初高中衔接二次函数专题

3 二次函数

基础知识
1．二次函数的三种表示方式：
2
（1）一般式：
y=ax

+bx+c
；
2
（2）顶点式：
y=a(x-m)

+n
（常用，便于求最值、画图）；
（3）交点式：
y=a(x-x
1

)(x-x
2

) (△≥0时)
．
2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意 x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可 用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦
达定理解决。
4．二次函数的最值问题
（1）二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
的最值．
二次函数在自变 量
x
取任意实数时的最值情况：当
a?0
时，函数在
x??
2
b
处取得最
2a
4ac?b
2
4ac?b
2b
小值，没有最大值；当
a?0
时，函数在
x??
处取得最大值 ，没有
4a4a
2a
最小值．
求二次函数最大值或最小值的步骤：
第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
（2）求二次函数在某一范围内的最值．
二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求
y?ax?bx?c
在
m?x?n
（其中
m?n
）的最值的步骤：
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0
；
第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）
（1）若
a?0
时求最小值或< br>a?0
时求最大值，需分三种情况讨论：
①
x
0
?m
，即对称轴在
m?x?n
的左侧；
②
m?x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的内部；
③
x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的右侧。
（2） 若
a?0
时求最大值或
a?0
时求最小值，需分两种情况讨论：
①
x
0
?
2
m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的左侧；
2
1

②
x
0
?

m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的右侧。
2
典型例题
题型一、自变量为全体实数时的最值
【例1】求下列函数的最大值或最小值．
（1）
y?2x?3x?5
； （2）
y??x?3x?4
．





题型二、自变量限制在某区间内时的最值
【例2】当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值．





【例3】当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．




题型三、自变量所在某区间变动时的最值
【例4 】当
t?x?t?1
时，求函数
y?
2
22
1
2< br>5
x?x?
的最小值(其中
t
为常数)．
22






【例5】已知函数y＝x
2
， －2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数
取最大值和最小值时所对应的自 变量x的值．







2

【例6】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天 的销售量
m
(件)
与每件的销售价
x
(元)满足一次函数
m ?162?3x,30?x?54
．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
y
与每件销售价
x
之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为
多少？




达标训练
1．选择题：
（1）
已知一个 二次函数的顶点坐标为
(0,4)
，且过
(1,5)
点，则这个二次函数的解 析式为
（ ）
A
．
y?
1
2
1
x?1
B
．
y?x
2
?4
C
．
y?4x
2
?1
D
．
y?x
2
?4

44
2
2．
已知函数
y??x?4ax
在
[1,3]
是单调递减的，则实数
a< br>的取值范围为 （ ）
A
．
(??,]
B
．
(??,1)
C
．
[,]
D
．
[,??)

3 ．
二次函数
f
?
x
?
满足
f
?
x ?2
?
?f
?
?x?2
?
，又
f
?
0
?
?3
，
f
?
2
?
?1
，若 在[0，
m
]上有
1
2
13
22
3
2最大值3，最小值1，则
m
的取值范围是（ ）
A.
?
0,??
?
B.
?
2,??
?
C.
?
0,2
?
D. [2,4]
2．填空：设函数f(x)= x
2

-2ax+a
2

+b
．

（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,a的取值范围是
（2）如果对所有x∈R,恒有f(x)≥0,则b的取值范围是 ;
（3）如果a＜0时,方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根,则a,b应满足的关系
是 ;
（4）图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是
（5）f(x)的图象被x轴割得的弦长为1的函数是 ；
3．求函数的最大值和最小值:
(1) f(x)=
x?x

, x∈[0,4];
(2) f(x)=
1
2
121
??
+5, x∈[-1,].
x
2
x2
4．当｜x｜≤1时, (1)求二次函数y=x
2

-2ax+a的最小值;
(2)若知最小值为-2, 如何求a; (3)如何求最大值。
5．已知x
1

、x
2

是方程4x
2

-4mx+m+2=0的两个实根,
(1) 当x
1
2

+x
2
2

取最小值时,实数m的值是（ ）

3

A．
11
B． - ; C． -1 D． 2
44
1
(2) x
1

、x
2

都大于, 求m的取值范围。
2
2
6. 对于关于x的方程
x?(2m?1)x?4?2m?0
,求满足下列条件的m的取值范围.
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于-1；
（4）两个根都大于
1
；
2
（5）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（6）一个根大于2，一个根小于2；
（7）两个根都在（0 ，2）内；
（8）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（9）一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内；
（10）一个根小于2，一个根大于4．

典型例题答案解析

【 例1】【思路分析】由于函数
y?2x?3x?5
和
y??x?3x?4
的自 变量x的取值范围
是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或 最小
值．
解：（1）因为二次函数
y?2x
2
?3x?5
中的二次项系数2＞0，所以抛物线
y?2x
2
?3x?5
有
22< br>3
349
最低点，即函数有最小值．因为
y?2x
2
?3x? 5
=
2(x?)
2
?
，所以当
x?
时，函数
4
48
49
．
y?2x
2
?3x?5
有最小值 是
?
8
2
（2）因为二次函数
y??x?3x?4
中的二次 项系数-1＜0，所以抛物线
y??x
2
?3x?4
有
最高点，即函 数有最大值．因为
y??x
2
?3x?4
=
?(x?)
2< br>?
数
y??x
2
?3x?4
有最大值
3
2< br>25
3
，所以当
x??
时，函
4
2
25．
4
【例2】解：作出函数的图象．当
x?1
时，
y
max
??1
，当
x?2
时，
y
min
??5．

【说明】二次函数在自变量
x
的给定范围内，对应的图象是抛物线 上的一段．那么最高点的
纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据 二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量
x
的范围的图象形状各异．下面给出一

4

些常见情况：


【例3】解：作出函数y??x(2?x)?x?2x
在
x?0
内的图象．
2
可以看出：当
x?1
时，
y
min
??1
，无最大值． 所以，当
x?0
时，函数的取值范围是
y??1
．
【例4】【思路 分析】由于
x
所给的范围随着
t
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范< br>围的相对位置．
解：函数
y?
1
2
5
x?x?的对称轴为
x?1
．画出其草图．
22
1
2
5
t?t?
；
22
(2) 当对称轴在所给范围之间．即
t?1?t?1?0?t?1
时： 当时，
x?1
15
y
m
?
i
?1
2
n
?1???3< br>；
22
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即
t?1?1?t?0
时 ：当
x?t?1
时，
151
y
min
?(t?1)
2
?(t?1)??t
2
?3
．
222
(1) 当对称轴 在所给范围左侧．即
t?1
时：当
x?t
时，
y
min?


?
1
2
?
2
t? 3,t?0
?
综上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?
t
2
?t?,t?1
2
?
2< br>【例5】【思路分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨
论．

5

【例5】解：（1）当a＝－2时，函数y＝x
2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数
的最大值和最小值都是4，此时x＝－2； < br>（2）当－2＜a＜0时，由图①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数
取最小值y＝a
2
；
（3）当0≤a＜2时，由图②可知，当x＝－2时，函数取最 大值y＝4；当x＝0时，函数取
最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图③可知，当x＝a 时，函数取最大值y＝
a
；当x＝0时，函数取最小
值y＝0．
y
y
4

4

y
y
2
a
2

4

O
a
2
x


－2

③

O
a
x

a
2
－2
a

①



O
x
－2

a

2
②














【说明】在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中
所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取 部分实数来研究，在解决这一
类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
【例6】解：
(1) 由已知得每件商品的销售利润为
(x?30)
元，那 么
m
件的销售利润为
y?m(x?30)
，
又
m?162?3x
．
? y?(x?30)(162?3x)??3x?252x?4860,30?x?54

(2) 由(1)知对称轴为
x?42
，位于
x
的范围内，另抛物线开口向下
2
?
当
x?42
时，
y
max
??3?422
?252?42?4860?432

?
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
达标训练答案
1．（1）
D ；（2）A ；（3）D
．

2．函数f(x)= x
2

-2ax+a
2

+b =(x-a)
2
+b ．
（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,顶点在x=1的右侧，∴a≥1;
（2）如果对所有x∈R,恒有f(x)≥0,则顶点在x轴上方，∴b≥0；
（3）a＜0时,方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则f(1)<02

＜-b＜(2-a)
2

;
（4）（x,y）关于原点的对称点是（-x，-y）,
∴ 图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是-y= (-x-a)
2

+b即y=-(x+a)
2

-b;
（5）f(x)的图象被x轴割得的弦长为|x
1
-x
2
|=1, ∴(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=1,

6

∴(2a)
2
-4(a
2

+b)=1, ∴b=-
1
2
11
,∴函数是f(x)= (x-a)
2
-;
44
1
2
1
)+,
24
3．（1）设
x
=t，则t∈[0,2], y=t-t
2=-(t-
∴当t=
11
时y有最大值，当t=2时y有最小值-2．
24
11125
（2）设
?t,
则 y=t
2
-2t+5=(t-1)
2
+4, ∵-1≤t≤-,∴当t=-时y有最小值，当t=-1时y
x224
有最大值8．
4．解：（1）∵y=(x-a)
2
+a-a
2
, ∴顶点（a，a -a
2
），只要求抛物线段（-1≤x≤1）的最低点。
①若a<-1,则x=-1时 ，y
min
=1+3a,
②若-1≤a≤1,则x=a时，y
min
= a-a
2
,
③若a>1,则x=1时，y
min
= 1-a;
（2）由（1）得：
①当
a??1时y
min
?1?3a??2,解得a??1(舍去）

②
?1?a?1时y
2
min
?a?a??2,解得a??1或a? 2(舍去），?a??1

③
a?1时y
min
?1?a??2,解得a?3

综上所述，该函数的最小值为
?2
时，
a??1或a?3
.
（3）函数
y?x
2
?2ax?a
的图象为开口向上的抛物线，对称轴为< br>x??
?2a
2
?a
，
又
x?1
知
?1?x?1
.
①若
a?
? 1?1
2
?0
，则
x??1时y取得最大值,y
max
?1 ?3a
.
②若
a?
?1?1
2
?0
，则
x?1时y取得最大值,y
max
?1?a
.
5．(1)∵Δ=16m2
-16(m+2)=16(m
2
-m-2)≥0,
∴m≤-1或m≥2,
2
又∵x
22
+x
m?2
1
+x
2
=(x
12
)
2
-2x
1
x
2
=m
2
-2
?
?
1
?
17
4
=
?
?
m?
4
?
?
?
16
,
∴当m=-1时 x
1
2
+x
2
2
有最小值。（易漏掉Δ≥0）.
(2)(x
1
1
-
2
)(x
11111
2
-
2
)>0且(x
1
-
2
)+(x
2
-< br>2
)>0，即x
1
x
2
-
2
（x
1
+x
2
）+
4
>0
且x-1>0，
m?2
1
+x
2
4
?
1
2
m?
1
4
>0 且m

-1>0, ∴m<3, 且m>1,又∵Δ≥0∴2≤m<3;
注意：（1）
?
?
x
1
x
2
?ab
不能推出
?
x
1
?a
?
x
?
.
1
?x
2?a?b
?
x
2
?b
（2） 形式上是二次的方程的二次项系数是否为零、是否隐含根为实数的条件.

7
< /p>

6．【分析】限制条件简单时宜用韦达定理，如（1）--（5），限制条件复杂时宜借助 二次函
数图象求解，如（6）--（10）。
解法一：利用韦达定理
?
m ?
2
?
?
(2m?1)?4(4?2m)?0
?
??0?
?
??
(1)
?
x
1
?x
2< br>?0,?
?
1?2m?0,?
?
?
xx?0
?
4?2m?0
?
?
12
?
?
?
?
?m?
2
?
?
(2m?1)?4(4?2m)?0
?
?? 0
?
?
??
(2)
?
x
1
?x
2
?0,?
?
?(2m?1)?0,?
?
?
xx?0
?
4?2m?0
?
?
12
?
?
?
?(3)
35
或m??
22
15
m??m??

22
m?2
35
或m??
22
13
m???m?2

22
m?2
?
m?
2
?
?
(2m?1 )?4(4?2m)?0
?
??0
?
?
??
x?x??2, ??(2m?1)??2,?
?
1
??
2
?
[x?(?1) ][x?(?1)]?0
?
xx?(x?x)?1?0
?
12
2?
1
?
12
?
?
?
35
或m??22
3
m??m无解
2
3
m?
2
?
?
35
?
m?或m??
?
??0
?
(2m?1)2
?4(4?2m)?0
?
22
?
?
5
?(4)
?
x
1
?x
2
?1,?
?
（ -2m?1）?1?
?
m?0?m??

2
15
???11
11
m?
?
(x
1
?)(x
2
? )?0
?
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)??0
?
4
?
24
?
22
?
?
2
?
m?
?
??0(2m?1)?4(4?2m)?0
?
?
?
??
(5)
?
x
1
?x
2
?0,?
?
?(2m?1)?0,?
?
?
xx?0
?
4?2m?0
?
?
12
?
?
?
?
35
或m??
22
1
m??m无解

2
m?2< br>35
?
m?或m??
?
22
?
(2m?1)
2
?4(4?2m)?0
?
?
??0
(6)
?
?
?
?
?
?m??3

(x?2)(x ?2)?0
2
?
1
?
x
1
x
2
? 2(x
1
?x
2
)?4?0
?
m??3
?
?
(7)

8

?
35
m?或m???
2
?
(2m?1)?4(4?2m)?0
?
?
??0
22
?
?
x?x?0
1
?
?(2m?1)?0,< br>m?
12
?
?
?
??
2
x?x?4?1-2 m?4??m无解

?
1
??
2
?
?
x< br>1
x
2
?0
?
4?2m?0
?
m??
3
?
?
?
(x
1
?2)(x
2
?2)? 0
?
?
x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?0
?
?
2
?
m?2
?
m??3
解法二：借助二次函数图象
设
f(x)?x
2
?(2m?1)x?4?2m

?
3
?
??0
?
?
(2m?1)
2
?4(4
?
m?
2
或m??
5
(1)
?
?
?< br>b
?2m)?0
?0,?
?
?
?
2m?1?0,?< br>?
m?
1
2
?m??
5

?
2a< br>?
?
?
?
f(0)?0
?
4?2m?0
?< br>?
m?
2
2
2
?
?
?
35
?
??0
?
?
(2m?1)
2
?4(4?
?
m?
2
或m??
(2)
?
?
?
b
2a
?0,?
?
2m)?0
?
?
?(2m?1)?0,?
?
m?
1
2
?
3
?m?
?
?
?
?
?
f(0)?0
?
4?2m?0
?
?
m ?
2
2
2
2

?
?
?
??0?
m?
35
?
?
(2m?1)
2
?4(4?2 m)
?
2
或m??
(3)
?
?
?
ba
??1,?
?
?0
2m?1)??2,?
?
m?3
2
?
?
2
?
?(
?
2
m无 解

?
?
?
?
f(?1)?0
?
(?1)
2
?(2m?1)?4?2m?0
?
?
?
?
m?< br>3
2
?
?
?
??0
?
?
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(8)
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2
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（10）
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4
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．
?
16
?
m??
3

4 简单的一元二次不等式
基础知识
我们通过具体例子来研究一元二次不等式的解法。


10

二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图)可知：
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x－6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程x2
－x－6＝0的解就是x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式x
2
－x－6＞0的解集是 x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式 x
2
－x－6＜0的解集是 －2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次
不等式的 解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠ 0)的图象来解
y
y＞0

y＝x
2
－x－6

y＞0
－2
O
y＜0
3
x

一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△
＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解
和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公
共 点和没有公共点(如图所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式
ax
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，
y
y
y
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x

O
③
x
11

①

②

方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x< br>1
＜x
2
)，由图①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为 x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式
ax
＋bx＋c＜0的解为 x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
b
＋ bx＋c＝0有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图②可知
2a
b
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为 x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△ ＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2
＋bx＋c
＝0没有实数根，由图③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接
求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系
数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
2
典型例题
【例1】解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x－x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．



【例2】解关于x的不等式x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．





达标训练
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；
（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．
2．解下列不等式：


(1)
2x?x?0

2
2






(2)
x?3x?18?0

(4)
x(x?9)?3(x?3)

2
(3)
?x?x?3x?1

3. 解关于x的不等式x
2
＋2x＋1－a
2
≤0（a为常数）．

12

2x?31
4. 解下列不等式： (1)
x?1
?0
(2)
x?2
?3


典型例题答案解析
【例1】解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为
－3≤x≤1．
（2）整理，得
x
2
－x－6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x－6=0的解为
x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或
x?3
．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
【例2】解：不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．
∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；
当a＝1时，原不等式的无实数解；
当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

达标训练答案

1．（1）x＜－1，或x＞
4
3
； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；
（4）x＝4．
2．
(1)?
1
2
?x?0 (2)?3?x?6 (3)x??1 (4)x??3
．
3．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，
（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；
（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为
(x?1)
2
?0
，∴x＝－1；
（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．


13

综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；
当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；
当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．
4．【思路分析】(1) 类似于一元二次不 等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一
次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号， 那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式
不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．
解：(1) 解法(一)原不等式可化为：
33
??
x?
?
2x?3?0
?
2x?3?0
?
x?
3
?
或?或??1?x?
．
22
????
2
?
x?1?0
?
x?1?0
?
?
x??1
?
?
x??1
解法(二) 原不等式可化为：
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
(2) 解：原不等式可化为：
3
．
2
?
(3x?5)(x?2)?01?3x?53x?5
?3?0??0??0
?
?
?

x?2x?2x?2
?
x?2?0
5
x??2或x??
．
3
【说明】 (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
?
x?2?0
?
x?2?0
1
．
?3?
?
或
?
x?2
?
3(x?2)?1
?
3(x?2)?1
（3）简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应
当注意分母不为零.
（11·柳州）（本题满分6分）．
如图，一次函数y＝－ 4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C
4
两点，抛物线y＝x
2
＋bx ＋c的图象经过A、C两点，且与x轴
3
交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别 交线段AC、BC于点M、N．问
在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果
存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明
理由．
【答案】（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A (－1，0) C (0，－4)
(第26题图)
C
y
A O B x

14

4
把A (－1，0) C (0，－4)代入y＝x
2
＋bx＋c得
3
??
?
4－b＋c＝0
?
b＝－
8
3
∴
?
3
解得
?
?
c＝－4
?
c＝－4
??
48
∴ y＝x
2
－x－4
33
48416
（2）∵y＝x
2
－x－4＝( x－1)
2
－
E
A O
y
B x
1, 11－3)

3333
∴顶点为D（1，－
16
3
）
C
设直线DC交x轴于点E
D
由D（1，－
16
3
）C (0，－4)
(第26题图)
易求直线CD的解析式为y＝－
4
3
x－4
y
易求E（－3，0），B（3，0）
P
A O B x
S
11 6
△
EDB
＝
2
×6×
3
＝16
S
1
M N
△
ECA
＝
2
×2×4＝4
S
四边形
ABDC
＝S
△
EDB
－S
△< br>ECA
＝12
C
(第26题图)
（3）抛物线的对称轴为x＝－1
做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D
3

易求AB的解析式为y＝－3x＋3
∵D
3
E是BC的垂直平分线
∴D
3
E∥AB
设D
3
E的解析式为y＝－3x＋b
∵D
3
E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－3,
∴y＝－3x－3
把x＝－1代入得y＝0
∴D
3
(－1，0),
过B做BH∥x轴，则BH＝111
在Rt△D
1
HB中，由勾股定理得D
1
H＝11
∴D
1
（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D
1
（－1，11＋3）, D
2
（－1，22）, D
3
(－1，0), D
4
(－
D
5
（－1，－22）
15

（12·柳州）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC= 5 ．
（1 ）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分
别写出A、B、C 三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛 物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S
△
ABD
=
1
S
△
ABC
；
2
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A ′B′，与y轴交于点C′，当
平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如 果有需要时，
请参看阅读材料）．


附：阅读材料
一元二次 方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换
元法转化为一元二次方程 求解．如解方程：y
4
-4y
2
+3=0．
解：令y
2< br>=x（x≥0），则原方程变为x
2
-4x+3=0，解得x
1
=1， x
2
=3．
当x
1
=1时，即y
2
=1，∴y< br>1
=1，y
2
=-1．
当x
2
=3，即y
2
=3，∴y
3
= 3 ，y
4
=- 3 ．
所以，原方程的解是y
1
=1，y
2
=-1，y
3
= 3 ，y
4
=- 3 ．
再如
x
2
?2?x
2
?2
，可设
y?x
2
?2
，用同样的方法也可求解．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA， OB的长度，在直角△OAC
中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC的面积，根据S
△
ABD
=
1
S
△
ABC
，以及三角形的面积公式，
2
即可求得D的纵坐标，把D的 纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤ 1，可以写出平移以后的函数解
析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′
2
=OA?OB，据此即可
得到一个关于c的方程求得c的值．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，
∴OA=OB=
11
AB=×2=1，
22
∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．
在直角△OAC中，
OC? BC
2
?OB
2
?2
，

16

则C的坐标是：（0，2）；
（2）设抛物线的解析式是：y=ax
2
+b，
根据题意得：
?
?
a?b?0
?
a??2
，解得：
?
，
?
b?2
?
b?2
2
则抛物线的解析式是：
y??2x?2
；
（3）∵S
△
ABC=
∴S
△
ABD
=
11
AB?OC=×2×2=2，
22
1
S
△
ABC
=1．
2
设D的纵坐标是m，则
则m=±1．
1
AB?|m|=1，
2
2
，
2
6
，
2
当m=1时，-2 x
2
+2=1，解得：x=±
当m=-1时，，-2x
2
+2=-1 ，解得：x=±
则D的坐标是：（
2266
，1）或（- ，1）或（，-1），或（- ，-1）．
2222
（4）设抛物线向右平移c个单位长度， 则0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）
2
+b．
令x=0，解得y=-2c
2
+2．即OC′= -2c
2
+2．
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′
2
=OA′?OB′，
则（-2c
2
+2）
2
=（1-c）（1+c），
即（4c
2
-3）（c
2
-1）=0，
解得：c=
33
，
?
（舍去），1，
?1
（舍去）．
22
故平移
3
或1个单位长度．
2
【点评】本题考查了 勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确
理解：当点C′同时在以A′B′为 直径的圆上时有：OC′
2
=OA?OB，是解题的关键．
（2013?柳州）已知 二次函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，-4 ）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞-3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y=-2x-6上两动点， 且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时
△ABC的面积最小？求出此时点C的 坐标及△ABC面积的最小值．
考点：
二次函数综合题．

17

专题：
压轴题．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞-3时x的取值范围；
（3）△ABC 的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所
示，由点 C向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求
出 CE的最小值，这样问题得解．
26、
解答：解 ：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，
∴，
解得．
2
∴二次函数的解析式为：y=x﹣6x+5．

（2）在y=x﹣6x+5中，令y=﹣3，即x﹣6x+5=﹣3，
2
整理得：x﹣6x+8=0，解得x
1
=2，x
2
=4．
结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4．

（3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，
令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2．
∴M（﹣3，0），N（0，﹣6），
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3，
∴tan∠MNO==，sin∠MNO=
2
22
=．
设点C坐标为（x，y），则y=x﹣6x+5．
过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，

18

在Rt△CDF中，DF=CD?tan∠MNO=x，CF====x．
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x．
在Rt△EFN中，EF=FN?sin∠MNO=（6+y﹣x）．
∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x），
∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x
2
﹣6x+5，代入上式整理得：
CE=（x
2
﹣4x+11）=（x﹣2）
2
+，
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为．
当x=2时，y=x
2
﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．
△ABC的最小面积为：AB?CE=×2×=．
∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为．

19

20