高中数学初升高衔接教材 专题12 一元二次不等式的解法(解析版)

专题
12
一元二次不等式的解法

一、知识点精讲

2
【引例】二次函数
y
＝
x－
x
－
6
的对应值表与图象如下：

x
y
－
3
6
－
2
0
－
1
－
4
0
－
6
1
－
6
2
－
4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象< br>(
如图
2.3
－
1)
可知


y＞0

y＝x
2
－x－6

y＞0
－2

y＜0

x

图2.3－1
当
x
＝－
2
，或
x
＝
3
时，
y
＝
0
，即
x
－
x
＝
6
＝
0
；

2
当
x
＜－
2
，或
x＞
3
时，
y
＞
0
，即
x
－
x
－
6
＞
0
；

2
当－
2
＜
x
＜
3
时，
y
＜
0
，即
x－
x
－
6
＜
0
．

2
这就是说，如果抛物线
y= x
－
x
－
6
与
x
轴的交点是
(
－
2
，
0)
与
(3
，
0)
，那么一元二次方程

2
x
2
－
x
－
6
＝
0
的解就是
x
1
＝ －
2
，
x
2
＝
3
；同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式
x
－
x
－
6
＞
0
的解是
x
＜－
2
，或
x
＞
3
；

2
一元二次不等式
x
－
x
－
6
＜
0
的解是－
2
＜
x
＜
3
．

2
上例表明：由抛物线与
x
轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等式的解集．

那么，怎样解一元二次不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞
0(a≠0)
呢？

22
我们可以用类似于 上面例子的方法，借助于二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c(a≠0)
的图象来解一元二次不等式
ax
＋
2
bx
＋
c
＞
0(a≠0)
．


为了方便起见，我 们先来研究二次项系数
a
＞
0
时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元 二次方
22
程
ax
＋
bx
＋
c
＝
0(a
＞
0)
，设△＝
b
－
4ac
，它的解的情形 按照△＞
0
，△
=0
，△＜
0
分别为下列三种情况
——
有

2
两个不相等的实数解、有两个相等的实 数解和没有实数解，相应地，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋c
（
a
＞
0
）与
x
轴
分别有两个公共 点、一个公共点和没有公共点
(
如图
2.3
－
2
所示
)
，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应
22
的一元二次不等式
ax< br>＋
bx
＋
c
＞
0
（
a
＞
0
）与
ax
＋
bx
＋
c
＜
0
（a
＞
0
）的解．


22
（
1
）当
Δ
＞
0
时，抛物线
y
＝
ax
＋bx
＋
c
（
a
＞
0
）与
x
轴 有两个公共点
(x
1
，
0)
和
(x
2
，< br>0)
，方程
ax
＋
bx
＋
c
＝
0< br>有两个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(x
1< br>＜
x
2
)
，由图
2.3
－
2
①可知

2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞< br>0
的解为
x
＜
x
1
，或
x
＞
x
2
；

2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜
0
的解为

x
1
＜
x
＜
x
2
．

2 2
（
2
）当
Δ
＝
0
时，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
＞
0）与
x
轴有且仅有一个公共点，方程
ax
＋
bx
＋c
＝
0
有两个
b
相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－
2a

，由图
2.3
－
2
②可知

b
不等式ax
＋
bx
＋
c
＞
0
的解为
x≠－
2a

；

2
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜
0
无解．

22
（
3
）如果△＜
0
，抛物线
y
＝
ax
＋< br>bx
＋
c
（
a
＞
0
）与
x
轴没有公共点，方程
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
没有实数根
，
由图
2.3
－
2
③可知

2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞
0
的解 为一切实数；

2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜
0
无解．


今后，我们在解一元二次不等式时，如果二 次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二
次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以 －
1
，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面
的结论去解不等式．

二、典例精析

【典例
1
】

解下列不等式：

22
（
1
）
x
＋
2x
－
3≤0
；

（
2
）
x
－
x
＋
6
＜
0
；

22
（
3
）
4x
＋
4x
＋
1≥0
；

（
4
）
x
－
6x< br>＋
9≤0
；

（
5）－
4
＋
x
－
x
＜
0
．

【答案】见解析

【解析】

2
（
1
） ∵
Δ
＞
0
，方程
x
＋
2x
－
3< br>＝
0
的解是
x
1
＝－
3
，
x
2
＝
1
．

2
∴不等式的解为－
3≤x≤1
．

2
（
2
）整理，得
x
－
x
－
6
＞
0
．

∵
Δ
＞
0
，方程
x
－
x< br>－
6=0
的解为
x
1
＝－
2
，
x
2
＝
3
．

∴原不等式的解为
x
＜－2
，或
x
＜
3
．

2
（
3
）整理，得
(2x
＋
1)
≥0.
2
由于上式对任意实数
x
都成立，

∴原不等式的解为一切实数．

2
（
4
）整理，得
(x
－
3)
≤0. < br>22
由于当
x
＝
3
时，
(x
－
3)
＝
0
成立；而对任意的实数
x
，
(x
－
3 )
＜
0
都不成立，

∴原不等式的解为
x
＝
3
．

2
（
5
）整理，得
x
－
x
＋
4
＞
0
．
Δ
＜
0
，所以，原不等式的解为一切实数．

【典例2
】已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx
2
?ax?c?0
的解．

【答案】见解析

【解析】由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知

2
2
a?0
，且 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为
2
和
3< br>，∴
?
即

b
?5,
a
c
?6
，

a
bc< br>??5,?6
．由于
a?0
，所以不等式
bx
2
?a x?c?0
可变为

aa
b
2
c
x?x??0

，即－
5x
2
?x?6?0,

aa
2
整 理，得
5x?x?6?0,
所以，不等式
bx
2
?ax?c?0的解是
x
＜－
1
，或
x
＞
6
．

5
【说明】：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

【 典例
3
】解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数
).
2
【答案】见解析

【分析】

< br>对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一
要求 ，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式
?
的符号，而这里的
?
是关于 未知系数的代数式，

?

的符号取决于未知系数 的取值范围，因此，再根据解题的需要，对
?
的符号进行分类讨论
.

【解析】
:
?
?a
2
?4
，

22
?a?a?4?a?a?4

①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是
x?,x?.
12
22
2
22
?a?a?4?a?a?4
；

所以，原不等式的解集为
x?,

或
x?
22
a
2
时，原不等式的解为
x≠
－
2

；

②当
Δ
＝
0
，即
a
＝
±
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数
.
22
?a?a?4?a?a?4
；

综上，当
a ≤
－
2
，或
a≥2
时，原不等式的解是
x?,
< br>或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．< br>
2
【典例
4
】已知函数
y
＝
x
－
2ax
＋
1(a
为常数
)
在－
2≤x≤1
上的最小值为
n
，试将
n
用
a
表示出来．

【答案】见解析

【分析】：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴 的位置有关，于是需要对对称轴的位置
进行分类讨论．

22
【解析】
:
∵
y
＝
(x
－
a)
＋
1
－< br>a
，

2
∴抛物线
y
＝
x
－
2ax
＋
1
的对称轴方程是
x
＝
a
．


2
（
1
）若－
2≤a≤1
，由图
2.3 -3
①可知，当
x
＝
a
时，该函数取最小值
n
＝< br>1
－
a
；

（
2
）若
a
＜
-2
时，

由图
2.3-3
②可知，

当
x
＝
-2
时，该函数取最小值
n
＝
4a+5
；

（
3
）若
a
＞
1
时，

由图
2.3-3
③可知，

当
x
＝
1时，该函数取最小值
n
＝
-2a+2.

< br>?
4a?5,a??
综上，函数的最小值为
n?
?
2,
?
1?a
2
,?2?a?1,

?
?
?2a?2,a?1.
三、对点精练

1
．解下列不等式：

（
1
）
3x
2－
x
－
4
＞
0
；

（
2
）
x
2
－
x
－
12≤0；

（
3
）
x
2
＋
3x
－< br>4
＞
0
；

（
4
）
16
－
8x
＋
x
2
≤0
．< br>
【答案】见解析

【解析】

（
1
）3x
2
－
x
－
4
＞
0
?x??1或x?
4
3

（
2
）
x2
－
x
－
12≤0
??3?x?4

（
3
）
x
2
＋
3x
－
4
＞
0?x??4或x?1
；

（
4
）
16
－
8x
＋
x
2
≤0
?x?4
．

2 .
解关于
x
的不等式
x
2
＋
2x
＋
1
－
a
2
≤0
（
a
为常数）．

【答案】见解析

【解析】

不等式可以变为
(x
＋
1
＋
a)( x
＋
1
－
a)≤0
，

（
1
）当 －
1
－
a
＜－
1
＋
a
，即
a＞
0
时，∴－
1
－
a≤x≤
－
1
＋< br>a
；

（
2
）当－
1
－
a
＝－
1
＋
a
，即
a
＝
0
时，不等式即为
(x
＋
1)
2
≤0
，∴
x
＝－
1
；
（
3
）当－
1
－
a
＞－
1＋
a
，即
a
＜
0
时，∴－
1
＋
a≤x≤
－
1
－
a
．

综上，当
a＞
0
时，原不等式的解为－
1
－
a≤x≤
－
1
＋
a
；

当
a
＝
0
时，原不等式 的解为
x
＝－
1
；

当
a
＜
0< br>时，原不等式的解为－
1
＋
a≤x≤
－
1
－
a
．

3.

解下列不等式：

(1)
x
2
?x?6?0
(2)
(x?1)(x?2)?(x?2)(2x?1)

【答案】见解析

【解析】

⑴解法一：原不等式可以化为：
(x?3)(x?2)?0

于是：
?
?
x?3?0
?
x?2?0
或


，

?
x?3?0
?
x??3< br>?
x??3
?
?
或
?
?x??3或x?2
所 以，原不等式的解是
x??3或x?2
．

?
?
x?2?
x?2?0
?
x?2
解法二：解相应的方程
x
2?x?6?0
得：
x
1
??3,x
2
?2
，所 以原不等式的解是
x??3或x?2
．

(2)
解法一：原不等式 可化为：
?x
2
?4x?0
，即
x
2
?4x?0? x(x?4)?0
于是：

?
x?0
?
x?0
或? x?0或x?4
，所以原不等式的解是
x?0或x?4
．

??x?4?0x?4?0
??
解法二：原不等式可化为：
?x
2
? 4x?0
，即
x
2
?4x?0
，解相应方程
x
2< br>?4x?0
，得
x
1
?0,x
2
?4
，所以原不等式的解是
x?0或x?4
．

【说明】：解一元二次不等式， 实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不
等式的解．

4.

求关于
x
的不等式
m
2
x?2?2 mx?m
的解．

【答案】见解析

【解析】原不等式可化为：
m(m?2)x?m?2

(1)
当< br>m?2?0即m?2
时，
mx?1
，不等式的解为
x?
(2)
当
m?2?0即m?2
时，
mx?1
．

①

0?m?2
时，不等式的解为
x?
②

m?0
时，不等式的解为
x?
1
；

m
1
；

m
1
；

m
③

m?0
时，不等式的解为全体实数．

(3)
当
m?2?0即m?2
时，不等式无解．

综上所 述：当
m?0
或
m?2
时，不等式的解为
x?
11
；当
0?m?2
时，不等式的解为
x?
；当
m?0
时，mm
不等式的解为全体实数；当
m?2
时，不等式无解．

5.
解下列不等式：

(1)
x
2
?2x?8?0

【答案】见解析

【解析】


(2)
x
2
?4x?4?0
(3)
x
2
?x?2?0

(1)
不等式可化为
(x?2)(x?4)?0
∴

不等式的解是
?2?x?4

(2)
不等式可化为
(x?2)
2
?0

∴

不等式的解是
x?2
；

(3)
不等式可化为
( x?)?
1
2
2
7
?0
∴

不等式无解。

4
6.
已知对于任意实数
x
，< br>kx
2
?2x?k
恒为正数，求实数
k
的取值范围．

【答案】见解析

【解析】

?
k?0
?
k?0
?
k?0
?
?
2
?
?
?k?1
显然
k?0
不合题意，于是：
?
22
k??1或k? 1
(?2)?4k?0k?1?0
?
??
7.

解下列不等式：

(1)

(2)
2x?3
?0

x?1

1
?3

x?2
【答案】见解析

【分析】

(1)
类似 于一元二次不等式的解法，运用
“
符号法则
”
将之化为两个一元一次不等式组 处理；或者因为两个数
(
式
)
相除异号，那么这两个数
(
式
)
相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

(2)
注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

【解析】

33??
x?
?
2x?3?0
?
2x?3?0
?
x ?
3
?
或
?
?
?
(1)
解法
(
一
)
原不等式可化为：
?
2
或
?
2
??1?x?

2
?
x?1?0
?
x?1?0
?
?
x??1
?
?
x??1

解法
(
二
)
原不等式可化为：
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
3
．

2
(2)
原不等式可化为：
?
(3x?5)(x?2)?0
1?3x?53x?5
?

?3?0??0??0
?
?
x ?2x?2x?2
?
x?2?0
5
x??2或x??

3
【说明】：

(1)
转化为整式不等式时，一定要先将右端变为
0
．

?
x?2 ?0
?
x?2?0
1
?3?
?
或
?
(2)
本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

3(x?2)?13(x?2)?1
x?2
??