高中数学十分钟试讲内容-星桥高中数学老师补课
第三讲
一元二次方程与二次函数
知识清单
一、二次方程
（ 1）一般形式是：
ax+bx+c=0(a≠0）
2
（ 2）二次方根（实数根）的求法
根的个数
判别式
△
两个
一个
无
方法
常用：① 求根公式
② 十字因式分解法
③ 配方法（常
用）
（ 3）公式记忆
①
△=
② 求根公式
③
根与系数（韦达定理）
2、二次函数的概念、图象和性质
y ax bx
c
2
（ a>0）
二次函数图像
注意
① （0， c）
② 对称轴：
③顶点（
判别式
）
ax bx c
2
0
二次不等式口诀：
二次函数的形式：
① 一般式：
② 顶点式：
③ 两根式：
问题一 ：二次方程根的求法
例 1：用适当的方法解方程：
（1）2（x+2）-8=0
2
（2）x(x-3)=x
（4）(x+3)+3(x+3）-4=0
2
（3）
3
x=6x-
3
2
点评：写出每个分解的方法
变式
1：判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中
a 为常数），如果
方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x-3x+3=0；
2
（2）x-ax+(a-1)=0;
2
点评：当二次方程系数含参数求根时，需注意什么：
________
问题二：韦达定理的应用
例 2：已知方程 5x+kx-6=0 的一个根是
2，求它的另一个根及 k 的值。
2
点评：要用两种以上的方法求解：
变式 1：已知关于 x 的方程 x +2(m-2)x+m +4=0
有两个实数根，并
22
且这两个实数根的平方和比两个根的积大于
2
21，求 m
的值。
变式 2：.若 x
1,
x
2
是方程
x+2x-2007=0
的两个根，试求下列各式的值：
（1）
x
1
＋
x
2
；
22
11
（2）＋；
x
1
x
2
（3）(x
1
-5)(x
2
-5)
；
（4）
x
1
x
2
.
问题三：二次函数解析式的求法
例 3：已知某二次函数的最大值为 2，图象的顶点在直线 y=x+1
上，并且
图象经过点 (3,-1 ），求二次函数的解析式。
变式 1、已知二次函数的图象过点（ -3,0
），（1.0 ），且顶点到 x 轴
的距离等于 2，求此二次函数的表达式。
变式 2、已知二次函数的图像过点
( 1, 22), (0, 8),
(2,8)
，求此函数的表达
式
变式
3、把二次函数 y=x+bx+c 的图象向上平移 2 个单位长度，再向左
平移 4
个单位长度，得到函数 y=x 的图象，求 b,c 的值。
2
2
点评：当选择二次函数解析式的形式时，应该注意的条件式什么。
请总结：
问题 4、二次函数最值的应用
例 4：当
x≥0 时，求函数 y=-x(2-x ）的取值范围。
变式 1：当 1≤x≤2 时，求函数
y=-x -x+1 的最大值和最小值。
1
2
5
变式
2（拓展）：当 t≤x≤t+1 时，求函数 y=
x
x
的最小值（其
2
2
2
中
t 为常数）。
问题 5、二次不等式的求解
例 5：已知二次函数
y=x-x-6 ，当取 x 何值时，y=0？当取 x 何值时，
2
y＜0？
点评：怎样解关于 x
的一元二次不等式
ax+bx+c＞0（a≠0）呢？
2
变式 1：解下列不等式：
（1）x-2x-8
＜0；
2
（2）x-4x+4 ≤0；
（3）x -x+2 ＜0.
2
2
2
变式
2：已知对于任意实数 x，kx-2x+k 恒为正数，求实数 k 的取值范
围。
变式 3（拓展）：解关于 x 的不等式 x-x-a(a-1)
2
＞0
问题 6、二次函数的实际应用
例 6：某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商
品每天的销售量
m （件）与每件的销售价
x( 元）满足一次函数
m=162-3x
，30≤x≤54.
（1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润
y 与每件销售价 x
之间
的函数关系式；
（
2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位多少
最合适？最大销售利润为多少 ?
巩固扩展
1.选择题：（1）方程 x-2
3
kx+3k=0
的根的情况是（
22
）
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
2
C.有两个相等的实数根
（2）若关于 x 的方程
mx+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则
实数 m
的取值范围是（
A.m＜
）
B、m＞-
1
1
4
C、m＜ ，且 m 0
4
1
D、m＞ ，且 m 0
4
1
4
2.填空：（1）若 a
为方程 x+x-5=0 的解，则 a+a+1的值为 _____。
22
（ 2）方程 mx+x-2m=0(m 0)的根的情况是 _____。
2
3.试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程
mx-（2m+1）x+1=0
22
有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4.用适当的方法解下列一元二次方程；
(1)x-5x+1=0；
2
（2）3(x-2)=x(x-2)；
2
（3）2x-2
2
x-5=0；
2
（4）（y+2）=（3y-1）
22
5、已知关于
x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1，则它的另一个根是
2
（
）
B.3
C.-2 D.2
A. -3
6、下列四个说法：
方程 x+2x-7=0
的两个根之和为 -2，两根之积为 -7；
2
2
方程 x-2x+7=0
的两根之和为 -2，两根之积为 7；
方程 3x-7=0 的两根之和为
0，两根之积为 -
2
7
3
④方程
3x+2x=0 的两根之和为 -2 ，两根之积为 0.
2
其中正确的说法的个数是（
）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
7、关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0，则 a
的值
22
是（
）
B.1
C.-1 D.0 或-1
A.0
8、填空
（ 1）方程 kx +4 x-1=0 的两根之和为 -2
，则 k= ____
2
2
2
2
（2）方程 2x -x-4=0
的两根为 α，β，则
α+β=____
（3）已知关于 x 的方程 x-ax-3a=0 的一个根是
-2.则它的另一个根是
2
____
（4）方程 2x +2x-1=0 的两个根为
x
1
和 x
2
，
则
x
1
9、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程
2
x
2
____
x-7x-1=0 各根的
2
相反数。
10、关于
x 的方程
x
2
+4x+m=0
的两根为
x
1
和
x
2
满足
x
1
x
2
2，求实
数 m
的值。
11、函数
y=-x
2
+x-1
的图象与
x 轴的交点个数是（
）
A.0
个
B.1
个
C.2
个
D.
无法确定
12、函数
y=-
1
2
x
1
2
+2
的顶点坐标是（
）
A.(1
，2)
B.(1
，-2) C.(-1
，2) D.(-1
，-2)
13、已知二次函数的图象经过与
x 轴交于点（
-1,0
）和(2,0),
则该二
次函数的解析式可设为
y=a_____（a≠0）
14、二次函数 y=-x +2√3x+1
的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为
2
____。
15、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。
（ 1）已知二次函数的图象经过点 A(0,-1),B(1,0
），C(-1 ， 2) ；
（ 2）已知抛物线的顶点为（ 1，-3 ），且与 y
轴交于点（ 0,1 ）；
（ 3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3,0 ），（5,0
），且与 y 轴交于点
（ 0，-3 ）；
(4) 已知抛物线的顶点为（ 3，-2
），且与 x 轴两交点的距离为 4.
16、抛物线 y=x-（m-4）x+2m-3 ，当 m=
_____时，图象的顶点在
2
y
轴上；当
m=____时，图象的顶点在 x 轴上；当 m=___时，图象过原点。
17、用一长度为 L 米的铁丝围成一个长方形或正方形， 则其中所围成
的最大面积为
____。
18、设 a＞0，当-1 ≤x≤1 时，函数 y=-x
-ax+b+1 的最小值是 -4 ，最
大值是 0，求 a,b 的值。
2
19、已知函数 y=x
+2ax+1 在-1 ≤x≤2 上的最大值为 4，求 a 的值。
2
20、解下列不等式；
（1）2x
2
+x＜0；
（2）x
2
-3x-18 ≤0
（3）-x +x≥3x+1；
2
（4）x（x+9）＞ 3（x-3
）.
2
21、已知关于 x 的不等式 mx-x+m＜0 的解是一切实数，求
范围。
m的取值
22、解关于 x 的不等式 x
+2x+1-a≤0.
22
23、、已知不等式
ax
2
bx
c
0(a
0)
的解是
x
bx
2
2或
x
3
，求不等式
ax
c
0
的解。
24、某种产品的成本是
120
元∕件，试销阶段每件产品的售价
x（元）
与产品的日销售量
y（件）之间关系如下表所示 :
x∕元
y∕件
130
70
150
50
165
35
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大
的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多
少？