2017版步步高初高中数学衔接教材：第3课 因式分解(1)及答案

因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形． 在分式
运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用．
因式分解的方法较多，除了初中 教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式
和完全平方公式)外，还有运用公式法(立 方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．
因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．
一、提取公因式法
例1 3x
2
－6x＋3.
二、公式法
例2 (1)8＋x
3
；(2)x
2
＋2xy＋y
2
－z
2
.
三、分组分解法
例3 (1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x
3
－x
2
＋x－1.
四、配方法
例4 (1)x
2
＋6x－16；(2)x
2
＋2xy－3y
2
.
五、拆项添项法
例5 (1)x
3
－3x
2
＋4；(2)x
3
－2x＋1.
六、求根公式法
例6 (1)x
2
－x－1；(2)2x
2
－3x－1.
七、十字相乘法
(1)x
2
＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解
我们来讨论x
2
＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，
它的特 点是
(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． < br>对这个式子先去括号，得到x
2
＋(p＋q)x＋pq＝x
2
＋px＋ qx＋pq，于是便会想到继续用分组分
解法分解因式，即x
2
＋px＋qx＋pq＝ (x
2
＋px)＋(qx＋pq)＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q)．
因此，x
2
＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例7 把下列各式分解因式：
(1)x
2
＋3x＋2；(2)x
2
－x－20；
5
(3)x
2
－x＋1；(4)x
2
＋11x＋24.
2
八、ax
2
＋bx＋c型因式分解
我们知道，
(a< br>1
x＋c
1
)(a
2
x＋c
2
)
- 1 -

＝a
1
a
2
x
2＋a
1
c
2
x＋a
2
c
1
x＋c1
c
2
＝a
1
a
2
x
2
＋( a
1
c
2
＋a
2
c
1
)x＋c
1
c
2
.
反过来，就得到a
1
a
2
x2
＋(a
1
c
2
＋a
2
c
1
)x＋c
1
c
2
＝(a
1
x＋c
1
)(a
2
x＋c
2
)．
我们发现，二次项的系数a分解成a
1< br>×a
2
，常数项c分解成c
1
×c
2
，并且把a1
，a
2
，c
1
，c
2
排列如图：，这里按斜 线交叉相乘，再相加，就得到a
1
c
2
＋a
2
c
1
，如果它正好等于ax
2
＋bx＋c的一次项系数b，那么ax
2
＋ bx＋c就可以分解成(a
1
x＋c
1
)(a
2
x＋c2
)，其中a
1
，c
1
位于
上图上一行，a
2
，c
2
位于下一行．
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二 次三项式分解因式的方法，通常叫做
十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可 能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一
个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例8 (1)6x
2
＋5x＋1；(2)6x
2
＋11x－7；(3)42x
2
－33x＋6；(4)2x
4
－5x
2
＋3；(5)2t
6
－14t
3
－16.

1．把下列各式分解因式：
11111
(1)a
3
＋27；(2)8－m
3
；(3)－27x< br>3
＋8；(4)－p
3
－q
3
；(5)8x
3
y
3
－；(6)x
3
y
3
＋c
3
.
86412521627


2．把下列各式分解因式：
(1)x y
3
＋x
4
；(2)x
n3
－x
n
y3
；(3)a
2
(m＋n)
3
－a
2
b
3
；(4)y
2
(x
2
－2x)
3
＋y
2
.
＋



3．把下列各式分解因式：
(1)x
2
－3x＋2； (2)x
2
＋37x＋36； (3)x
2
＋11x－26； (4)x
2
－6x－27；



(5)m
2
－4mn－5n
2
； (6)(a－b)
2
＋11(a－b)＋28.



4．把下列各式分解因式：
(1)ax
5
－10ax
4
＋16ax
3
； (2)a
n2
＋a
n1
b－6a
n
b
2
； (3)(x
2
－2x)
2
－9；
＋＋


- 2 -

(4)x
4
－7x
2
－18； (5)6x
2
－7x－3； (6)t
6
－9t
3
＋8；


(7)7(a＋b)
2
－5(a＋b)－2； (8)(6x
2
－7x)
2
－25.


5．把下列各式分解因式：
(1)3ax－3ay＋xy－y
2
； (2)8x
3
＋4x
2
－2x－1； (3)5x
2
－15x＋2xy－6y；


(4)4a
2
－20ab＋25b
2
－36； (5)4xy＋1－4x
2
－y
2
； (6)a
4
b＋a
3
b
2
－a
2
b
3
－ab
4
；


(7)x
6
－y
6
－2x
3
＋1； (8)x
2
(x＋1)－y(xy＋x)．


1．把下列各式分解因式：
8
(1)x
2
＋15x＋56；(2) x
2
＋x－30；(3)x
2
＋25x＋150；(4)x
2
＋x－1.
3
2．把下列各式分解因式：
(1)6x
2
＋7x －3；(2)12x
2
＋25x＋12；(3)42x
2
－5x－2；(4) 72x
2
＋7x－2.
3．x
2
＋(p＋q)xy＋pqy
2
型式子的因式分解
我们来讨论x
2
＋(p＋q)xy＋pqy
2
这类二次齐次型的因式分解，它 的特点是
(1)x
2
的系数为1；
(2)y
2
的系数为两个数的积(pq)；
(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)
x
2
＋(p＋q)xy＋pq y
2
＝x
2
＋pxy＋qxy＋pqy
2
＝x(x＋py) ＋qy(x＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．
例 x
2
＋(3＋1)xy＋1×3y
2
＝(x＋y)(x＋3y)
对照 x
2
＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)看它们有怎样的联系，又有怎样的区别？
联系：分解的方式完全一样．
区别：一元二次型是二个一元一次型的积，
二元二次齐次型是二个二元一次齐次型的积
例1 把下列各式因式分解：
(1)a
2
－2ab－8b
2
；(2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3) (x＋y)
2
－z(x＋y)－6z
2
；(4)m
4
＋m< br>2
n
2
－6n
4
.
4．ax
2
＋ bxy＋cy
2
型的因式分解与ax
2
＋bx＋c型的因式分解有怎样的联系 ，又有怎样的区别？
- 3 -

例2 把下列各式因式分解：
(1)6m
2
－5mn－6n
2
； (2)20x
2
＋7xy－6y
2

(3)2x
4
＋x
2
y
2
－3y
4
； (4)6(x＋y)＋7z?x＋y?＋2z(x>0，y>0，z>0)．
5．Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F型的因式分解．
例3 (1)x
2
－xy－2y
2
－2x＋7y－3；
(2)ab－2a－b＋2.
6．含参数的因式分解
例4 x
2
＋(2m＋1)x＋m
2
＋m.
例5 解方程：6x
2
＋(3m－2)x－m＝0(m为常数)．
例6 解不等式x
2
－2(a＋1)x＋a
2
＋2a≤0.

1．把下列各式分解因式：
(1)x
2
－6xy－7y
2
； (2)x
2
＋xy－56y
2
； (3)8x
2
＋26xy＋15y
2
；


(4)7(a＋b)
2
－5(a＋b)c－2c
2
； (5)2a
4
＋a
2
b
2
－3b
4
； (6)a
6
－7a
3
b
3
－8b
6
.


2．把下列各式分解因式：
(1)x
2
－y
2
－x＋3y－2； (2)6xy＋4x＋3y＋2.


3．把下列各式分解因式：
(1)x
2
－(a＋b)x＋ab； (2)(x＋y)
2
－(3＋a)|x＋y|＋3a.



1
4．解方程x
2
－(t＋)x＋1＝0.
t



5．解不等式x
2
－(a
2
＋a＋1)x＋a
2
(a＋1)≤0(a≥2)．


- 4 -

答案精析
例1 解 3(x
2
－2x＋1)＝3(x－1)
2

例2 解 (1)(x＋ 2)(x
2
－2x＋4)．(2)(x＋y)
2
－z
2
＝( x＋y＋z)(x＋y－z)．
例3 解 (1)2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．
(2)x
2
(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x
2
＋1)．
例4 解 (1)(x＋3)
2
－25＝(x＋8)(x－2)．
(2)(x＋y)
2
－(2y)
2
＝(x＋3y)(x－y)．
例5 解 (1)x
3
－2x
2
－(x
2
－4)＝ x
2
(x－2)－(x－2)(x＋2)＝(x－2)
2
(x＋1)． 1＋5－1＋5
(2)(x
3
－x)－(x－1)＝(x－1)(x＋)(x－) ．
22
1＋51－5
例6 解 (1)(x－)(x－)．
22
(2)(x－
3＋173－17
)(x－)．
44
例7 解 (1)(x＋1)(x＋2)；(2)(x＋4)(x－5)；
1
(3)(x－2)(x－)；(4)(x＋8)(x＋3)．
2
例8 解 (1)(2x＋1)(3x＋1)；(2)(2x－1)(3x＋7)；
(3)(6x－3)(7x－2)；(4)2(x＋
强化训练
1
1．解 ( 1)(a＋3)(a
2
－3a＋9)；(2)－(m－2)(m
2
＋2m＋4 )；(3)(2－3x)(9x
2
＋6x＋4)；(4)－(p＋
8
q1q< br>2
121111
22
1c
2
11
222
)· (p－pq＋)；(5)(2xy－)(4xy＋xy＋)；(6)(xy＋c)(xy－xyc＋)＝(xy＋
22455256336189272
x
2
y
2
1
c)(－xyc＋c
2
)．
42
2．解 (1)x(x＋y)(x
2
－xy＋y
2
) (2)x
n
(x－y)(x
2
＋xy＋y
2
) (3)a< br>2
(m＋n－b)[(m＋n)
2
＋b(m＋n)＋
b
2] (4)y
2
(x－1)
2
(x
4
－4x
3
＋3x
2
＋2x＋1)．
3．解 (1)(x－1)(x－2)；(2)( x＋1)(x＋36)；(3)(x＋13)(x－2)；(4)(x＋3)(x－9)；(5)(m＋n)(m －
5n)；(6)(a－b＋4)(a－b＋7)．
4．解 (1)ax
3
(x－2)(x－8)；(2)a
n
(a＋3b)(a－2b)；(3)(x＋1)(x－3) (x
2
－2x＋3)；(4)(x＋3)(x－3)·(x
2
＋2)；(5) (3x＋1)(2x－3)；(6)(t－1)(t－2)(t
2
＋t＋1)(t
2< br>＋2t＋4)；(7)[7(a＋b)＋2][(a＋b)－1]；
66
)(x－)( x＋1)·(x－1)；(5)2(t－2)(t
2
＋2t＋4)(t＋1)(t
2< br>－t＋1)．
22
- 5 -

(8)(2x＋1)(3x－5)(6x
2
－7x＋5)．
5．解 (1)(x－y)(3a＋y)；(2)(2x－1)(2x＋1)
2
；
(3)(x－3)(5x＋2y)；(4)(2a－5b＋6)(2a－5b－6)；
(5) (1＋2x－y)(1－2x＋y)；(6)ab(a－b)(a＋b)
2
；(7)(x
3
＋y
3
－1)(x
3
－y
3
－1)；
(8)x(x－y)(x＋y＋1)．


答案精析
1
1．解 (1)(x＋7)(x＋8)；(2)(x＋6)(x－5)；(3)(x＋10) (x＋15)；(4)(x＋3)(x－)．
3
2．解 (1)(2x＋3)(3x－1)；(2)(3x＋4)(4x＋3)；
(3)(6x＋1)(7x－2)；(4)(9x＋2)(8x－1)．
例1 解 (1)( a＋2b)(a－4b)；(2)(x＋6y)(x－y)；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4) (m＋2
n)(m－2n)·(m
2
＋3n
2
)．
例2 解 (1)(3m＋2n)(2m－3n) (2)(4x＋3y)·(5x－2y) (3)(x＋y)(x－y)(2x
2
＋3y
2
)
(4)(3x＋y＋2z)(2x＋y＋z)．
例3 解 (1)(x－2y)(x＋y)－ 2x＋7y－3＝(x－2y＋1)·(x＋y－3)；(2)(b－2)(a－1)．
例4 解 x
2
＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝(x＋m)·(x＋m＋1)．
1m
例5 解 原方程的解为x＝或x＝－.
32
例6 解 ∵原不等式为(x－a)[x－(a＋2)]≤0，
∴原不等式的解为a≤x≤a＋2.
强化训练
1．解 (1)(x－7y)(x＋y)；(2)(x－7y)(x＋8y)； < br>(3)(2x＋5y)(4x＋3y)；(4)[7(a＋b)＋2c][(a＋b)－c]；(5)(a －b)·(a＋b)(2a
2
＋3b
2
)；(6)(a
3
－ 8b
3
)·(a
3
＋b
3
)＝(a－2b)(a＋b)·( a
2
＋2ab＋4b
2
)(a
2
－ab＋b
2)．
2．解 (1)(x＋y)(x－y)－x＋3y－2＝(x＋y－2)(x－y＋1)；( 2)(2x＋1)(3y＋2)．
3．解 (1)(x－a)(x－b)；(2)(|x＋y|－3)(|x＋y|－a)．
11
4．解 (x－t)(x－)＝0，x＝t或x＝.
tt
5．解 (x－a
2
)[x－(a＋1)]≤0，
∴a＋1≤x≤a
2
(∵a
2
>a＋1)．

- 6 -