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初中与高中数学衔接中的因式分解
高中数学中，式子的恒等变形是非常重要的数学变换
，其中因式分解尤为重
要。根据需要，在对一些式子整体分解或局部分解是高中数学学习中作为学生必<
br>须具备的基本技能，但由于初中阶段新的课程标准中对因式分解，较以往的标准
降低了要求，所以
刚上高中的学生来说，在学习数学中遇到或多或少的困难。为
此，本文根据高中阶段所需要的有关因式分
解的要求，将初中阶段所学的因式分
解的基础上加以补充和拓宽。
现行的初中教材中
，因式分解只介绍两种方法，即“提取公因式法”和“运
用公式法”。实际因式分解还有两种方法需要掌
握，即“十字相乘法”和“分组
分解法”，而这两种方法在高中数学中都有用途，所以本文对因式分解的
本质介
绍的前提下，重点介绍后两种方法。
一、因式分解的概念
在现行初中教材中的因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积形
式。
由概
念不难看出，因式分解的本质就是经过恒等变形，将一个多项式化成几
个整式的“乘积”的形式。所以过
程是恒等变形，结果是化成“乘积”的形式，
所以关键是如何进行恒等变形的问题。“提取公因式法”需
要的过程是：将多项
式每个项中所含的相同“结构”，即公因式提出来；“运用公式法”是从多项式的<
br>特殊“结构”，即逆向运用乘法公式的形式，运用公式分解因式。
这里还需要补充高中阶段能用到的适合分解因式的公式还有：
a
3
?b3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
3322
a?b?(a?b)(a?ab?b)
二、十字相乘法
我们来观察
x
2
?5x?6?x
2
?(2?3)x?2?3
2
?x?2x?3x?2?3
?x(x?2)?3(x?2)?(x?2)(x?3)
又有在我们学习乘法运算时有：
(x?a)(x?b)?x
2
?(a?b)x
?ab
因此在分解因式中有
x
2
?(a?b)x?ab?(x?a
)(x?b)
注意观察上式的系数。
对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二
次三项式
x
2
?px?q
，它的常
数项可看作两个数，a与b的积，
而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解
为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab
时，
x
2
?px?q?x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x
?b)
，用此方法分解因式关键在于a与
b的值的确定。如何确定，看下面的“十字相乘”与分
解因式之间的对应关系：
b
1?
1
?
1a
?a
b
?x
2
?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
a?b<
br>即二次项系数和常数项分解以后重新相乘再加得到一次项系数，进而可以分
解因式。这样的分解因
式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式关键在
于a与b的值的确定。
1
所以用“十字相乘法”分解因式的结构必须是“二次三项式”的形式。
分析：
用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利
用来分系数，使得左边两数乘积为二
次项系数，右边两项乘积为常数项，
交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。
评注：十字相乘时，要注意二次项系数和常数项分解后的搭配问题，比
如：（1）
?6
1?
1
1
?
?1
?6
中十
字相乘也可以有其他的方式，，但这种方式只适合于多项式
?6?1??7
x
2
?7x?6
，而不是
x
2
?5x?6
。所以对每个二次三项式的分
解因式，利用十字
项乘法时，需要选择恰当的搭配才能成功。
分析：要想用十字相
乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式
可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上
例方法进行因式分解，如（1）
可以看作关于
x
2
的二次三项式（2）可以看
作关于（a+b）的二次三项式。
例3：分解因式
（1）
x
2
?3xy?2y
2
（2）
3
a
2
x
2
?15a
2
xy?42a
2
y<
br>2
分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字
母，
如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先进行公
因式的提
取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。
三、分组分解法
先看一个多项式的分解因式：
(a?b)c?(a?b)d?(a?b)(c?d)
。
这个题目结构非常清楚，有
公因式
(a?b)
，所以直接提取即可。但如果待分
解因式的多项式是
ac?
bc?da?bd
，就不能直接提取公因式了，原因是把待分解
的多项式由
(a?b)
c?(a?b)d
变形为比这个更原始的结构
ac?bc?da?bd
，但我
们知道两个式子是恒等的。这种情况下，分解因式的过程自然就是：
ac?bc?da?bd
?(a?b)c?(a?b)d?(a?b)(c?d)
。这样分解因式的方法叫做分组分解法
，
即将多项式适当分组后经过局部分解，化成可以整体分解的结构，最终可以整体
分解的方法。
不难看出，运用分组分解法分解因式时，关键是分组，如何分组是
这种方法运用当中的难点。如何突破这
个难点呢？分组的方式一般是多样的，其
中首先要考虑能够局部分解，将多项式化成可以整体分解的结构
。
例5 分解因式：
（1）
a
2
x
2
?b2
y
2
?a
2
y
2
?b
2
x
2
（2）
a
2
?2ab?b
2
?4c
2
（3）
x
2
?2xy?y
2
?3x?3y?2
2
（1）分析：在多项式
a
2
x
2
?b
2
y
2
?a
2
y
2
?b
2
x
2
中，第一项和第三项有公因式
a
2
，
而第二项和第四项也有公因式
b
2
，这样观察到局部有公因式可提取，即可完成分组这个关键步骤。
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