC,ADBC,BDDC
.
BDDPCDDPPC
.
AP
2
AB
2
PBPC
.
正三角形三条边长相等 ，三
个角相等，且四心（内心、
重心、垂心、外心）合一，
图
该点称为正三角 形的中心.
例7 已知等边三角形
ABC
和点
P
，设点
P
到三边
AB
，
AC
，
BC
的距离分别为
h
1
,h
2
,h
3
，三角形
ABC
的< br>高为
h
，
“若点
P
在一边
BC
上，此时< br>h
3
0
，可得结论：
h
1
h
2
h< br>3
h
.”
请直接应用以上信息解决下列问题：

当（ 1）点
P
在
ABC
内（如图b），（2）点在
ABC
外(如 图c)，这两种情况时，上述结论是否还成
立？若成立，请给予证明；若不成立，
h
1
,h
2
,h
3
与
h
之间有什么样的关
系， 请给出你的猜想（不必证明）.
解 （1）当点
P
在
ABC
内时，
图
法一 如图，过
P
作
B'C'
分别交
AB,AM,AC
于
B',M',C '
，
由题设知
AM'PDPE
，
而
AM'AMPF
，
故
PDPEPFAM
，即
h
1
h
2
h
3
h
.
法二 如图，连结，
S
ABC
S
PAB
S
PAC
S
PBC，
1
BCPF
，
2
1
BCAM
2
1
ABPD
2
1
ACPE
2
图
又
ABBC AC
，
AMPDPEPF
，即
h
1
h
2
h
3
h
.
（2）当点
P
在
ABC
外如图 位置时，
h
1
h
1
h
2
h
3
h< br>.
h
2
h
3
h
不成立，猜想：
注意：当点
P
在
ABC
外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如
图h
1
h
2
h
3
h
，
h
1h
2
h
3
h
（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.

练习2
1．直角三角形的三边长为3，4，
x
,则
x
________.
2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3．满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（ ）
A．
b
2
a
2
c
2
B．
CAB

C．
A:B:C3:4:5
D．
a:b:c12:13:5

4．已知直角三角形的周长为
3?3
，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
5．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题3.2
A组
1．已知：在
ABC
中，
AB
=
AC
，?BAC?120
o
,AD为
BC
边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）
A．
AD?
32
1
AB
B．
AD?AB
C．
AD?BD
D．
AD?BD

22
2
2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4．已知：
a,b,c
是
ABC
的三条边，
a?7,b?1 0
，那么
c
的取值范围是_________。
8
，且
a
是整数，则
a
的值是_________。 5．若三角形的三边长分别为
1、a、

B组
1．如图3.2-19， 等边
ABC
的周长为12，
CD
是边
AB
上的中线，
E
是
CB
延长线上一点，且
BD
=
BE
，
则
CDE
的周长为（）
A．
6?43
B．
18?123

图
C．
6?23
D．
18?43

2．如图3.2-20，在
ABC
中，
? C??ABC?2?A
，
BD
是边
AC
上
的高，求
?DBC
的度数。

图

图
3．如图3.2-21，Rt ABC,?C?90
o
,M是
AB
的中点，
AM
=
AN
，
MNAC
，求证：
MN=AC
。
4．如图3.2- 22，在
ABC
中，
AD
平分
?BAC
，
AB+
BD
=
AC
.求
?B:?C
的值。
1
BC
，求证：
EFA
4
图
5．如图3.2-23，在 正方形
ABCD
中，
F
为
DC
的中点，
E
为
BC
上一点，且
EC
90
o
.

图
C组

1．已知
k?1,b?2k,a?c?2k
2,ac?k
4
?1
，则以
a、b、c
为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
2．如 图3.2-24，把
ABC
纸片沿
DE
折叠，当点
A
落在四 边形
BCDE
内部时，
图

则
?A
与
?1??2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．
?A??1??2
B．
2?A??1??2

C．
3?A??1??2
D．
3?A?2(?1??2)
< br>3．如图3.2-25，已知
BD
是等腰三角形
ABC
底角平分线，且
AB
=
BC
+
CD
，
求证：
C90
o
.
图

图
4．如图3.2-26，在等腰
RtABC
中
?C?90
o
，
D
是斜边
AB
上任一点 ，
AE?CD
于
E
，
BF?CD
交
CD
的 延长线于
F
，
CH?AB
于
H
，交AE于
G
.求证：
BD
=
CG
.
3.2 三角形
练习1
2Sa?b?c
；（2）.

a?b?c2
1．证略 2.（1）
练习2

1．5或
7
2.
20
o
或
80
o
3.C

1
?S?ab?23
. 4．设两直角边长为
a,b
，斜 边长为2，则
a?b?1?3
，且
a
2
?b
2
?4
，解得
ab?3
，
2
5.可利用面积证.

习题3.2
A组
1．B 2. D 3.
120
o
4.
3?c?17
5.8

B组
1．A 2.
18
o

3．连
BM
，证
MAB?AMN
.

4．在
AC
上取点
E
，使
AE=AB
，则
ABD?AED
，
?B??AED
.又
BD=DE=EC
，
??C??EDC, ??B:?C?2:1.

5．可证
ADFFCE
，因而
?AFD< br>与
?CFE
互余，得
?EFA?90
o
.

C组
1．C．不妨设
a?c
，可得
a?k
2
?1 ,c?k
2
?1,a
2
?b
2
?c
2
，为 直角三角形.

2．B

3．在
AB
上取
E
使
BE=BC
，则
BCD?BED
，且
AE=ED=DC
?C??BED?2?A??A??B?180
o
??C,??C?90
o
.

4．先
证明
ACE?CBF
，得
CE=BF
，再 证
CGE?BDF
，得
BD=CG
.

3．3圆

3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系

设有直线
l
和圆心为< br>O
且半径为
r
的圆，怎样判断直线
l
和圆
O
的位置关系？

，

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的 位置关系为：当圆心到直线的距离
d
圆
O
与直线
l
1
；当圆心到直线的距离
d
r
时，直线和圆相离，如
r
时，直线和圆 相切，如圆
O
与直线
l
2
；当圆心到直线的距离
dr
时，直线和圆相交，如圆
O
与直线
l
3
.
在直线与圆相 交时，设两个交点分别为
A
、
B
.若直线经过圆心，则
AB
为直径；若直线不经过圆心，
如图3.3-2，连结圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线段
OM
垂直于这条弦
AB
.且在
Rt OMA
中，
OA
为圆
的半径
r
，
OM
为圆 心到直线的距离
d
，
MA
为弦长
AB
的一半，根据勾股定理 ，有
AB
2
)
.
2
r
2
d
2
(
当直线与圆相切时，如图3.3-3，
PA,PB
为圆
O
的切线，可得
PA?PB
，
OA?PA.
，且在
RtPOA
中，
PO
2
?PA
2
?OA
2
.
如图3 .3-4，
PT
为圆
O
的切线，
PAB
为圆
O的割线，我们可以证得
PATPTB
，因而
PT
2
?PA?PB
.

例1 如图3.3-5，已知⊙
O
的半径
OB< br>=5cm，弦
AB
=6cm，
D
是
AB
的中点，求弦
BD
的长度。
解 连结
OD
，交
AB
于点
E
。
1
AB?3cm.

2
BD?AD,O
是圆心，
? OD?B,BE?AE?

在
RtBOE
中，
OB
=5 cm,
BE
=3cm,
?OE?OB
2
?BE
2
? 4cm.

OD?5cm,?DE?1cm.

在
RtBDE
中，
BE
=3cm,
DE
=1cm,
?BD?10cm.

例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和
26
，且这两条线的距离
为3 .求这个圆的半径.
解 设圆的半径为
r
，分两种情况（如图3.3-6）：
（1） 若
O
在两条平行线的外侧，
如图（1），
AB
=6，
CD
=
26
，
则由
OMON3
，得
r
2
9r
2
243
， 解得
r5
.
（2）若
O
在两条平行线的内侧（含线上），
AB
=6，
CD
=
26
，
则由
OMON3
，得
r
2
9r
2
243
，无解.
综合得，圆的半径为5.
设圆
O
1
与圆
O
2
半径分别为
R,r(R?r)
，它们可能有哪几种位置关系？

观察图3.3-7，两圆的圆心距为
O
1
O
2
，不难发现：当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相 内切，如图（1）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切， 如图（2）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内含，如图（ 3）；当
R?r?O
1
O
2
?R?r
时，两圆相交，如图（ 4）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切，如图（5）.
例3 设圆
O
1
与圆
O
2
的半径分别为3和2， O
1
O
2
?4，
A,B
为两圆的交
点，试求两圆的 公共弦
AB
的长度.
解 连
AB
交
O
1
O
2
于
C
， 则
O
1
O
2
?AB
，且
C
为
AB
的中点，
设
AC?x
，则
O
1
C?9?x< br>2
,O
2
C?4?x
2
,O
1
O
2
?9?x
2
?4?x
2
?4
，解得
x?
3 15315
。故弦
AB
的长为
2x?
.
84
练习 1
1.如图3.3-9，⊙
O
的半径为17cm，弦
AB
=30c m，
AB
所对的劣弧和优弧的中点分别为
D
、
C
，求弦AC
和
BD
的长。
2.已知四边形
ABCD
是⊙O
的内接梯形，
AB

CD
，
AB
=8cm,< br>CD
=6cm, ⊙
O
的半径等于5cm，求梯形
ABCD
的面积。