数学初高中衔接教学讲义

初高中衔接教学讲义
一、常用公式
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
例1 计算：< br>(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．




例2 已知
a?b?c?4
，
a b?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．




例3
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
2
?b
2?c
2
?ab?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状．








例4
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根．









（1）求|
x
1
－
x
2
|的值； （2）求
11
33
?
的值；（3）求
x
＋
x
的值．
12
x
1
2
x
2
2

练 习：填空
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
若
x?
2
1
mx?k
是一个完全平 方式，则
k
等于 （用m表示）
2
11
?x,
用x表示
a
3
?
3
＝_____________.
aa
已知：
a?
二、因式分解
．十字相乘法
例5（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
（5）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6






．求根法
例6（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．





练 习
分解因式：
（1）
x
＋6
x
＋8； （2）8
a
－
b
；




233

（3）
x
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)





42
（5）
4x?13x?9
； （6）
2x?xy?15y

22
2



22
（7）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （8）
3x?5xy?2y?x?9y?4

22



（9）
(x?2x)?7(x?2x)?12





.综合除法
222
例7在实数范围内分解因式：
x
3
?3x
2
?x?1

x
4
?x
3
?7x
2
?x?6







练 习
在实数范围内分解因式：
x
3
?x
2
?7x?2







x
4
?x
3
?7x
2
?5x?10

三、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图，
l
1
l
2
l
3
，有
AB
BC
DEABDE< br>.当然，也可以得出.在运用该定理
?
EFACDF
解决问题的过程中，我们一 定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比
例.
例1 如图：
l
1
l
2
l
3
，且
AB











例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB,AC
上的 点，
DEBC
，
求证：







例3 在
ABC
中，
AD
为
BA C
的平分线，求证：
例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为
角平分线分对边成 比例（等于该角的两边之比）.








AB
AC
BD
.
DC
ADAEDE
.
??
ABACBC
2,BC3,DF4,
求
DE,EF
.

练习：如图，在
ABC
中，
AD
是角
BAC
的平分线，
AB
=5cm,
AC
=4cm,
BC
= 7cm,求
BD
的长.








相似形

例4 （射影定理）如图：,在直角三角形
ABC
中，
BAC
为直角，
AD
求证：（1）
AB
2
（2）
AD
2




练习
1．已知：如图：在四边形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
DA
的中点.
（1） 请判断四边形
EFGH
是什么四边形，试说明理
由；
（2） 若四边形ABCD
是平行四边形，对角线
AC
、
BD
满足什么条件时，< br>EFGH
是
菱形是正方形







2.(外角平分线定理)在
ABC
中，
BAC
的外角平分线
AD
交BC延长线于D，
BDBC
，
AC
2
CDCB
；
BC于D
.

BDCD

求证：





AB
AC
BD
.
DC
3. 证明：





ABCD中，
AC
2
BD
2
2(AB
2
AD
2
)

三角形
的“四心”

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角 形的重心
在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两
段长度之比为2：1.
已知
D
、
E
、
F
分别为
ABC
三边
BC
、
CA
、
AB
的中点，
求证
AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成2：1.






例2三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的
内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的
三边的距离相等.

练习： 已知
ABC
的三边长分别为
BC
心，且I在
A EAF
b
a,ACb,ABc
，I为
ABC
的内
ABC的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
，求证：
ca
.
2








过不共线的三点
A
、
B
、
C
有且只有一个圆，该圆 是三角形
ABC
的外接圆，圆
心
O
为三角形的外心.三角形的外心到 三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分
线的交点.
例3求证：三角形各3分线的交于一点.













三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三 角形的
垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂
心在三角 形的外部.

例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知
ABC
中，
AD
求证
CH











练习
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.







2．若直角三角形的三边长分别为
a、b、c（其中
c
为斜边长），则三角形的
内切圆的半径是___________. 并请说明理由.







BC于D,BEAC于E，
AD
与
BE
交于
H
点.
AB
.
3．4圆

（切线定理）如图
PT
为圆
O
的切线，
PAB
为圆
O
的
割线，我们可以证 得
PAT






练习
1.如图，⊙
O
的直径
AB
和弦
CD
相交于点
E< br>，
AE?1cm,EB?5cm,?DEB?60
o
,
求
CD
的长。
因而
PT
2
?PA?PB
.
PTB
，







2，（割线定理）如图
O
的割线PA、PC分别交
O
于点B、C
求证：PA
?
PB= PC
?
PD







3.（相交弦定理）
O
的弦AB、CD交 于点P,求证：PA
?
PB= PC
?
PD







D
C
P
A
B