初高中衔接_第三讲 第三讲 一元二次方程根与系数的关系

第三讲 一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握 一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方
程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二 次函数、不等式及解析几何等章节有
着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进 行阐述．

一、一元二次方程的根的判断式
2
ax?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为： 一元二次方程
b
2
b
2
?4ac
(x?)?
2a
4a
2

(1) 当
b?4ac?0
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2
?b?b
2
?4ac
x?
2a

(2) 当
b?4ac?0
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
2
b(3) 当
?4ac?0
时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
2
x
1,2
??
b
2a

由于可以用b?4ac
的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b?4ac
叫做
2
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的根的判别式，表示为：
??b?4ac

22
2
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

2
(1)
2x?3x?1?0

2
4y?9?12y
(2)
2
5(x?3)?6x?0
(3)
解：(1)




??(?3)
2
?4?2?1?1?0
，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
2
4y?12y?9?0
(2) 原方程可化为：
2
??(?12)?4?4?9?0
原方程有两个相等的实数根． ，∴
2

(3) 原方程可化为：
5x?6x?15?0


??(?6
2
)?4?5?15??264?0
，∴ 原方程没有实数根．
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
2
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的范围：
x【例2】已知关于的一元二次方程
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．
2
??(?2)?4?3?k?4?12k
解：
4?12k?0?k?
(1)
1
3
；
1
3
；
4?12k?0?k?
(2)
1
3
；
1
3
．
4?12k?0?k?


(3)
4?12k?0?k?
(4)
22
y
x?y?xy?2x?y?1?0
，试求
x
、
y
的值．
x
【例3】已知实数、满足
解：可以把所给方程看作为关于
x
的方程，整理得 ：
x
2
?(y?2)x?y
2
?y?1?0

由于
x
是实数，所以上述方程有实数根，因此：
??[?(y?2)]2
?4(y
2
?y?1)??3y
2
?0?y?0
，
代入原方程得：
x?2x?1?0?x??1
．
综上知：
x??1,y?0

二、一元二次方程的根与系数的关系

2
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为： 一元二次方程
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x?,x?
2a2 a


?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
x
1
?x
2
????
2a2aa
， 所以：



?b?b
2
?4ac?b?b
2?4ac(?b)
2
?(b
2
?4ac)
2
4acc< br>x
1
?x
2
????
2
?
2
2a2 aa

(2a)4a
2
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
，那么： 定理：如果一 元二次方程
bc
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?
aa

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国 数学家韦达发现，所以通常把此
定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是
??0
．
【例4】若
x
1
,x
2
是方程
x
2< br>?2x?2007?0
的两个根，试求下列各式的值：
(x
1
?5)(x
2
?5)
；
|x
1
?x
2
|
．
11
?
22
x?x
2
； (2)
x
1
x
2
； (1)
1
(3) (4)

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
x
1
?x
2
??2,x
1
x
2
??2007

2222
x?x?(x?x)?2xx?(?2)?2(?2007)?4018

121212
(1)
11
x
1
?x
2
? 22
????
xx
2
x
1
x
2
?2007 2007
(2)
1
(3)
(4)
(x
1
? 5)(x
2
?5)?x
1
x
2
?5(x
1
?x
2
)?25??2007?5(?2)?25??1972

|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?(?2)
2
?4(?2007)?22008

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
11
x
1?x
2
??
x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
，
x
1
x
2
x
1
x
2
，
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
? x
2
)
2
?4x
1
x
2
，
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
22
xx?x
1
x
2
?x
1
x
2
(x
1
?x
2
)< br>， ，
12
x
1
3
?x
2
3
?(x
1
?x
2
)
3
?3x
1
x
2(x
1
?x
2
)
等等．韦达定理体现了整体思想．
【 例5】已知关于
x
的方程
x
2
?(k?1)x?
1
2
k?1?0
4
，根据下列条件，分别求出
k
的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
x
1
? x
2
?0
，二是
?x
1
?x
2
，所以分析 ：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是
要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5



1
2
?
2
??[?(k?1)]?4(k?1)?0
?
3
?
4
?k?,k?? 4
?
2
?
xx?
1
k
2
?1?5
?
12
4
∴
?

所以，当
k?4
时，方程两实根的积为5．
(2) 由
|x
1
|?x
2
得知：




①当
②当
x
1
?0
时，
x
1< br>?x
2
，所以方程有两相等实数根，故
??0?k?
3
2；
x
1
?0
时，
?x
1
?x
2?x
1
?x
2
?0?k?1?0?k??1
，由于

3
??0?k?
2
，故
k??1
不合题意，舍去． < br>k?
3
2
时，方程的两实根
x
1
,x
2满足
|x
1
|?x
2
． 综上可得，
说明：根据一元 二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的
条件，即所求的字母应满足< br>??0
．
【例6】已知
x
1
,x
2
是一元 二次方程
4kx
2
?4kx?k?1?0
的两个实数根．
(2x< br>1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
3
2
成立？若存在，求出
k
的值；若不 (1) 是否存在实数
k
，使
存在，请您说明理由．

x
1
x
2
??2
xx
1
(2) 求使
2
的值为整数的实数
k
的整数值．
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
3
2成立． 解：(1) 假设存在实数
k
，使

2
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根 ∵ 一元二次方程


?
4k?0
?k?0
?
2
??(?4k)?4? 4k(k?1)??16k?0
∴
?
，
又
x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx
2
?4kx?k?1?0
的两个实数根


?
x
1
?x
2
?1
?
?
k?1
xx?
12
?
4k

?
∴
222
(2x?x)(x?2x)?2(x?x)?5xx?2 (x?x)?9x
1
x
2

1212121212
∴
??

k?93
???k
4k2
9
?
5
，但
k?0
．
3
2
成立． ∴不存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??


x
1
x
2
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2)
2
4k4
??2??2??4??4??
xx
1
x< br>1
x
2
x
1
x
2
k?1k?1
(2) ∵
2
∴ 要使其值是整数，只需
k?1
能被4整除，故
k ?1??1,?2,?4
，注意到
k?0
，

x< br>1
x
2
??2
xx
1
要使
2
的值为 整数的实数
k
的整数值为
?2,?3,?5
．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，
否则即不存在．

4
(2) 本题综合性较强，要学会对
k?1
为整数的分析方法．








A 组
练 习
2
(1?k)x?2x?1?0
有两个不相等的实数根，则
k
的取值范围是( 1．一元二次方程)
A．
k?2
B．
k?2,且k?1
C．
k?2
D．
k?2,且k?1

11
?
2
x,x
xx
2
的值为( ) 2．若12
是方程
2x?6x?3?0
的两个根，则
1
1
C．
2

9
D．
2
A．
2
B．
?2

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且O A、OB的长分别是关于
x
的方
22
x?(2m?1)x?m?3?0
的根，则
m
等于( ) 程
A．
?3
B．
5
C．
5或?3
D．
?5或3

2
ax?bx?c?0 (a?0)
的根，则判别式
??b
2
?4ac
和完全平方
t
4．若是一元二次方程
2
M?(2at?b )
式的关系是( )
C．
??M
D．大小关系不能确定 A．
??M
B．
??M

b?1a?1
?
2 2
a,b
a?8a?5?0,b?8b?5?0
5．若实数
a?b
， 且满足，则代数式
a?1b?1
的
值为(

)
B．
2
C．
2或?20
D．
2或20
A．
?20

2
(b?c)x?(c?a)x?(a?b) ?0
的两根相等，则
a,b,c
之间的关系是 ______ 6．如果方程
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程
2x?8x?7?0
的两个根，则这个直
角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程
2x?(k?1)x?k?3 ?0
的两根之差为1，则
k
的值是 _____ ．
22
x?1, x?1
x,x
x?px?q?0x
12
12
x
9．设是方程 的两实根，是关于的方程
?qx?p?0
2
2
的两实根，则
p
= _____ ，
q
= _____ ．
2
10．已知实数
a ,b,c
满足
a?6?b,c?ab?9
，则
a
= _____ ，
b
= _____ ，
c
= _____ ．
11．对于二次三 项式
x?10x?36
，小明得出如下结论：无论
x
取什么实数，其值都不可
能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若
n?0
，关于
x
的方程
值．
2
x
x
13．已知关于的一元二次方程
?(4m?1)x?2m?1?0
． < br>2
x
2
?(m?2n)x?
1m
mn?0
4
有两个相等的的正实数根，求
n
的
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

111
???
x ,x
xx
2
2
，求
m
的值． (2) 若方程的两根为12
，且满足
1
x
2
?(k?1)x?
1
2< br>k?1?0
4
的两根是一个矩形两边的长． 14．已知关于
x
的方程


(1)
k
取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 当矩形的对角线长是
5
时，求
k
的值．

B 组
2
(k?1)x?(2k?3)x?k?1?0
有两个不相等的实数根
x1
,x
2
．
x
1．已知关于的方程


(1) 求
k
的取值范围；
(2) 是否存在实数
k
，使 方程的两实根互为相反数？如果存在，求出
k
的值；如果不存
在，请您说明理由． < br>2
x
x
2．已知关于的方程
?3x?m?0
的两个实数根的平 方和等于11．求证：关于
x
的方程

(k?3)x
2
?kmx?m
2
?6m?4?0
有实数根．
22
x,x
x ?(2k?1)x?k?1?0
的两个实数根，且
x
1
,x
2
都大于1．
12
x
3．若是关于的方程
(1) 求实数
k
的取值范围；

x
1
1
?
x2
，求
k
的值． (2) 若
2
















第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案

A组
1． B 2． A 3．A 4．A 5．A
6．
a?c?2b,且b?c

7． 3 8． 9或
?3




9．
p??1,q??3

11．正确 12．4 10．
a?3,b?3,c?0

(1)??16m
2
?5?0 (2)m??
13．
1
2

(1)k?
14．

B组
3
(2)k?2
2

(1)k?
1．
2．
m?1

13
且k?1
12
(2) 不存在
(1)当
k?3
时，方程为
3x?1?0
，有实根；(2) 当
k?3
时，
??0
也有实根．
k?
3．(1)

3
且k?1
4
； (2)
k?7
．