初高中衔接作业

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】
1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即
|a|?
．
[2]绝对值的几何意义： 的距离．
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示 的距离．
[4]两个绝对值不
．
等式:
|x|?a(a?0)?
；
|x|?a(a?0)?
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则
x
=_______ __；若
x??4
，则
x
=_________.
（2）如果a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1?c?2
，则
c
＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|
x
－ 5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．
例1 解下列不等式：（1）
x?2?1
（2）
x?1?x?3
＞4．


练习 (1)
|x-1|?2
(2)
|x?1|?2






(3)
|x-1|?|x?1|?4







2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式： ；

- 1 -

[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[公式1]
(a?b?c)
2
?
[公式2]
[公式3]
说明:上述公式均称为“乘法公式”．

?a
3
?b
3
(立方和公式)
?a
3
?b
3
(立方差公式)
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．



例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc ?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
a?b?(b?a)
（ ）；
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
（1）
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

4316
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
3．根式
[1]式子
a(a?0)
叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(a)
2
?
；(2)
a
2
?
；(3)
ab?
； (4)
b
?
．
a
[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做
a
的平方根，记作
x??a(a?0)
，
其中
a
(a?0)
叫做
a
的算术平方根．
[3]立方根的概念： 叫做
a
的立方根，记为
x?
3
a

例1.将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．



- 2 -

例2 计算：
3?(3?3)
．




例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）




例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．



例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?

2
和
22－6
.
6?4
1
?2(0?x?1)
．
2
x

- 3 -

例 6 已知
x?
练 习
1．填空：
（1）
3?23?2
，求
3x
2
?5 xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
1?3
＝__ ___；
1?3
2
（2）若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－
4．分式
[1]分式的意义 形如
3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
AA
的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称为分式．
BB
[2]繁分式 当分式
AA
的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫 做繁分式，如
BB
m?n?p
，
2m
n?p
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
[3]分母（子）有理化
例1 若




5x?4AB
??
，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
111
??
（其中
n
是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
???
（2）计算：；
1?22?39?10
例2 （1）试证：
- 4 -

（3）证明：对任意大于1的正整数
n
， 有
例3 设
e?
练 习
1．填空题：
对任意的正整数
n
，
2．选择题：
11
??
2?33?4
?
11

?
．n(n?1)2
c
，且
e
＞1，2
c
2
－5< br>ac
＋2
a
2
＝0，求
e
的值．
a
11
1
?
(
?
)；
nn?2
n(n?2)
x
2x?y2
?
，则＝ （ ）
y
x?y3
6
54
（A）１ （B） （C） （D）
5
45
x?y
3．正数
x,y
满足
x
2
?y
2
?2xy
，求的值．
x?y
1111
???...?
4．计算．
1?22?33?499?100
若

例2 计算：
（1）
(x?2x?)





< br>（3）
(a?2)(a?2)(a
4
?4a
2
?16)
（4）
(x
2
?2xy?y
2
)(x
2
?xy?y
2
)
2






2
例3 已知
x?3x?1?0
，求
x?
3
2< br>1
3
2
（2）
(m?
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)

225104
1
的值．
3
x




例4 已知
a?b?c?0
，求
111111
a(?) ?b(?)?c(?)
的值．
bccaab
例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
- 5 -

（1）

（3）



3

2?3
22
（2）
(1?x)?(2?x) (x?1)

11
?

ab
（4）
2
x
?x
3
?8x

2
例6 设
x?




2?32?3
，求
x
3
?y
3
的值．
, y?
2?32?3
x
2
?3x?96xx?1
x
??
例7 化简：（1） （2）
22
1?x
x?279x?x6?2x
x?
1
x?
x
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再
进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1．
解不等式
x?3?x?2?7



11
x
2
?xy?y
2
,y?
2．
设
x?
，求代数式的值．
x?y
3?23?2


aba
2
?b
2
3．
当
3a?ab?2b?0(a?0,b?0)
，求
??
的值．
baab
22


4．
设
x?
5?1
42
，求
x?x?2x?1
的值．
2


- 6 -

5．
计算
(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)





6．化简或计算：



(2)
2


(3)



(4)
(a?




分级测试题

A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
33
２．已知
x?y?1
，求
x?y?3xy
的值．
(1)
(18?4
113

?)?
23
2?3
21

?2?(2?5)
2?
3
5?2
xx?xyx?xy?y

?
2
xy?y
xx?yy
b?ababa?b
)?(??)

a?bab?bab?aab
3．填空：
（1）
(2?3)
18< br>(2?3)
19
＝________；
22
（2）若
(1? a)?(1?a)?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）
11111
?????
________．
1?22?33?44?55?6
- 7 -

B 组
1．填空：
（1）
a?
1
2
，
b?
1
3a
2
?ab
3
，则
3a
2
?5ab?2 b
2
?
____ ____；
（2）若
x
2
?xy?2y
2
?0
，则
x
2
?3xy?y
2x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?
1
2
,y?
1
yy
3
，求
x ?y
?
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0
（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．





3．计算：
1
1?3
?
1
2?4
?
1
3?5
??
19?11
．






4．试证 ：对任意的正整数
n
，有
111
1
1?2?3
?
2 ?3?4
??
n(n?1)(n?2)
＜
4
．






- 8 -


）

）

★ 专题二 因式分解
【要点回顾】
因式分 解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运
算、解方程及各种恒等变 形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因 式法和公式法(平方差公式和完
全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分 组分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
[4]
(a?b?c)
2
?
[5]
a
3
?b
3< br>?
[6]
a
3
?b
3
?

(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所 以把整式乘法公式反过来写，运用上述
公式可以进行因式分解．
2．分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于
四项以上的多 项式，如
ma?mb?na?nb
既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，
可 以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的
关键在于如何分 组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
3．十字相乘法
（1）
x?(p?q)x?pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之
积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵
x?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq? x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)
，
∴
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

2
22
2
- 9 -

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
由
a
1
a
2
x
2
?(a
1
c
2
?a< br>2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a
1< br>x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
我们发现，二 次项系数
a
分解成
2
a
1
a
2
，常数项< br>c
分解成
c
1
c
2
，把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
2
a
1
写 成
a
2
c
1
?
c
，这里按斜线交叉相乘，再相加， 就
2
2
得到
a
1
c
2
?a
2c
1
，如果它正好等于
ax?bx?c
的一次项系数
b
，那么
ax?bx?c
就可以分
解成
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
，其中
a
1
,c
1
位于上一行，
a
2
,c
2
位于下一行．这 种借助画十字交叉
线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注 意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
定一个二次三项式能否用 十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法

【例题选讲】

例1 （公式法）分解因式：(1)
3ab?81b
；(2)
a?ab




例2 （分组分解法）分解因式：（1）
ab(c?d)?(a?b)cd





（2）
2x?4xy?2y?8z



例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：
(1)
x?5x?24
(2)
x?2x?15




(3)
x?xy?6y



- 10 -
22
22
3476
2222
222
(4)
(x?x)?8(x?x)?12

222

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)
12x?5x?2
；(2)
5x
2
?6xy?8y
2




例5 （拆项法、试根法）分解因式
x?3x?4





【巩固练习】
第一组：

1．把下列各式分解因式：
(1)
ab(c
2
?d
2
)?cd(a
2
?b
2
)




(3)
x?64




(5)
x?4xy?2xy?8y






2．已知
a?b?




3．现给出三个多项式，
3223
4
32
2
(2)
x?4mx?8mn?4n

22
(4)
x?11x?31x?21

32

2
, ab?2
，求代数式
a
2
b?2a
2
b
2
?ab
2
的值．
3
1
2
11
x?x?1
，
x
2
?3x?1
，
x
2
?x
，请你选择 其中两个进行
2
22
加法运算，并把结果因式分解.




- 11 -

4．已知
a?b?c?0
，求证 ：
a?ac?bc?abc?b?0
．



3223
第二组：
把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）
x
2
＋6
x
＋8； （2）8
a
3
－
b
3
；

（3）
x
2
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；

（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；

（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
222
22
3
422
2
22
222
- 12 -

4．分解因式：
x
2
＋
x
－(
a
2
－
a
)．















- 13 -