中学初中数学与高中数学衔接课学案教案

初中数学与高中数学
衔
接
课
教
案
学
案

１

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值 是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对
值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离
|PA|，即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－< br>3|．
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|x－3|
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐
标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
， 则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.

2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

２
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
A
1
B
D
3 4
x

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
a?b?(b?a)
（ ）；
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

4316
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方
３

的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2?
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是有 理式．
2
x?1
，
2
1．分母（子）有理化
把分母（子 ）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需
要引入有理化因式的概念．两 个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化因式， 例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是 分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；
而分子有理化则是分母和分子都乘以分 母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行，运算中要运
用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的 除法，通常先写成分式的形式，然后通
过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似 ，应在化简的基础上去括
号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：3?(3?3)．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3
＝
9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
解法二：
3?(3?3)
＝
3?3
例3 试比较下列各组数的大小：
解法一：
3?(3?3)
＝
3

3

3(3?1)
1
＝
3?1
＝
＝
＝
3?1

(3?1)(3?1)
3?1
．
2
４

（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?

11?10?
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
（2）∵
22－6?
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝1
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?

解：（1）原式
?5?45?4


?(5)
2
?2?2?5?2
2

1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
∵
0?x?1
，
1
∴
?1?x
，
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
1
?2(0?x?1)
．
2
x
?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
3?
3?
3?
解： ∵
x?y?
3?
例 6 已知
x?
23?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
23?2
23?2
??(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?11 xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
５

（2）若
(5?x)(x?3)
2?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
x?1?x?1x?1?x?1
5
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．


1.1.４．分式

1．分式的意义
形如
AA A
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质 ：
BBB
AA?M
?
；
BB?M
AA?M
．
?
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

?
2A?4,
解得
A?2,B?3
．
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
??
L
?
（2）计算：
；
1?22?39?10
1111
??
L
??
．
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
６

（1）证明：∵
11(n?1)?n1
n
?
n?1
?n(n?1)
?
n(n?1)
，
∴
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1
（其中n 是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知

111
1 ?2
?
2?3
?
L
?
9?10


?(1?
1
2
)?(
1
2
?
1
3
)?L?(
11
9
?
10
)


?1?
1
9
10
＝
10
．
（3）证明： ∵
1
2?3
?
1
3?4
?
L
?
1
n(n?1)

＝
(
1
2
?
1
3
)?(
1
3
?
111
4
)?
L
?(
n
?
n?1
)

＝
11
2
?
n?1
，
又n≥2，且n是正整数，
∴
1
n＋1
一定为正数，
∴
11
1
2?3
?
3?4
?
L
?
1
n(n?1)
＜
2
．
例3 设
e?
c
a
，且e＞1，2c
2
－5ac＋ 2a
2
＝0，求e的值．
解：在2c
2
－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
∴e＝
1
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，
1
n(n?2)
?
(
11
n
?
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝
（A）１ （B）
5
4
（C）
46
5
（D）
5
3．正数
x, y
满足
x
2
?y
2
?2xy
，求
x?y< br>x?y
的值．
4．计算
1
1?2
?
1
2? 3
?
1
3?4
?...?
1
99?100
．


７
） （

习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）
11111
1?2
?
2? 3
?
3?4
?
4?5
?
5?6
?
____ ____．

B 组
1．填空：
（1）
a?
11
3a
2
?ab
2
，
b?
3
，则
3 a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
（2 ）若
x
2
?xy?2y
2
?0
，则
x
2< br>?3xy?y
2
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?
11
y
2
,y?
3
，求
x?y
?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0
（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
3．计算：
1111
1?3
?
2?4
?3?5
?
L
?
9?11
．
4．试证：对任意的正整数 n，有
1
1?2?3
?
1
2?3?4
?
L
?
1
1
n(n?1)(n?2)
＜
4
．




1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1）
1
3
a?
1
2
b
（2）
11
2
,
4
（3）
4ab?2ac?4bc

2．（1）D （2）A
８
）



）

1.1.3．二次根式
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1
99
1．
2
2．B 3．
2?1
4．
100
习题1．1
A组
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组
1
35
1．（1） （2），或－
5
2．4．
72
C组
36
1
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?,x
2
?2
3．
55
2
1111
?[?]
4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)



1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式 法、分组分解法，另外还应
了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－
1与－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，
所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
－2 x
－1
1
－ay
－1


1
x
x
－2
1 6
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1
来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
９

x
2
?(a?b)xy?aby< br>2
＝
(x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
x
y
－1
1
图1．2－5
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
１０
22

（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
22
3
42
2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．

222
22
222
1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．
习题1．2
1．（1）
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
（2）< br>?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x ?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
x?x?
2．（1）
?< br>； （2）
x?2?5x?2?5
；
???
????
2??
2
??
?
2?7
??
2?7
?
x ?yx?y
?
（3）
3
?
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
??
????
33
????
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)

????

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程a x
2
＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
１１

（2 ）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当b< br>2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于或等于零，因
2a
此，原方程没有实数根．
由此可 知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－ 4ac来判定，我们把b
2
－4ac
叫做一元二次方程ax
2
＋bx ＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程
中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非
常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
１２

则有

?b?b
2?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x< br>1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4 ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2< br>?
2a2a4a
2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋ c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
bc
，x
1
·x
2
＝．这 一关系也被称为
aa
韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x< br>2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q ＝0
的两根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝ 0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但
由于我们学习了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数
和常数项，于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5 x
2
－7x－6＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－
所 以，方程的另一个根为－
2
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3k
）＋2＝－，得 k＝－7．
55
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两
个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
即 [－2(m
－
2)]
2
－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由
“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即可．
１３

（1）在今后的解题过程中，如果仅 仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于
零．因为，韦达定理成立的前提是一元二 次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可 以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化
出一元二次方程 来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
∴
?
?< br>x
1
??2,
?
x
2
?6,
或
?

?
y
1
?6,
?
y
2??2.
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
x
1
2
x
2
2

（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??

53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
3
22
25
497
＝＋6＝， ∴| x
1
－x
2
|＝．
42
4
5325
(?)
2
?2?(?)?3
222
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
1137
224
（2）
2
?
2
?
2
．
????
3
2
9
x
1
x
2
x
1
?x
22
(x
1
x
2
)
2
9
(?)
24
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

（3）x1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
＝(－
553215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
2228
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这 一个量的问题，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x< br>2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，
x
1
?
2a2a
１４

? b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．



练 习
1．选择题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
（A）m＜
22
11
（B）m＞－
44
11
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
44
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
，则
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（2）方程mx2
＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x
2－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3) ( x
2
－3)的值．



习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
１５

③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；
3
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程a x
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根 为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2< br>－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个
相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．


B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根 ，则m
2
n＋mn
2
－mn的值等于 ．
（ 2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1
－x
2
|和
x
1
?x
2
；
2
（2）x
1
3
＋x
2
3
．
5 ．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满 足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边
长等于 （ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若x
1
，x
2
是方 程2x
2
－4x＋1＝0的两个根，则
x
1
x
2
?
的值为 （ ）
x
2
x
1
3
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
2
（3）如果关于 x的方程x
2
－2(1－m)x＋m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取 值范围为
（ ）
11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
c
（4）已知a，b，c是 ΔABC的三边长，那么方程cx
2
＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是
4
（A）α＋β≥
（ ）
１６

（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：
若方程x
2
－8x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
， 且3x
1
＋2x
2
＝18，则m＝ ．
3． 已知x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
（2）求使
3
成立？若存在 ，求出k的值；若不存在，说明理由；
2
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
（3）若k＝－2，
?
?1
，试求
?
的值．
x
2
m
2
?0
． 4．已知关于x的方程
x?(m ?2)x?
4
2
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2|＝|x
1
|＋2，求m的值及相应的x
1
，x
2
．
5．若关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值 范围．

2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x
2
＋2x－3＝0
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：
(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9

习题2．1
A 组

1． （1）C （2）B 提示：②和④是 错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以
2
方程没有实数根；对于④，其两根之和应 为－．
3
（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
17
2． （1）2 （2） （3）6 （3）
3
< br>4
11
3．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两 个相等
44
1
的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．
4
4．设 已知方程的两根分别是
x
1
和x
2
，则所求的方程的两根分别是－x
1
和－x
2
，∵x
1
＋x
2
＝7，x1
x
2
＝－1，
∴(－x
1
)＋(－x
2)＝－7，(－x
1
)×(－x
2
)＝x
1
x
2
＝－1，∴所求的方程为y
2
＋7y－1＝0．


B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x
2
＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵
m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－
1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a
3
＋a
2< br>b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋b
2
(a＋b)＝(a
＋b)( a
2
＋b
2
)＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
１７

3．（1）∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x
1
＋x
2
＝k，x
1
x
2
＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
3
3abc?b
x
1
?x
2
b
b
2
?4ac
4．（1）| x
1
－x
2
|＝，＝
?
；（2）x
1
3
＋x
2
3
＝．
3
a
22a
|a|
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意， ∴m＝3．

C组
1．（1）B （2）A
1
，∴α＋β＝2(1－m)≥1．
2
（4）B 提示：∵
a，b，c是ΔABC的三边长，∴
a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)
2
－c
2
＞0．
2．（1）12 提示：∵x
1
＋x
2
＝8 ，∴3x
1
＋2x
2
＝2(x
1
＋x
2
) ＋x
1
＝2×8＋x
1
＝18，∴x
1
＝2，∴x
2
＝6，∴m＝x
1
x
2
＝12．
3
3．（1）假设存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－成立．
2
（3）C 提示： 由Δ≥0，得m≤
∵一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝16k
2
－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．
∵x
1
＋x
2
＝1，x
1
x
2
＝
k?1
，
4k
∴ (2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝2 x
1
2
－5
1
x
2
＋2 x
2
2

＝2(x
1
＋x
2
)
2
－9 x
1
x
2
＝2－
3
9(k?1)
＝－，
2
4k
93
9(k?1)
7
即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所 以，不存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
252
4k
成立．
x
1
x< br>2
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
?
－2＝（2）∵
?2??2??4< br>
x
2
x
1
x
1
x
2
x< br>1
x
2
x
1
x
2
4k4k?4(k?1)4
＝，
?4???
k?1k?1k?1
xx
∴要使1
?
2
－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
x
2
x
1
∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，
－3，－5．
x
1
x2
?
－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
x
2x
1
1
（3）当k＝－2时，x
1
＋x
2
＝1 ，① x
1
x
2
＝， ②
8
xx
1
2
①
2
÷②，得
1< br>?
2
＋2＝8，即
?
??6
，∴
?
?6?
?1?0
，
x
2
x
1
?
∴能使
∴
?
?3?22
．
4．（1）Δ＝
2(m?1)?2?0
；
2
m
2
（2）∵x
1
x
2
＝－
≤0，∴x
1
≤0，x2
≥0，或x
1
≥0，x
2
≤0．
4
①若x
1
≤0，x
2
≥0，则x
2
＝－x
1
＋2，∴x
1
＋x
2
＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2
－2x－4＝0，
１８

∴
x
1
? 1?5
，
x
2
?1?5
．
②若x
1
≥0，x
2
≤0，则－x
2
＝x
1
＋2，∴x1
＋x
2
＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x
2
＋2＝0，∴x
1
＝0，x
2
＝－2．
5．设方程的 两根为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝－1 ，x
1
x
2
＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x
1
－1)( x
2
－1)＜0， 即 x
1
x
2
－(x
1
＋x
2
)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝1
2
－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
1
2
x，y＝－2x< br>2
的图象，通过这些函数图象与函数y
2
＝x
2
的图象之间的 关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…

从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x2
的图象（如图2－1所示），从图
2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得 到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
y＝2x
2
y
y＝x
2

1
2
x，y＝－2x
2
的图象 ，并研究这
2
两个函数图象与函数y＝x
2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax
2
(a≠0) 的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得
到．在二次函数y＝ax
2
(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标
系中的开口的大 小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同
22
学 们可以作出函数y＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象（如图2－2所示），从函数的同学
2
我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单
位，就可以得到函数y ＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，
位置不同”的特 点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x－1)
2＋1的图象，研究它们图
象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及 方向；
h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函
数图 象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方
法：
－1
O
图2.2-1
x
y
y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

O
图2.2-2
x
１９

b
2
b
2
bb
2
由于
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x
2
＋
所以，y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的，于
是，二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac? b
2
,)
，对称轴为直线x（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb
＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小 ；当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
2a2a2a2a
4ac?b
2
时，函数取最小值y＝．
4a
2
b4ac?b
,)
，对称轴为直线x（2）当a＜0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口向下 ；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb
＝－；当x＜
?
时，y 随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
2a2 a2a2a
4ac?b
2
时，函数取最大值y＝．
4a
y＝ax
2
＋bx＋c
上述二次函数的性质可以分别通过图2 ．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次
函数问题时，可以借助于函数图像、利 用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝
－
3x
2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指
出当x取何值时，y随 x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2< br>－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法 画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴的
33
交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如 图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关 键点，减少了选点的
盲目性，使画图更简便、图象更精确．

２０