初高中衔接教材教案《因式分解分解》

初高中衔接教材教案《因式分解分解》
因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法 、分组分解法、十字相乘法，
另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
说明：前面有*的供选用
1．提取公因式法与分组分解法、公式法
例1 分解因式：

（1）2（
y
－
x
）
2
+3（
x
－y
）
（2）
mn
（
m
－
n
）－m
（
n
－
m
）
2

（3）9?x2
?y
2
?2xy
（4）a
2
?4ab?4b
2
?2a?4b
（5）x?xy?xy?y
3223


（6）(a?b)(a?1)?ab?b
2





2．十字相乘法
例2 分解因式：
（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
6x
2
?xy?2y
2

解：（1）如图1 ．2－1，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2
－3
x
＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．


1
x
x
1
－1 －2
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式 时，可以直接将图1．2－1中的
两个
x
用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?b y)

*例3 因式分解：（双十字相乘法）
x
y
图1．2－5
－1
1
(1)x?2xy?8y?2x?14y?3(2)x
2
?3xy?10y
2
?x?9y?2

(3 )4x
2
?2xy?2y
2
?4x?7y?3
22
3．关于
x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)的因式分解．（求根法）
若关于
x
的方程
a x
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a?0)
就可 分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．

练 习
1．选择题：
（1）多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

（2）若
x< br>2
?
22
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
11
1
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
m
2

4
3
2．填空：
（1）
1
9
a
2
?
1
2
11
4
b?(< br>2
b?
3
a)
（ ）；
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
3．分解因式：
（1）5（
x
－
y
）
3
+10（
y
－
x
）
2
（2）
?
c
2
?ab
?
2
?
?< br>a?b
?
2
·c
2




3）2x
?
x?y
?
4
?x
2
?
x?y
?
2
?xy
?
y?x
?
2

（4）
a
2
?32a
4





（5）8
a
3
－
b
3
； （6）
x
2
＋6
x
＋8；




（7）
4(x?y?1)?y(y?2x)
（8）
4x
4
?13x
2
?9
；






16
（

（9）20a4
?33a
2
b
2
?7b
4
< br>（10）
?
x
2
?5x
?
2
?10
?
x
2
?5x
?
?96


*（11）< br>3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．



*（12）
2x
2
?xy?y
2
?4 x?5y?6
．




4．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
；




（3）
3x
2
?4xy?y
2
；





5．分解因式：
x
2
＋
x
－(
a
2
－
a
)．





2）
x
2
?22x?3
；
4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x )?12
．
（
（