初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身， 负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
?
a(a?0)
?
a??
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两 个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x ??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a2
?b
2
?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑶立方和公式：
a
3
?b
3
?(a?b)( a
2
?ab?b
2
)

⑷完全平方公式：
(a?b )
2
?a
2
?2ab?b
2
，
(a?b?c)< br>2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac? 2bc

⑸完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因
式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一
元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一 解
x?
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
b
；
a

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫 做这个二元一次方程的一个
解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式
叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等
式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等
式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b
2
?4ac?0

?
??0
?
②方程有两根同号
?

?

c
xx??0
12
?
a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?
bc
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?

aa

?b
2
?4ac
?

x?x? (x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
, < br>x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?4 x
1
x
2
?
aa
2
1
2
2
2
2
322
x
1
3
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
)?(x
1
?x
2
)
?
(x?x)?3x
1
x
2
?
12
??

8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用
竖直方向的
数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量
y
,
x< br>间的关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等 于0）的形式，则称
y
是
x
的一次函数。②当
b
= 0时，称
y
是
x
的正比
例函数。
（3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量
x
与对应的因变量y
的值分别作为点的横坐标与纵坐
标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的 图形叫做该函数的
图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、 3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，
则经1、2、 4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0
时，则经1、2、3象限。
④当
k
?0时，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0 时，
y
的值随
x
值的增大
而减少。
（4）二次函数： < br>b
2
4ac?b
2
b
①一般式：
y?ax?bx?c ?a(x?)?
(
a?0
)，对称轴是
x??,

2a4a
2a
2
b4ac?b
2
（－,)
； 顶点 是
2a4a

②顶点式：
y?a(x?m)
2
?k(
a?0
)，对称轴是
x??m,
顶点是
?
?m,k< br>?
；
③交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2< br>)
(
a?0
)，其中（
x
1
,0
），（x
2
,0
）是抛物线与x
轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x ??
②
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
对称。
2a
b
）左侧，
y
值随
x
值的增大而减少；在对称
2a
bb
轴（
x??
）右侧；
y
的值随
x
值的增大而增大。当
x??
时，
y
取得
2a2a
4ac?b
2
最小值
4a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称
2a
bb
轴（
x??
）右侧；
y
的值随
x
值的 增大而减少。当
x??
时，
y
取得
2a2a
4ac?b2
最大值
4a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿 一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互
相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 ②轴对称
图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形： ①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前
后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形，这个点叫做他的对
称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平 面直角坐标系。水平
的数轴叫做
x
轴或横轴，铅直的数轴叫做
y
轴 或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐
标轴，他们的公共原点
O
称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x
2
,y
2< br>)
是直角坐标系内的两
点，

?
x
1
??x
2
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则 有
?
。
?
y
1
?y
2
?
x1
?x
2
②若
M
和
M'
关于
x
轴对称，则有
?
。
y??y
?
12
?
x
1
??x
2
③若
M
和
M'
关于原点对称，则有< br>?
。
y??y
?
12
?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'
关于直线
y?x
对称，则 有
?
。
y?x
?
12
?
x
1
? 2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
⑤若
M< br>和
M'
关于直线
x?a
对称，则有
?
或
?< br>。
y?yy?y
?
12
?
12
11三角形相似
（1）重心定理：△ABC中，中线AD，BE交于点G，则AG=2GD，BG=2GE．
（2）射影定理：∠C=90? Rt△ABC中，CD为AB上的高，则
⑴CD的平方=ADXDB；⑵AC的平方=ADXAB；BC的平方=BDXAB．
（3）内(外)角平分线性质：
△ABC中，AD为角BAC平分线，则 BDDC=ABAC；
△ABC中，AE为角BAC的外角平分线且交BC延长线于点E，则BEEC．
（4）平行线分线段成比例定理
12 统计与概率：
（1）科学记数法：一个大于 10的数可以表示成
A?10
N
的形式，其中
A
大于等
于1 小于10，
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部
分，扇形的 < br>大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇
形统计图中，每部分占 总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数
与360度的比。
（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；
②折线统计 < br>图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在
总体中所占的百分比。
（4）平均数：对于
N
个数
x
1
,x
2
, ?,x
N
，我们把
1
(
x
1
?x
2
???x
N
)叫做这个
N
个
N

数的
算术平均数，记为
x
。
（5）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这
组数据的平
均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
（6）中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据
（或最中间 < br>两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大
的那个数据叫做这个组数 据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加
运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中 常用，但容易受
极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有
数据的 信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特
别的意义。
（7）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中
所要考察对
象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽
取部分个体进行调查 ，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分
个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体 中的一小部分个体，因此
他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样
本的代表性和广泛性。
（8）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总
次数的比值
为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再
绘制频数分布直方图 。
（9）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是
各个数据与
平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来
说，一组数据的极差 ，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。
（10）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会 发生，这些事情称为必然
事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；
必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会
发生，这些事情称为不确定事 件。③一般来说，不确定事件发生的可能性
是有大小的。
（11）概率：①人们通常用1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用0

来表示不可
能 事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③
必然事件发生的概率为1，记作< br>P
（必然事件）
?1
；不可能事件发生的概
率为
0
， 记作
P
（不可能事件）
?0
；如果A为不确定事件，那么
0?P(A )?1