初高中数学衔接教材 §1.1 数与式的运算(含答案)

初 高 中 数 学 衔 接 教 材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且
对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、
不等式等。
3.二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不
等式常用的解题技巧。
4.初 中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的
重要内容。配方、作简 图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究
闭区间上函数最值等等是高中数学必 须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达 定理）在初中不作
要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次 不等
式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称 、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、
下；左、右平移，两个函数关于 原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量 研究,而高中这部分内容视
为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8 .几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，
相交弦定理等、 弦切角定理）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目 录
第一章：数与式的运算和因式分解……P2——P15
1.1 数与式的运算……P2——P8
1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.4.分式
1.2 分解因式……P9——P15
第二章：方程、函数、方程组、不等式组……P16——P43
2.1 一元二次方程……P16——P24
2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2.2 二次函数……P25——P34
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程组不等式……P35——P43
2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法
第三章：相似性、圆……P44——P69
3.1相似形……P44——P53
3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形
3.2 三角形……P54——P62
3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形
3.3 圆……P63——P69
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝 对值是它的相反数，零的绝对
（a?0）
?
a
?
a,a?0,
??
值仍是零。即
|a|?
?
0,a?0,
或
a?
?

?
?a
?
?a,a?0.
?
?
（a ?0）
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数 的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离。
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4。
|x－3| < br>解法一：由
x?1?0
，得
x?1
；由
x?3?0
， 得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，∴x＜0；
②若< br>1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4。
又x≥3，∴x＞4。
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
A
1
B
D
3 4
x

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4。
解法二：
如图1．1－1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，
即|PA|＝|x －1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|。
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4。
由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧。
x＜0，或x＞4。
练 习
1．填空：（1）若
x?5
，则 x=_________；若
x??4
，则x=_________。
（2）如果< br>a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2< br>，则c＝________。
2．选择题：下列叙述正确的是（ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（
5?x?6
）。

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
。
242
6< br>2222
?
(x?1)(x?x?1)
x?1
。 解法一：原式=(x?1)
?
==
(x?1)?x
??
33
6
解法二：原式=
(x?1)(x?x?1)(x?1)(x?x?1)
=
(x?1)( x?1)
=
x?1
。
22
22
33223
332 23
2222
2233
2233
222
22

例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值。
解：
a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?8
。
练习
1． 填空：（1）
a?
2222
222
1
9
2
1
2
11
22
；（2）
(4m?

)?16m?4m?(

b?(b?a)
（ ）
423
)
；(3)
(a?2b?c)
2
?a
2?4b
2
?c
2
?(

)
。
2．选择题：（1）若
x?
2
2
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于（ ）
2
1
2
1
1
m
（C）
m
2
（D）
m
2

416
3
22
（A）
m
（B）
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是
负数

1.1.3．二次根式
一般 地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽
方的 式子称为无理式。 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2< br>?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
x?1< br>，
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是 有理式。
2
1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。
为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式
相乘，如 果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如
2
与
2，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，23?32
与
23?32
，等等。一般地，
ax
与
x< br>，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b
与
a x?b
互为有理化因式。
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母 中的根号的过程；
而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运
用公式< br>ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然
后 通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上
去括号与合并同 类二次根式。

?
a,a?0,
2
2．二次根式< br>a
2
的意义
a?a?
?

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
。
2
解：（1）
12b?23b
； （2）
ab?ab?ab(a?0)
；
（3）
4xy?2x
63< br>y??2x
3
y(x?0)
。
例2 计算：
3?(3?3)
。
解法一：
3?(3?3)
＝
3< br>3?3
＝
3?(3?3)

(3?3)(3?3)
＝
33?33(3?1)3?1
＝＝。
9? 362
解法二：
3?(3?3)
＝
3
3?3
＝
3< br>
3(3?1)
＝
3?1
1
3?1
＝＝。
2
3?1
(3?1)(3?1)
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
2
和
22－6
。
6?4
解：（1）∵
12 ?11?
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
1 2?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10

11?10?
又
12?11?11?10
，∴
12?11
＜
11?10< br>。
（2）∵
22－6?
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
2
＜
22－6
。
6?4
又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22， ∴
例4 化简：
(3?
解：
(3?
2)
2004
? (3?2)
2005
。
2)
2004
?(3?2)
200 5
＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2 )

2004
＝
?
(3?2)?(3?2)
?
??
?(3?2)
＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
。