高中数学与初中数学衔接紧密的知识点

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
)
?
a( a?0
?
(a?0)
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对 值是0，即
a?
?
0
?
?a(a?0)
?

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:
|x|?a(a?0 )??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a
2
?b
2
?( a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑶立方和公式：a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑷完全平方公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
；
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：< br>(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
b
a
；
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不
等式。
（4）一元一次不等式组：
① 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
② 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b
2
?4ac?0

??0
?
?
②方程有两根同号
?

?

c
?
x
1
x
2
??0a
?
??0
?
?
③方程有两根异号
?

?

c
?
x
1
x
2
??0
a
?
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??
2
1
2
2
2
b
a
,x
1
x2
?
c
a

?
a
b?4ac
a
2
x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
,
x
1
?x
2
?(x
1
?x2
)?4x
1
x
2
?
2
?

33222
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2< br>)(x
1
?x
1
x
2
?x
2
)?( x
1
?x
2
)
?
(x?x)?3x
1
x< br>2
?
12
??

8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的 点自变量，用竖直方向的
数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量
y
,
x
间的关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常 数，
k
不等
于0）的形式，则称
y
是
x
的一次函数 。②当
b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量< br>x
与对应的因变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐
标系 内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、 3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、
4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。
④当
k
?
0时 ，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，y
的值随
x
值的增大而减少。
（4）二次函数：
①一般式：
y?ax?bx?c?a(x?
2
b
2a
)?
2
4 ac?b
4a
2
(
a?0
)，对称轴是
x??
b< br>2a
,

顶点是
（－
b
2a
,
4a c?b
4a
2
)
；
②顶点式：
y?a(x?m)
2
?k
(
a?0
)，对称轴是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；
③交点式：
y?a(x?x
1
)( x?x
2
)
(
a?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与x轴的
交点
（5）二次函数的性质
2
①函数
y?ax?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
2a
b
2a
对称。
b
2a< br>）左侧，在对称轴（
x??
y
值随
x
值的增大而减少；
b
2a
4ac?b
4a
2
）
右侧；
y
的 值随
x
值的增大而增大。当
x??
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
2a
时，
y
取得最小值
b
2 a
y
值随
x
值的增大而增大；）左侧，在对称轴（
x??
）
右侧；
y
的值随
x
值的增大而减少。当
x??
9 图形的对称
（1）轴对称图形：
b
2a
时，
y
取得最大 值
4ac?b
4a
2

①如果 一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫 做对称轴。
②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：
①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互 相重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。
②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴 叫做
x
轴或横轴，竖直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴与y
轴统称坐标轴，他们的公共原点
O
称为
直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x
2
,y
2
)
是直角坐标系内的两 点，
?
x
1
??x
2
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
。
?
y
1< br>?y
2
?
x
1
?x
2
②若
M
和
M'
关于
x
轴对称，则有
?
。
y??y?
12
?
x
1
??x
2
③若
M
和
M'
关于原点对称，则有
?
。
y??y
?
1 2
?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'< br>关于直线
y?x
对称，则有
?
。
y?x
?
12
?
x
1
?2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
⑤若
M
和
M'
关于直线
x?a
对称，则有
?
或
?
。
y?yy?y
?
12
?
12

11 统计与概率：
N
（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成
A?10
的形式，其中< br>A
大于等于1小于10，
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表 示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的
大小反映部分占总体的百分比的大小，这样 的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每
部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度 数与360度的比。
（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；② 折线统计
图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
1
（5）平均数：对于
N
个数
x
1
, x
2
,?,x
N
，我们把(
x
1
?x
2< br>???x
N
)叫做这个
N
个数的
N
算术平均数，记为
x
。

（6）加权平均数：一组数据里各个数据 的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平
均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

（7）中位数与众数：
①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数。
②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。
③优劣比较：平均数：所有数 据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实
生活中常用，但容易受极端值影响；
中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；
众数：各个数据如果重复次数大 致相等时，众数往往没有特别的意义。

（8）调查：
①为了一定的目的而对考察 对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体
称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为 个体。
②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部
分个体叫做总体的一个样本。
③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小， 节省时间，人
力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结
果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

（9）频数与频率：
①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

（10）数据的波动：
①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
③标准差就是方差的算术平方根。
④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（11）事件的可能性：
①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些 事情我们能肯定他
一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。
②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。
③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

（12）概率：
① 人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生
的可能性。
②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。
③必然事件发生的概率为1，记作
P
（必然事件）
?1
；不可能事件发生的概率为
0
，
记作P
（不可能事件）
?0
；如果A为不确定事件，那么
0?P(A)?1< br>.